数论学习笔记:扩展欧几里得

欧几里得算法

欧几里得算法:gcd(a,b)=gcd(a,a mod b)。

证明：
令a=kb+r,d=gcd(a+b)
下证d=gcd(b,r):
$\because d|a,d|b$
$\therefore r=-kb+a$ $\therefore d|r$
$\therefore d为r，b公约数$
假设d不是b，r的最大公约数
那么一定存在大于d的数p为b，r最大公约数
$\therefore p|b,p|r$
$又\because a=kb+r$
$\therefore p|a$
$又\because d为a，b最大公约数，d<p$
$\therefore 与原命题矛盾，故d为b，r最大公约数$

我们可以用来求最大公约数gcd(a,b)
用递归不断迭代，直到边界条件b=0后回溯。

inline int gcd(int a,int b)
{
    
    
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得算法

首先介绍裴蜀定理(Bezout定理)
对于任何整数a，b，d=gcd(a,b),那么关于x，y的线性不定方程：当且仅当c是d倍数时，a*x+b*y=c有解（可能多个解）

证明如下：
我们使用数学归纳法证明。
递归奠基：
在欧几里得算法中，最后的边界条件是b=0，那么肯定存在x=1,y=0使得$$1\times 0+0\times 0=gcd(a,0)$$
当b>0时
$$\because gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$$
$$\therefore b\times x+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)\times y=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$$
$$又\because a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=bx+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)y=ay+b(x-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y)$$
$$\therefore 令x^{{}^{\prime }}=y,y^{{}^{\prime }}=x-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y$$
$$\therefore a{x}^{{}^{\prime }}+b{y}^{{}^{\prime }}=gcd(a,b)$$
证毕。
通过这种递归的方法我们发现同时也给出x，y的计算方法即扩展欧几里得算法，我们就可以去求ax+by=gcd(a,b)的一组特解了。
如果ax+by=c,其中c是d=gcd(a,b)的倍数，那么先求ax+by=d,在将解出的特解乘上$\frac{c}{d}$
代码实现；

inline int exgcd(int a,int b,int& x,int& y)//传回去
{
    
    
	if(b==0)
	{
    
    
		x=1;y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x-a/b*y;
	x=y;
	y=t;
	return d;//返回最大公约数 
}

下面是一些推论：
1.ax+by=1 有解，当且仅当gcd(a,b)=1，即a，b互质。
2.若gcd(a,b)=1,$ax\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$ 等价于ax+by=c，在[0,b-1]上有唯一解；
若gcd(a,b)=d,则上面的方程在[0,$\frac{b}{d}$-1]上有唯一解。
那么用这个我们就可以求最小非负整数解了！

下面来一道例题
传送门luoguP1516

定理1：对于ax+by=c,如果c为gcd(a,b)的倍数时，那么方程有无数多个整数解，否则不存在整数解。（和上面一样）
定理2；若不定方程有解，且特解为$x_0,y_0$，那么方程的解可以表示为；
$$x=x_0+\frac{b}{d}t,y=y_0-\frac{a}{d}t,t\in Z$$

回到这道题，容易得到(x+m*t)-(y+n*t)=kL,$k\in N$
化简亿下，得到(n-m)t+kL=x-y
令A=n-m,B=x-y
则At+kL=B
这不就是对于t和k的不定方程吗？用拓展欧几里得可得到一组特解，在用上面的便可求出最小非负整数解了，PS：注意是否为负

#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long 
ll x,y,m,n,l,r=0;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    
    
	if(b==0)
	{
    
    
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	r=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return r;
}
int main(){
    
    
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
	ll A=n-m,B=x-y;
	if(A<0)
	{
    
    
		A=-A;
		B=-B;
	}
	exgcd(A,l,x,y);
	int d=l/r;
	if(B%r!=0)
		cout<<"Impossible";
	else cout<<((x*(B/r))%d+d)%d;
}