经典排序算法（三）堆排序

堆的概念

堆的结构可以分为大根堆和小根堆，是一个完全二叉树，而堆排序是根据堆的这种数据结构设计的一种排序，下面先来看看什么是大根堆和小根堆

大根堆和小根堆

性质：每个结点的值都大于其左孩子和右孩子结点的值，称之为大根堆；每个结点的值都小于其左孩子和右孩子结点的值，称之为小根堆。下图为大根图的示意图：

将完全二叉树的大根堆映射为一维数组（首位置0不用，置空），如下图所示：

还有一个基本概念：查找数组中某个数的父结点和左右孩子结点，比如已知索引为i的数，那么

• 父结点：$(int)i/2$
• 左孩子：$i\ast 2$
• 右孩子：$i\ast 2+1$

堆排序的基本步骤

算法思想

• 构造堆：将待排序列生成一个大根堆。序列的最大元素也即大根堆的堆顶（根结点）
• 交换堆顶堆尾：将顶端的数与末尾的数交换，此时，末尾的数为最大值，剩余待排序数组个数为n-1
• 再构造堆：将剩余的n-1个数再构造成大根堆，再将顶端数与n-1位置的数交换，如此反复执行，便能得到有序数组

2-1 构造堆

构造堆的算法有很多，本文采用的构造堆算法是基于《算法4》的sink（下沉）算法：
sink算法是从最后一个非叶子结点开始，依次将非叶子结点和其左右孩子的元素值相比较。如果父结点的元素是比两个孩子结点大，保持元素位置不变；如果父结点的元素值小于孩子结点的值，将父结点和最大的孩子结点元素进行位置交换。从最后一个非叶子结点开始，直到根结点结束。

算法过程：

视频来源：《算法4》配套视频

算法代码：

void ArrSwap(int* arr, int pos1, int pos2)
{
    
    
   int temp = arr[pos1];
   arr[pos1] = arr[pos2];
   arr[pos2] = temp;
}
void sink(int* arr, int length, int loc)
{
    
    
   while (2 * loc <= length)
   {
    
    
   	int lchild = 2 * loc;
   	if ((lchild + 1) < length && arr[lchild] < arr[lchild + 1])
   		++lchild;
   	if (arr[loc] > arr[lchild]) break;
   	//swap
   	ArrSwap(arr, loc, lchild);
   	loc = lchild;
   }
}
void CreateBHT(int* arr, int length)
{
    
    
   int first = length / 2;
   for (int i = first; i > 0; --i)
   {
    
    
   	sink(arr, length, i);
   }
}

2-2 交换堆顶堆尾+再构造堆

上一步我们将一个无序序列构造成了一个大根堆，按照堆排序的算法思想，还有两个步骤需要完成：

1. 交换堆顶和堆尾元素
   一维数组交换堆顶堆尾元素，代码非常简单。大家可以想象一下，我们把堆尾的元素放在了二叉树的根结点位置处，此时该完全二叉树已经不满足大根堆的性质。因此，我们还需要重建该大根堆。
2. 再构建堆
   交换首尾元素后的二叉树，重构建堆的思想非常简单。通过将位于堆顶的小元素不断sink（下沉），即可重新得到一个大根堆：

算法代码：

void reCreateBHT(int* arr, int length)
{
    
    
	for (int i = length; i > 1; --i)
	{
    
    
		//swap
		ArrSwap(arr, i, 1);
		sink(arr, i - 1, 1);
	}
}

堆排序的完整代码：

void HeapSort(int* arr, int length)
{
    
    
	//step 1: create BinaryHeap
	CreateBHT(arr, length);
	//step 2: sort
	reCreateBHT(arr, length);
}

总结

• 算法时间复杂度：$O(n\ast logn)$
• 算法空间复杂度：$O(1)$
• 算法是否稳定：不稳定
  算法稳定指的是序列通过算法排序后，比较值相同（key）的两个元素相对顺序不会发生改变
• 算法适用范围：由于堆排序运算快，而且占用缓存资源极少，一般用于单片机等嵌入式芯片内部的算法。正所谓优点也是缺点，堆排序由于不能有效的利用计算机的缓存，在当代计算机缓存资源及其丰富的今天已经逐渐被淘汰。