Sort the Strings Revision

题目描述：

有n+1个长度为n的字符串---- $S_1$ , $S_2$ ，…， $S_n$ 。字符串中的字符从0到n-1（从左到右）编号。字符 $S_i$ 是 $i$ 模10的数字。例如，如果n=5，则S为“01234”，如果n=14，则S为“ 01234567890123”。给定一个0到n-1的排列： $p[0]$ , $p [1]$ ,…， $p[n-1]$ 和长度为n的数字序列： $d[0]$ , $d [1]$ ,…, $d[n-1]$ 。 $S_{i+1}$ 可以通过用数字 $d[i]$ 代替 $S_i$ 的字符 $p[i]$ 来获得。请注意，如果 $d[i]$ 与 $S_i$ 的字符 $p[i]$ 相同，则S将与 $S_i$ 相同.现在我们要对这n+1个字符串进行排序。当且仅当 $S_i$ 在字典上小于 $S_j$ 或 $S_i$ 等于 $S_j$ 并且 $i$ < $j$ 时，才应将索引为i的字符串放在索引为j的字符串的左侧。让 $r_i$ 为字符串 $S_i$ 从左开始的新位置，也就是说， $S_{ri}$ 是排序后从左起第 $i$ 个字符串。（位置是从0开始的数字）例如，如果n=5，p=[4,3,0,1,2]和d=[5,0,0,0,0]，则 $S_0$ =“ 01234”， $S_1$ ＝“01235”， $S_2$ =“01205”， $S_3$ ＝“01205”， $S_4$ ＝“00205”， $S_5$ ＝“00005”。因此 $r_0$ =4， $r_1$ =5, $r_2$ =2， $r_3$ =3， $r_4$ =1和 $r_5$ =0。请求出从0到n的所有的 $r_i$

输入描述：

第一行包含一个整数t（1≤t≤10^ 3）表示测试用例的数量。每个测试的第一行包含一个正整数n（1≤n≤2×10^ 6）。每个测试的第二行包含四个整数 $p_{seed}$ ， $p_a$ ， $p_b$ ， $p_{mod}$ （0≤ $p_{seed}$ ， $p_a$ ， $p_b$ < $p_{mod}$ ≤10^ 9+7）。使用以下伪代码生成p。
$seed$ $=$ $p_{seed}$
$for$ $i$ $=$ $0$ $to$ $n-1$ $:$ $p[i]$ = $i$
$for$ $i$ $=$ $1$ $to$ $n-1$
{
$swap$ $the$ $value$ $of$ $p[$ $seed$ $modulo$ $(i + 1)$ $]$
$p[$ $seed$ $modulo$ $(i+1)$ $]$ $and$ $p[i]$
$seed$ $=$ $($ $seed$ $*$ $p_a$ $+$ $p_b$ $)$ $modulo$ $p_{mod}$
}
每个测试的第三行包含四个整数 $d_ {seed}$ ， $d_a$ ， $d_b$ ， $d_ {mod}$ （0 $\le$ $d_ {seed}$ ， $d_a$ ， $d_b$ < $d_ {mod}$ $\le$ 10^9+7）。使用以下伪代码生成d。
$seed$ $=$ $d_{seed}$
$for$ $i$ $=$ $0$ $to$ $n-1$ $:$
$d[i]$ $=$ $seed$ $modulo$ $10$
$seed$ $=$ $($ $seed$ $*$ $d_a$ $+$ $d_b$ $)$ $modulo$ $d_{mod}$
测试用例中n的总和不超过10 ^ 7

输出描述：

对于每个测试，您不需要输出 $r_i$ 的整个序列。相反，您应该输出一个非负整数
$($ $i=0∑n$ ( $r_i$ $∗$ $10000019^i$ $))$ $mod$ $1000000007$ $.$

样例输入：

2
5
1 3 1 4
5 2 0 170
1
0 0 0 1
1000000000 1000000006 1000000006 1000000007

样例输出：

26717147
10000019

思路：

二分+笛卡尔树 ~~数据卡ST表T了好几遍emmmm…~~
通过观察 $p_i$ 的最小值可以发现，每次可以通过 $p_i$ 的最小值来将数列划分为两部分，在 $1$ ~ $p_i$ 之间和 $p_{i+1}$ ~ $p_n$ 之间重复上述过程，在 $d_i$ > $p_i$ 时字典序变大…~~这不就是二分吗？~~
所以这道题可以用二分来解：每次找到最小的 $p_i$ ，将数列分成两部分，再继续递归，直到只有一个为止，最后比较 $d_i$ 和 $p_i$ 的大小。
那么问题来了，如何才能快速求出区间内 $p_i$ 的最小值呐？这就需要引进一个知识——笛卡尔树（ST表会T）
笛卡尔树的原理大概是这样的：
用单调栈来维护一个链表，如果违背单调栈，那就放在左子树上（这里就不详细讲了，如有需要请看这里）

AC Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int HASH=1e7+19;
const int MAXN=2e6+5;
const ll MAX=INT_MAX+1e8;
const ll mod=1e9+7;
ll Pseed,Pa,Pb,Pmod,P[MAXN],Dseed,Da,Db,Dmod,D[MAXN];
ll st[MAXN],ans,Rank[MAXN],has,l[MAXN],r[MAXN];
int t,n,val;
void cartesian()
{
    int tmp=0,x;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        x=tmp;
        while(x>0&&P[st[x]]>P[i]) x--;
        if(x) r[st[x]]=i;
        if(x<tmp) l[i]=st[x+1];
        st[++x]=i;
        tmp=x;
    }
}//笛卡尔树
void dfs(int left,int right,int minn)
{
    if(left>right) return;
    if(left==right){Rank[left]=val++;return;}
    if(P[minn]==MAX)
    {
        for(int i=left;i<=right;i++)
            Rank[i]=val++;
        return;
    }
    if(P[minn]%10>D[minn]) dfs(minn+1,right,r[minn]),dfs(left,minn,l[minn]);
    else dfs(left,minn,l[minn]),dfs(minn+1,right,r[minn]);
}//二分
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        has=1;
        val=0;
        ans=0;
        scanf("%d",&n);
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&Pseed,&Pa,&Pb,&Pmod);
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&Dseed,&Da,&Db,&Dmod);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            P[i]=i;
            D[i]=Dseed%10;
            Dseed=(Dseed*Da+Db)%Dmod;
        }
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            swap(P[i],P[Pseed%(i+1)]);
            Pseed=(Pseed*Pa+Pb)%Pmod;
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(P[i]%10==D[i]) P[i]=MAX;//无用数据
        cartesian();
        dfs(0,n,st[1]);
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            ans+=(ll)(Rank[i]*has)%mod;
            ans%=mod;
            has*=HASH;
            has%=mod;
        }
        printf("%lld\n",ans%mod);
    }
}

本文参考博客

2020牛客暑期多校训练营第三场Sort the Strings Revision