学习笔记：四大背包问题详讲

今天介绍4种基本的背包，01背包，完全背包，多重背包，分组背包。

01背包

给一个容量m的背包，有n个物品，每个物品有w的重量和c的价值，求最大价值。
我们枚举每个物品，再枚举背包的重量，用一维数组dp[m]表示当前重量下最大价值。
注意；背包的重量需要逆推，才能使得装入的物品不重复，否则将会变成下面介绍的完全背包。
核心代码；

for(int i=1;i<=n;i++) 
    for(int j=m;j>=w[i];j--)           //逆推
      dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);

状态转移方程中表示回到刚好容量能装这个物品时的最大价值+这个物品的价值=当前的最大价值，和就不装这个物品做比较。

完全背包

题目大意与上面类似，不过每个物品有无数个，可以重复装。
我们已经提到，如果正推那么就会产生重复，那么直接改成正推即可。

for(int i=1;i<=n;i++) 
    for(int j=w[i];j<=m;j++)           //正推
      dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);

状态转移与上文类似。

多重背包

还是有一个容量为m的背包，有n种物品，每种物品有x个，每个的重量为w，价值为c，求最大价值。
暴力拆分：
我们不管是不是一种，全部看做独立的每一个物品，直接01背包解决，但时间复杂度太高，显然不行，那如何优化。

for(int i=1;i<=n;i++)
   for(int k=1;k<=x[i];k++) //枚举每一个物品
    for(int j=m;j>=w[i];j--)
      dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);

我们发现，如果我一种物品要拿多个，必须一个一个拿，浪费时间，如果我能一次拿多个不就行吗，那么我们需要一种优美的拆分方法。
引入二进制拆分：
一定存在数k,使得2⁰+2¹+2²+…+2^k<=x[i]（物品数），剩余的用r=x[i]-2⁰+2¹+2²+…+2^k表示，例如x[i]=7,可以拆为1,2,4(k+1个)，x[i]=9,可以拆成1,2,4,2(k+2个)。
而且可以发现，这拆分后的数可以组成1~x[i]的任意一个数，那么要取多少个，都有一种组合可以构成。
如何得到2^k可以使用位运算按位<<处理，拆分后，我们即可把每一堆看作一个整体进行01背包。
核心代码：

for(int j=1;j<=x;x-=j,j<<=1)        //二进制拆分x 
    {
    
    
            for(int k=m;k>=j*w;k--)//拆一坨就作一坨
                dp[k]=max(dp[k],dp[k-j*w]+j*c);
        }
        if(x!=0)                           //多余的再01背包
    {
    
    
            for(int k=m;k>=x*w;k--)
               dp[k]=max(dp[k],dp[k-x*w]+x*c);
        }

分组背包

有n组物品，每组物品有x个，第i个重量为w，价值为c。背包还是背包，但每组物品只能选一个，求最大价值。

我们只需要枚举一下每组物品中每个物品，但是我们需要注意不能重复拿一组里面的物品，不然就是多重背包了，解决办法很简单，把多重背包暴力拆分代码中枚举每个物品的循环放到最里面即可。

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=m;j>=0;j--)
      for(int k=1;k<=x[i];k++)
        if(j>=w[i][k])
          dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i][k]]+c[i][k]);

四种基本背包就介绍完了。