1、题目描述
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
2、算法分析
动态规划题目特点：
①计数
有多少种方式走到右下角；
有多少种方法选出k个数的和为sum；
②求最大最小值
从左上角走到右下角的最大数字和；
最长上升子序列的长度；
③求存在性
取石子游戏，先手是否必胜；
能不能选出k个数使得和是sum；
思路：
①确定状态
简单的说，需要创建一个数组，数组的每个元素f[i]或者f[i][j]代表什么；一般确定状态最重要的两个意识：最后一步；子问题；
比如本题，一定有最后一枚硬币：ak；除掉这枚硬币，前面的硬币面值加起来是amount - ak；总金额数 - 最后一个硬币的面值
最后一步：
我们不关心前面的k-1枚硬币是怎么拼成amount-ak的，我们现在甚至还不知道ak和K,但是我们确定前面的硬币拼出了amount - ak;
因为是最优策略，所以拼出的amount - ak一定要少。将最后一枚硬币去掉，剩下的k-1的硬币还是最优解。
②转移方程
f[X]含义：X金额，f[X] = M代表的是拼出X的金额需要M枚硬币
设状态方程f[X] = 最少用多少枚硬币拼出X，则f[X] = min(f[X - coins[i]] + 1,f[X - coins[i+1]] + 1 ....) ，加1代表加上最后一枚硬币。
③计算顺序
初始条件：f[0] = 0;
计算每个amount需要的硬币数，取最小值:f[0],f[1],f[2]....f[amount]
具体看代码注释：
3、代码实现
class Solution {
// coins：不同金额的的硬币，2,3,5,7
// amount：总金额
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
// 需要0....n：[n+1]
// 需要0....n-1:[n]
// f[i] = j：i块钱需要j个硬币
int[] f = new int[amount + 1];
// 多少种硬币
int n = coins.length;
// 初始化数组，0个硬币拼出的是0块钱
f[0] = 0;
int i,j;
// 求用多少硬币分别拼出f[1],f[2],f[3]......f[27]....
// 遍历
for(i = 1;i <= amount;i++){
// 首先假设f[i]，第i块钱需要Integer.MAX_VALUE个硬币。后面有f[i]块钱比Integer.MAX_VALUE好，就更改f[i]块钱对应的硬币的值
f[i] = Integer.MAX_VALUE;
// 要拼出i块钱，那么最后一枚硬币是什么呢，最后一枚硬币不会跳出coins硬币数组内元素的范围
// f[i] = min{f[i-coins[0]]+1,f[i-coins[1]]+1,....f[i-coins[n-1]]+1}
// 遍历coins[] 硬币的数组
for(j = 0;j < n;j++){
// i>=coins[j]：总金额大于硬币对应的金额，拼3块钱，最后一枚硬币是5块钱
// f[i - coins[j]] != Integer.MAX_VALUE:防止数组越界
if(i >= coins[j] && f[i - coins[j]] != Integer.MAX_VALUE){
// 比较f[i]对应的硬币数和 去掉最后一个硬币f[i-coins[j]]+1对应的硬币数。。比较出最小的
f[i] = Math.min(f[i],f[i - coins[j]] + 1);
}
}
}
// 如果拼不出来f[i]的值一直是没有改变的
if(f[amount] == Integer.MAX_VALUE){
return -1;
}
// 返回f[amount]
return f[amount];
}
}