Codeforces Round #663 (Div. 2) A-E总题解

Solution

A

由于无论 $x$与谁做或运算，结果均不会小于 $x$；所以，我们只需要输出 $1,2,……n$，保证以 $x$结尾与 $x$开头的区间一定满足要求。

B

显然，最终所有的东西都会集中到底部或右侧；此时，我们只需要让最右边一列的字符全为 $D$，底侧的字符全为 $R$，即可满足要求。

故答案为右侧 $R$的数量与底侧 $D$的数量之和。

C

显然，最大的数是不会往外连边的，其他的数一定会往外连至少一条边，故至少有 $n-1$条边。

反面考虑。由于有 $n$个顶点，我们要让它不成环，边的数量不能超过 $n-1$，即必须让该图成为一个树的形态才可以。故只能有 $n-1$条边。

尝试构造一些满足"所有值非 $n$的节点向外连边的数量均为 $1$条"的排列，可以发现，这些排列都是单峰序列。峰左的数向它右边的数连边，峰右的数向它左边的数连边。

于是，现在我们思考如何求出单峰序列的数量。显然，峰值一定为 $n$。可以发现，只要选定了峰左哪些数出现了，那么整个序列都确定下来了。当 $n$被选做峰顶的时候，显然剩下有 $n-1$个数可选；设峰顶的位置为 $k$，则峰左的数有 $C_{n-1}^{k-1}$种选择。

故答案为 $n!-\sum_{i=1}^n C_{n-1}^{i-1}$。

这个式子可以进一步优化:

$n!-\sum_{i=1}^n C_{n-1}^{i-1}$

$=n!-2^{n-1}$

于是，我们只需要使用普通幂与阶乘，并注意减法的取模方式即可通过本题。

时间复杂度 $O(n)$。

D

首先，可以发现，对于一个 $4×4$的子矩阵，它是由四个 $2×2$的子矩阵组合而成的；而这四个 $2×2$的子矩阵各数之和必须都是奇数，故一个 $4×4$的子矩阵的各数之和只能是奇数的四倍，即偶数，不符题意。所以，可以推出，如果 $n×m$的矩形中含有任何一个 $4×4$的子矩阵，均应输出 $-1$。注意，当一个长方形含有 $4×4$的子矩阵时，当且仅当 $n,m≥4$。

此时，我们的长方形的长度为 $n$，宽度为 $m$，必有 $n＜4$或 $m＜4$。不妨设 $n≥m$，即 $m＜4$，显然这时长方形是一条宽度为 $1$或 $2$或 $3$的链。

于是，我们考虑状压 $dp$。由于每一行的状态并不多(最多 $8$个)，可以考虑用一个压位十进制数表示每一位的状态，并暴力转移即可。注意，此时我们只需要保证任何 $2×2$的子矩阵中和为奇数，其他并无限制。

总时间复杂度为 $O(knm)$，其中 $k$是一个巨大的常数，但是并不妨碍我们 $AC$本题。

E

比赛场上脑子瓦特， $E$没做出来QAQ

本题做法十分简单。首先，我们从 $1$号节点对整个图进行深搜，得到了每个节点的深度。对于第一个问题而言，如果有节点的深度达到了 $\lceil \frac n 2 \rceil$，则直接递归打印该路径。

如果没达到呢？我们不得不开始思考问题 $2$。并不显然地发现，对于同深度的节点两两配对即可。

为什么呢？首先，由于它们是同深度的，它们之间不会有边。同时，对于 $pair(a,b)$与 $pair(c,d)$(不妨设 $a,b$的深度小于 $c,d$的深度)不可能出现 $(a,b,c,d)$形成一个独立的连通图的情况。因为若形成连通图，不可能满足 $a$与 $b$属于同一深度且 $c$与 $d$属于同一深度，因为搜到 $a$的时候， $a$直接把另外三个点给全部搜了一遍。

所以，这种做法是正确的。

比赛的时候想到了不会证明不敢写QAQ

Code

A

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int t,n;
int a[200005];

signed main()
{
	cin>>t;
	while (t--)
	{
		cin>>n;
		for (int i=1;i<=n;i++)  cout<<i<<' ';
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}

B

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int t,n,m;
char a[105][105];

signed main()
{
	cin>>t;
	while (t--)
	{
		cin>>n>>m;
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			for (int j=1;j<=m;j++)  cin>>a[i][j];
		}
		int ans=0;
		for (int i=1;i<=n-1;i++)
		{
			if (a[i][m]!='D')  ans++;
		}
		for (int i=1;i<=m-1;i++)
		{
			if (a[n][i]!='R')  ans++;
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}

