Este artigo está escrito nas próprias notas de estudo do Beamforming
Em linguagem simples, o princípio matemático da atribuição de vigas é introduzido e um exercício simples de simulação de código python é fornecido ao mesmo tempo.
O que queremos discutir é como moldar o feixe, de modo a atingir "onde atingir onde", de modo que as ondas de rádio possam atingir a direção especificada.
O arranjo de antenas comum é ULA (Uniform Linear Array, Uniform Linear Array), conforme mostrado na figura a seguir:
Um grupo de antenas dispostas uniformemente na horizontal, a distância entre as antenas é registrada como d.
Se a atenuação do sinal não for considerada, os dados do sinal que transmitimos são s (um número complexo, com amplitude e fase), e a distância entre a extremidade receptora e a extremidade transmissora é grande o suficiente, a conexão entre cada antena do extremidade transmissora e a única antena da extremidade receptora, da extremidade transmissora A vizinhança das antenas finais parece ser paralela (na verdade, não é paralela, mas quase paralela, o que é uma simplificação do cálculo. Se for não simplificado, o cálculo será muito complicado).
Suponha que o ângulo entre a conexão do arranjo de antenas e a conexão final receptora seja θ \thetaθEntão,
os sinais sem fio recebidos pela extremidade receptora de diferentes antenas transmissoras terão diferentes atrasos de tempo e, portanto, diferentes rotações de fase
A antena transmissora na parte inferior da figura acima é usada como referência. Escolhemos a antena com a menor distância em linha reta como referência. Em seguida, as ondas de rádio transmitidas da primeira antena transmissora atingem a antena receptora e as ondas de rádio da segunda antena transmissora próxima a ela alcançará a antena receptora. Em comparação com as ondas de rádio emitidas pela primeira antena transmissora, a distância percorrida é dcos ( θ ) dcos(\theta)d cos ( θ )
Então a onda de rádio emitida pela k-ésima antena é( k − 1 ) dcos ( θ ) (k-1)dcos(\theta)( k−1 ) d cos ( θ )
Então o tempo extra é: a distância extra dividida pela velocidade da luz c
Δ t = ( k − 1 ) dcos ( θ ) c \Delta t=\frac{(k-1)dcos(\theta)}{c}Δ t=c( k−1 ) d cos ( θ ) .
Discutindo a onda eletromagnética de frequência única, assumindo que a frequência é f, o desvio de fase devido ao tempo extra de viagem é:
2 π f Δ t = 2 π f ( k − 1 ) dcos θ c = 2 π ( k − 1 ) dcos ( θ ) λ 2\pi f\Delta t=\frac{2\pi f(k-1)dcos\theta}{c}=\frac{2\pi(k-1)dcos(\theta) }{ \lambda}2 p f D t=c2 π f ( k−1 ) d cos θ=eu2 π ( k−1 ) d cos ( θ ) .
Forma: λ = cf \lambda=\frac{c}{f}eu=fcpara o comprimento de onda.
Tensão aleatória = 2 π dcos ( θ ) λ \psi=\frac{2\pi dcos(\theta)}{\lambda}p=eu2 π d cos ( θ )
Então, para N antenas, os desvios de fase correspondentes são:
0 , ψ , 2 ψ , 3 ψ , . . . , ( N − 1 ) ψ 0,\;\psi, \;2\psi,\;3\psi,\;...,\;(N-1)\psi0 ,ps ,2ψ , _3 ps ,... ,( N−1 ) p
Na análise no domínio da frequência, é equivalente ao sinal transmitido, embora o sinal de cada antena transmissora seja o mesmo, mas o sinal recebido pela extremidade receptora é multiplicado por :
e j 0 , e j ψ , e j 2 ψ , e j 3 ψ , . . . , e j ( N − 1 ) ψ e^{j0},\;e^{j\psi},\;e^{j2\psi},\;e^{j3\psi},\;...,\;e^{j(N-1)\psi} ej 0 ,ej ψ ,ej 2 ψ ,ej 3 ψ ,... ,ej ( N − 1 ) p
Então o sinal recebido é:
1 N ∑ k = 0 N − 1 sejk ψ = s 1 N ∑ k = 0 N − 1 ejk ψ \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N- 1 }se^{jk\psi}=s\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{jk\psi}N1k = 0∑N - 1com ejk ψ=sN1k = 0∑N - 1ejk ψ
Nota: Dividir a fórmula acima por N é normalização de energia e não afeta a análise de desempenho.
