Modern Control Theory Course Experiment 3: LQR-Controller-Design eines invertierten Pendels erster Ordnung

1. Zweck des Experiments

1. Verstehen und Beherrschen des Prinzips und der Methode der linearen Rückkopplungsregelung
2. Verstehen und Beherrschen der Entwurfsmethode des LQR-Reglers
3. Praktizieren der Methode des Vergleichs und der Bewertung der Regelungsleistung

2. Experimentelle Ausrüstung und Software

Laborausstattung

• Umgekehrter Pendelprüfstand

experimentelle Software

• MATLAB-Software

3. Experimentelles Prinzip

3.1 Anlagenmodell und seine Linearisierung

Die Bedeutung und Beziehungen der verschiedenen Größen des umgekehrten Pendelsystems sind in der folgenden Tabelle und Abbildung dargestellt.
Nach dem Newtonschen Gesetz werden die dynamischen Gleichungen der vertikalen und horizontalen Richtung des Systems aufgestellt, unter Berücksichtigung u = F, es kann erhalten werden

Folgendermaßen

Die Eingabe dieser Zustandsgleichung ist die Beschleunigung, und die Ausgabe ist die Position der Laufkatze und der Winkel des Pendels. Die Position des Wagens, der Winkel des Pendels und ihre Ableitungen können alle durch Sensoren gemessen werden, so dass, wenn das System steuerbar ist, der integrierte Controller mit Zustandsrückkopplung verwendet werden kann, um die Leistung zu verbessern.

3.2 Zustandsregelung und linear-quadratische Optimalregelung LQR für zeitinvariante lineare kontinuierliche Systeme

• zeitinvariantes lineares kontinuierliches System

3.3 Grundprinzipien und Nutzungsrichtlinien der Experimentalplattform

Das Blockdiagramm der Steuerstruktur des invertierten Pendelsystems ist wie folgt

Das Modul „Pendel“ enthält drei Module, und die spezifischen Funktionen jedes Moduls werden durch S-Funktionen realisiert, die hier nicht vorgestellt werden. Darunter besteht die Funktion des Moduls "Set Car's Vcc and Vel" darin, die Geschwindigkeit und Beschleunigung der Fahrzeugbewegung einzustellen, die Funktion des Moduls "Get Car's Position" besteht darin, die aktuelle tatsächliche Position des Fahrzeugs zu lesen, und die Funktion von "Get Pend's Angle" dient zum Lesen des Winkelcodierers. Der aktuelle tatsächliche Winkel der Pendelschwingung, der Winkel ist "+" im Uhrzeigersinn und "-" gegen den Uhrzeigersinn (der Anfangszustand ist der vertikal nach unten gerichtete Zustand, siehe Abbildung 1). Es sollte hier angemerkt werden, dass, da das Vorzeichen des vom Codierer gelesenen Impulses in Phasenkeule mit dem tatsächlichen Zahlenzeichen ist, die Ausgabe des Codierers nach einer negativen Proportionalverstärkung in einen Ausgangswinkel umgewandelt wird

Außerdem müssen Sie beim Erstellen eines Systemmodells in Simulink das GT400-SV-Initialisierungsmodul in Inverted_Pendulum_RealTime_lib in das bearbeitete Modell einfügen.

4. Experimenteller Inhalt

Praktische Experimente und Analysen:

Basierend auf dem in Formel (6) gezeigten invertierten Pendelmodell (Winkel und Position des Steuerpendels) wird der optimale LQR-Regler gemäß den Eigenschaften des ursprünglichen Systems entworfen und der Einfluss der Auswahl von Parametern und Anordnung auf das System wird analysiert . Vor dem physikalischen Experiment werden theoretische Analysen und Berechnungen (einschließlich Kontrollierbarkeitsanalyse und Stabilitätsanalyse, Indexumwandlungsberechnung, entsprechende Programmberechnung und manuelle Berechnung) sowie numerische Offline-Berechnungen und -Analysen in MATLAB/Simulink durchgeführt, um die Korrelation danach anzupassen die Parameter geeignet sind, führen Sie ein Online-Experiment auf der umgekehrten Pendelplattform durch und vergleichen Sie die Simulationsergebnisse mit den experimentellen Ergebnissen.

4.1 MATLAB-Simulationsergebnisse

Das MATLAB/Simulink-Simulationsdiagramm des Systems sieht wie folgt aus

4.2 Das MATLAB-Programm ist wie folgt

clear;

A = [ 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0 ];
B = [ 0 1 0 3 ]';
C = [ 1 0 0 0; 0 0 1 0 ];
D = [ 0 0 ]';

Gs = ss(A, B, C, D);
Qc = ctrb(A, B);        % 可控矩阵
Qo = obsv(A, C);        % 可观测矩阵
rankQc = rank(Qc);      % 求可控矩阵的秩
rankQo = rank(Qo);      % 求可控矩阵的秩

if rankQc == 4
    disp('系统可控');
else
    disp('系统不可控');
end

if rankQo == 4
    disp('系统可观');
else
    disp('系统不可观');
end

4.2.1 Beurteilung der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit des Systems

Um die Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit des Systems zu beurteilen, ist die Operation wie folgt

>> shiYan3
系统可控
系统可观

• Aus den Laufergebnissen ist ersichtlich, dass das System kontrollierbar und objektiv ist.

