波动数列
题目描述
观察这个数列：
1 3 0 2 -1 1 -2 …
这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3，且每一项都为整数。
栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加 a 或者减少 b 的整数数列可能有多少种呢？
输入格式
共一行，包含四个整数 n,s,a,b，含义如前面所述。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。
由于这个数很大，请输出方案数除以 100000007 的余数。
这道题真的是需要自己花时间来理解细节。
不过请相信，付出一定会有收获，只要攻下这道坎，相信一定能得到提升！
思路：
如下图所示，该序列的首项是x，公差为set，set={a，-b}；
通过下边的第一幅图我们可以知道，set的数量为n*(n-1)/2 (公式：首项加末项除以2)
我们令cnt=n*(n-1)/2 （也就是set的数量） 通过这些分析我们可以知道满足这么一个条件：序列总和=Sn=nx+cntset
我们假设a的数量为num1，因为a，b数量的总和是cnt，则b的数量就是cnt-num1； 可推出一个表达式nx+a * num1-b(cnt-num1)=s;转换一下位置也就是n * x=s-anum1+b(cnt-num1);。我们上边已经说了set的最大数量为n(n-1)/2,set有a和b两种可能，假若全是a，也就是最多有n*(n-1)/2个a（此时0个b）,知道这个公式后就好办了因为公式里只有两个未知数x和num1，并且我们说了num1(也就是a的数量）上限是n*(n-1)/2 ,我们只需要通过枚举对这n*(n-1)/2 进行一次for循环，找出满足条件的值即可，知道了满足条件的num1后自然也就知道了x的值。讲到这里后，我们介绍一下下边这段代码,我直接把注释打在代码中。
int ans=0;//用来记录满足条件的次数。
int cnt=n*(n-1)/2; //a和b数量的总和。
for(int i=0;i<=cnt;i++) //这里其实就是在从0开始枚举a的所有可能的数量，只要满足x是个整数，则说明此时这个数量的a是符合条件的。
{
long long h=s-i*a+(cnt-i)*b;
//首先需要知道这段代码的意思，结合上边的公式可以知道这里的h代表的就算n*x; 这也就是为什么会有下边if判断的原因
if(h%n==0)//这个判断的意思也就是想表达，只要求出的x是一个整数，那么此时的a的数量就是满足条件的。
ans+=f[i];//这里的f[i]我会在下边介绍，反正只需要知道此时这个for循环中i的数量就是a的数量,f[i]则表明当前数量的a满足的组合，可能大家看到这里看不懂我说的是什么组合了，我会在下边介绍
}
| 序号 | 对应值 |
|---|---|
| 0 | x |
| 1 | x+set |
| 2 | x+set+set |
| … | … |
| n-1 | x+(n-1)*set |
情况1：
| 序号 | 对应值 |
|---|---|
| 1 | x |
| 2 | x+a |
| 3 | x+a-b |
| 4 | x+a-b+a |
| 5 | x+a-b+a+a |
| 总和 | 5x+7a-3b |
a的数量是7，是由4+2+1组成的7
情况2：
| 序号 | 对应值 |
|---|---|
| 1 | x |
| 2 | x+a |
| 3 | x+a+a |
| 4 | x+a+a-b |
| 5 | x+a+a-b-b |
| 总和 | 5x+7a-3b |
a的数量是7，却是由4+3组成的，对应的b的数量为3，是由2+1组成的。
大家请看这两种情况，虽然都是7个a，但是不是他们有不同的排列的可能，最重要的细节就在这里了，尽管我们通过那边那个步骤能够求出a的数量，但是a的组合方式还不知道，所有问题转变到求a的组合方式的可能性，上代码。
#include <iostream>
using namespace std;
long long n,s,a,b;
int f[100];//它的下标是a的个数，假设a=7，f[7]就代表当a个数是7的时候，可以有多少种可能来组成这个数字。可以是4+3，也可以是4+2+1，就像上边介绍的那两种情况一样。
//再讲下边这个函数的实现的时候，可能有同学会看不懂，它跟01背包问题的思路很相似，都用到了滑动数组的思想，可以看一下我上边对01背包问题的讲解，如果掌握了，相信对你的编程能力会有一定的帮助。
//下边这个动态规划是直接将二维的思想转化成一维来实现的。如果有不懂的可以去看下我01背包问题的讲解。