Então o sinal recebido é equivalente ao sinal transmitido, e sua variação é:
1 N ∑ k = 0 N − 1 ejk ψ \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{jk\psi}N1k = 0∑N - 1ejk ψ
Se apenas o ganho de energia for considerado, então:
G ( ψ ) = 1 N ∣ ∑ k = 0 N − 1 ejk ψ ∣ G(\psi)=\frac{1}{N}|\sum_{k=0}^ { N-1}e^{jk\psi}|G ( ψ )=N1∣k = 0∑N - 1ejk ψ ∣
Após algumas derivações (ver apêndice), a fórmula acima pode ser resumida como:
G ( ψ ) = { ∣ sin ( N ψ / 2 ) N sin ( ψ / 2 ) ∣ , se ψ ≠ 0 1 , se ψ = 0 G (\ psi)= \begin{casos} |\frac{sin(N\psi/2)}{Nsin(\psi/2)}|, & \text {if $\psi \neq 0$} \\ 1 , & \text{se $\psi=0$} \end{casos}G ( ψ )={
∣N s in ( ψ /2 )s em ( N ψ /2 )∣ ,1 ,se p=0se p=0
ψ
= 2 π dcos ( θ ) λ \psi=\frac{2\pi dcos(\theta)}{\lambda}p=eu2 π d cos ( θ )
Após a substituição, podemos calcular os diferentes ganhos correspondentes a diferentes ângulos na extremidade receptora , quando ψ \psiψ é0 0Quando 0 , tome o valor máximo, ou seja,θ = π 2 \theta=\frac{\pi}{2}eu=2pou 3 π 2 \frac{3\pi}{2}215h _Ao tomar o valor máximo.
No programa Python, a curva de ganho desenhada nas coordenadas polares é a seguinte:
Suponha que d λ = 1 2 \frac{d}{\lambda}=\frac{1}{2}eud=21
A primeira foto: 8 antenas seguidas
16 antenas seguidas
Pode-se observar que quanto mais antenas, mais concentrado e mais estreito o feixe.
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
N = 8 #天线数量
theta = np.arange(0.000001,2*np.pi-0.0000001,0.01)
psi = np.pi * np.cos(theta)
r = np.abs(np.sin(N * psi/2)/np.sin(psi/2))/N
plt.figure()
plt.polar(theta,r)
plt.show()
Forma:
1 N ∑ i = 0 N − 1 ejk ψ = 1 N 1 − ej N ψ 1 − ej ψ = 1 N ej N ψ / 2 ej ψ / 2 ( e − j N ψ / 2 − ej N ψ / 2 ) ( e − j ψ / 2 − ej ψ / 2 ) = ej N ψ / 2 ej ψ / 2 sin ( N ψ / 2 ) N sin ( ψ / 2 ) \frac{1}{N}\sum_{ i=0}^{N-1}e^{jk\psi}=\frac{1}{N}\frac{1-e^{jN\psi}}{1-e^{j\psi}} =\frac{1}{N}\frac{e^{jN\psi/2}}{e^{j\psi/2}}\frac{(e^{-jN\psi/2-e^{ jN\psi/2}})}{(e^{-j\psi/2}-e^{j\psi/2})}=\frac{e^{jN\psi/2}}{e^ {j\psi/2}}\fração{sin(N\psi/2)}{Nsin(\psi/2)}N1eu = 0∑N - 1ejk ψ=N11−ej ψ1−ej N ψ=N1ejψ / 2ej N ψ / 2( e− jψ / 2−ejψ / 2 )( e− j N ψ /2 − ej N ψ /2 )=ejψ / 2ej N ψ / 2N s in ( ψ /2 )s em ( N ψ /2 )
Se for considerada apenas a magnitude, das duas frações na derivação acima, o módulo da primeira fração é 1, o que pode ser ignorado.
∣ 1 N ∑ k = 0 N − 1 ejk ψ ∣ = ∣ sin ( N ψ / 2 ) N sin ( ψ / 2 ) ∣ |\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N- 1}e^{jk\psi}|=|\frac{sin(N\psi/2)}{Nsin(\psi/2)}|∣N1k = 0∑N - 1ejk ψ ∣=∣N s in ( ψ /2 )s em ( N ψ /2 )∣