4.2.2 Finden der Pole des Systems

Der Code zum Finden der Pole des Systems lautet wie folgt

P = poly(A); % 特征多项式
rootP = roots(P); % 极点
disp(rootP);

Das Ergebnis des Auffindens der Pole des Systems ist wie folgt

>> shiYan3
系统可控
系统可观
         0
         0
    5.4222
   -5.4222

• Es kann bekannt sein, dass das System rechts einen Pol hat und das System instabil ist.

4.2.3 Polkonfiguration durchführen

ζ = 0,8, ζ = 0,707, ζ = 0,316
Beim Entwerfen des Zustandsrückkopplungsarrays sollten die Pole des Systems so entworfen werden, dass sie zwei dominante Pole und zwei nicht dominante Pole haben, damit die Parameter durch das Analyseverfahren von bestimmt werden können das System zweiter Ordnung. Wir legen das maximale Überschwingen des Systems auf kleiner oder gleich 8 % und die Anpassungszeit auf kleiner oder gleich 5 s fest. Unter Verwendung der Berechnungsformel für das Überschwingen kann ε = 0,63 berechnet werden, ts = 5s, kann Wn ≥ 0,95 erhalten. Unter Verwendung der Polformel als P1,2=-εw + iw√1-εz werden die konjugierten Pole der beiden Konfigurationen erhalten: -0,6±0,74i. Wählen Sie den Abstand zwischen dem nicht dominanten Pol und der imaginären Achse so, dass er mehr als das 5-fache des Abstands zwischen dem dominanten Pol und der imaginären Achse beträgt: die beiden nicht dominanten Pole können also sein: -10.

Der MATLAB-Programmcode für die Polkonfiguration lautet wie folgt:

p = [-0.6 + 0.74j -0.6 - 0.74j -10 -10];  % 极点配置
K = acker(A, B, p);
disp(K);

Gehen Sie wie folgt vor, um die Pole zu konfigurieren

  -3.0871   -4.6990   52.4649    8.6330

Die MATLAB-Simulation sieht wie folgt aus

• Aus den Simulationsergebnissen ist ersichtlich, dass die Einstellzeit des Systems etwa 5 s beträgt und das Pendel des Systems schließlich in der Nullposition stabilisiert wird.

4.3 Linear quadratische Optimalsteuerung LQR zum Finden von Konfigurationspolen

Die linear-quadratische optimale Steuerung LQR findet den Konfigurationspolcode wie folgt

% 线性二次型最优控制LQR求出配置极点
Q = [1000 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 1000 0; 0 0 0 0];
R = 1;
LQR_K = lqr(A, B, Q, R);
disp(LQR_K);

Die linear-quadratische optimale Steuerung LQR findet die Konfigurationspoloperation wie folgt

-31.6228  -21.7963   83.4140   14.2355

Die linear-quadratische Optimalsteuerung LQR findet den Konfigurationspol der MATLAB-Simulation wie folgt

• Aus den Simulationsergebnissen ist ersichtlich, dass die linear-quadratische optimale Steuerung LQR den Konfigurationspol findet, was die Anpassungszeit des Systems auf 2 s reduziert, und der Schwingungsbereich des Pendels kleiner ist.

5. Ergebnisse des Laborbetriebs

Das eigentliche umgekehrte Pendel wird im Labor gesteuert, und das entworfene Steuermodell und die Systembetriebsergebnisse sind wie folgt

Steuerungssystemmodell

Effektbild des normalen Betriebs des Systems

Das Betriebsergebnis des gestörten Systems

6. Experimentelle Zusammenfassung

Die experimentelle Zusammenfassung des LQR-Reglerdesigns des invertierten Pendels erster Ordnung wird in den folgenden Punkten gezeigt

• 1. Verstehen und beherrschen Sie durch Experimente das Prinzip und die Methode der linearen Zustandsregelung. Die Pole des Systems können mit Zustandsrückmeldung auf beliebige Positionen konfiguriert werden.
• 2. Verstehen und beherrschen Sie die Entwurfsmethode des LQR-Controllers.
• 3. Beherrschte die Prämisse der Verwendung von Zustandsrückmeldungen zur Konfiguration von Polen durch Experimente: um die Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit des Systems zu beurteilen.
• 4. Durch Experimente wurde die Fähigkeit gestärkt, praktische Praxis mit Theorie zu verbinden.