//我们先模拟用二维的方式来进行讲解。就用二维数组f[i][j]吧，下边的这种方式是直接将二维数组f[][]转化成了一维数组f[]。
//在正式开始讲前，以防大家混淆了二维数组f[][]的作用，这里说明一下，它跟求a的数量没有任何关系，是在a的数量求出来后，通过这个数组来分析a的数量个数可以有哪些组合方式，比如上边说到的当a个数是7的时候，可以有多少种可能来组成这个数字。可以是4+3，也可以是4+2+1。
//好了，接着正式说明f[i][j]中i和j代表的含义，i代表的是当前a的可能数，一定记得只是a，跟b没关系（可以是1，2，3，4...），它是从1开始的，j代表的是前i个数的数值总和。
//首先说明一点f[i][0]的值都必须先设为1。这里很细节，下边我举几个例子就明白了。
// f[i][j]=f[i-1][j] ,这是当j<i的时候。
// f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i],这是当j>=2的时候。
//我再跟大家细致的讲解一下i的真正含义，比如说f[3][2],它的意思就是在数字1，2，3中挑任意数组能组成最终和(j)，这里对应的就和(j)就是2，能组成2,只有一种情况就是直接选2出来，所有f[3][2]=1(此时请注意f[3][2]中是j<i的情况，用的公式是f[i][j]=f[i-1][j]。在举例，比如f[4][2]，意思就是在1,2,3,4这四个数字中选任意数字来得到2，只有一种可能，即是直接选2，所以f[4][2]=1，(此时请注意f[4][2]中是j<i的情况，用的公式是f[i][j]=f[i-1][j]。而f[3][3],代表的意思是从1，2，3这三个数字中选任意数字能组成和(j),这里对应的和(j)就是3，要组成3，有两种方式，选1和2，或者直接选3，所以f[3][3]=2，(此时请注意f[3][3]中是j>=i的情况，所以用的公式是f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i]),我们带入具体数字进去就是f[3][3]=f[2][3]+f[2][0]，请注意看这里是不是出现了f[3][0],也就是上边说到的f[i][0]的情况，这也就是为什么要把f[i][0]都设置为1，因为此时j=i,所以出现了f[2][0],我们深度刨析一下f[3][3]=f[2][3]+f[2][0]的意思，左边部分f[3][3]需要在右边部分(也就是上一次的状态上)进行叠加计算，这句表达式的f[2][3]代表要在1,2这两个数字中找到能组合出3的情况，就是1+2，也就是1，2两个数字都要选。而f[2][0]这部分的意思则是此时左边已经是f[3][3]，从原来的1，2两个数中选，变到了现在的从1，2，3中选，并且选出了3（重点理解），所以f[2][0]的作用是判断，已经选了3后（重点理解），再从1，2这两个数字中选出满足0的情况，这也解释了为什么要把所有的f[i][0]都设置为1。 好了我只能讲到这个程度了，至于下边的如何将二维f[i][j]转化为一维f[i]请参考我讲到的01背包问题，强烈建议大家看懂这两道题，对你理解动态规划有很大的帮助！！
void dp(int x)
{
f[0]=1;
for(int i=1;i<x;i++) //简单说一下为什么是i<x,而不是i<=x,请看下表，a是从序号2才开始出现的，自己好好理解一下。
//| 序号 | 对应值 |
//| :--: | :-------- |
//| 1 | x |
//| 2 | x+a |
//| 3 | x+a+a |
//| 4 | x+a+a-b |
//| 5 | x+a+a-b-b |
//| 总和 | 5x+7a-3b |
{
for(int j=i*(1+i)/2;j>=i;j--)
{
f[j]=f[j]+f[j-i];
}
}
}
完整代码：
#include <iostream>
using namespace std;
long long n,s,a,b;
int f[100];
void dp(int x)
{
f[0]=1;
for(int i=1;i<x;i++)
{
for(int j=i*(1+i)/2;j>=i;j--)
{
f[j]=f[j]+f[j-i];
}
}
}
int main()
{
cin>>n>>s>>a>>b;
dp[n];
int ans=0;
int num=n*(n-1)/2;
for(int i=0;i<=num;i++)
{
long long h=s-i*a+(num-i)*b;
if(h%n==0)
ans+=f[i];
}
cout<<ans;
system("pause");
return 0;
}