C

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7; 

int n;

int quick_power(int a,int b)
{
	int res=1;
	for (;b;b=b>>1,a=(a*a)%mod)
	{
		if (b&1)  res=(res*a)%mod;
	}
	return res;
}

signed main()
{
	cin>>n;
	int tot=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)  tot=(tot*i)%mod;
	
	tot=((tot-quick_power(2,n-1))%mod+mod)%mod;
	cout<<tot<<endl;
	
	return 0;
}

D

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 2000000007
using namespace std;

int n,m,x,ans=inf;
int dp[1000005][8];
char ch;

vector<int> a[1000005];
vector<int> b[1000005];

signed main()
{
	cin>>n>>m;
	if (n>=4&&m>=4)  return cout<<-1<<endl,0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=1;j<=m;j++)  cin>>ch,a[i].push_back(ch-'0');
	}
	if (n<m)//2 4
	{
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			for (int j=1;j<=m;j++)  b[j].push_back(a[i][j-1]);
		}
		for (int i=1;i<=n;i++)  a[i].clear();
		swap(n,m);
		
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			for (int j=0;j<m;j++)  a[i].push_back(b[i][j]);
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=0;j<8;j++)  dp[i][j]=inf;
	}
	if (m==1)  return cout<<0<<endl,0;
	else if (m==2)
	{
		for (int i=0;i<4;i++)
		{
			int x=i>>1,y=i&1;
			dp[1][i]=(a[1][0]!=x)+(a[1][1]!=y);
		}
		for (int i=2;i<=n;i++)
		{
			for (int j=0;j<4;j++)
			{
				int x=j>>1,y=j&1;
				for (int k=0;k<4;k++)
				{
					int X=k>>1,Y=k&1;
					if ((x+y+X+Y)%2)  dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]);
				}
				dp[i][j]+=(a[i][0]!=x)+(a[i][1]!=y);
			}
		}
		for (int i=0;i<4;i++)  ans=min(ans,dp[n][i]); 
	}
	else if (m==3)
	{
		for (int i=0;i<8;i++)
		{
			int x=i>>2,y=(i>>1)&1,z=i&1;
			dp[1][i]=(x!=a[1][0])+(y!=a[1][1])+(z!=a[1][2]);
		}
		for (int i=2;i<=n;i++)
		{
			for (int j=0;j<8;j++)
			{
				int x=j>>2,y=(j>>1)&1,z=j&1;
				for (int k=0;k<8;k++)
				{
					int X=k>>2,Y=(k>>1)&1,Z=k&1;
					if ((x+y+X+Y)%2&&(y+z+Y+Z)%2)  dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]);
				}
				dp[i][j]+=(a[i][0]!=x)+(a[i][1]!=y)+(a[i][2]!=z);
			}
		}
		for (int i=0;i<8;i++)  ans=min(ans,dp[n][i]); 
	}
	cout<<ans<<endl;
	
	return 0;
}

E

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
 
int t,n,m,u,v,maxv=0,ans=0,cnt=0,pos;
int head[500005],visited[500005],depth[500005];
 
vector<int> a[500005];
 
struct edge
{
	int next;
	int to;
}e[2000005];
 
inline void add_edge(int u,int v)
{
	cnt++;
	e[cnt].to=v;
	e[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
}
 
inline int read()
{
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	
	while (ch<'0'||ch>'9')
	{
		if (ch=='-')  w=-w;
		ch=getchar();
	}
	while (ch>='0'&&ch<='9')
	{
		s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return s*w;
}
 
inline void dfs(int now,int dep)
{
	a[dep].push_back(now);
	depth[now]=dep;
	visited[now]=1;
	
	if (depth[now]>maxv)
	{
		maxv=depth[now];
		pos=now;
	}
	for (int i=head[now];i;i=e[i].next)
	{
		if (!visited[e[i].to])  dfs(e[i].to,dep+1);
	}
}
 
inline void work(int now)
{
	if (depth[now]==1)
	{
		cout<<now<<' ';
		return;
	}
	for (int i=head[now];i;i=e[i].next)
	{
		if (depth[e[i].to]+1==depth[now])
		{
			work(e[i].to);
			break;
		}
	}
	cout<<now<<' ';
}
 
signed main()
{
	cin>>t;
	while (t--)
	{
		cin>>n>>m;
		maxv=0,cnt=0;
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			head[i]=visited[i]=0;
			a[i].clear();
		}
		for (int i=1;i<=2*m;i++)  e[i].next=e[i].to=0;
		for (int i=1;i<=m;i++)
		{
			u=read(),v=read();
			add_edge(u,v);
			add_edge(v,u);
		}
		dfs(1,1);
		
		if (maxv>=(n+1)/2)
		{
			cout<<"PATH"<<endl;
			cout<<maxv<<endl;
			work(pos);
			cout<<endl;
			continue;
		}
		else
		{
			ans=0;
			for (int i=1;i<=n;i++)  ans+=a[i].size()/2;
			
			cout<<"PAIRING"<<endl;
			cout<<ans<<endl;
			for (int i=1;i<=n;i++)
			{
				if (a[i].size()<=1)  continue;
				for (int j=0;j<a[i].size()-1;j+=2)  cout<<a[i][j]<<' '<<a[i][j+1]<<endl;
			}
		}
	}
	return 0;
}