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Primeiro, vamos revisar a definição de permutação e combinação sem repetir elementos
Arranjo , em inglês chamado de Permutação, refere-se à remoção de um elemento de um número especificado de elementos no conjunto são classificados
Combination , o nome em inglês é Combination, o que significa que apenas um determinado número de elementos é obtido de um conjunto de elementos, independentemente da ordem
Os arranjos para retirar aleatoriamente r elementos de um conjunto de n elementos diferentes são: P (n, r) = n * (n-1) * ... * (n-r + 1) = n! / (Nr ) !, especialmente P (n, n) = n!
A combinação de r elementos de um conjunto de n elementos diferentes é: C (n, r) = P (n, r) / r! = N! / ((Nr)! * R!), Especialmente C (n, n) = 1
Em segundo lugar, vamos definir a permutação e combinação de vários conjuntos (multiset)
Deixe o conjunto múltiplo S = {n1 * a1, n2 * a2, ..., nk * ak}, n = n1 + n2 + ... + nk ,
Ou seja, o conjunto S contém n1 elementos a1, n2 elementos a2, ..., nk elementos ak, ni é chamado de multiplicidade do elemento ai, ek torna-se o número de categorias do conjunto múltiplo
O arranjo de quaisquer r elementos em S é chamado de arranjo r de S. Quando r = n, existe a fórmula P (n; n1 * a1, n2 * a2, ..., nk * ak) = n! / ( n1! * n2! * ... * nk!)
A combinação de quaisquer r elementos em S é chamada de combinação r de S. Quando r <= qualquer ni, há a fórmula C (n; n1 * a1, n2 * a2, ..., nk * ak) = C ( k + r-1, r),
Pode-se ver pela fórmula que a combinação de conjuntos múltiplos está relacionada apenas ao número de categorias k e ao elemento r selecionado , e nada tem a ver com o total!
Como transformar a descrição do problema em uma permutação e combinação de vários conjuntos de problemas?
Terceiro, vamos ver alguns exemplos de problemas de múltiplos conjuntos
Exemplo 1: Quantos conjuntos de soluções de inteiros não negativos existem na equação linear x1 + x2 + ... + xk = r?
Solução: A solução de número inteiro não negativo da equação indeterminada acima corresponde ao seguinte arranjo
1 ... 1 0 1 ... 1 0 1 ... 1 0 ...... 0 1 ... 1
x1 pcs x2 pcs x3 pcs ...... xk pcs
Entre eles, k-1 0s dividem r 1s em k segmentos, e o número de 1s em cada segmento é x1, x2, ..., xk,
Obviamente, esse arranjo é um arranjo completo de conjuntos múltiplos S = {r * 1, (k-1) * 0}
Ou seja: P (r + k-1; r * 1, (k-1) * 0) = (r + k-1)! / (R! * (K-1)!) = C (r + k- 1, r), ou seja , selecione r tipos de k tipos de elementos
Exemplo 2: Uma estação tem 6 entradas, e cada entrada só pode entrar uma pessoa por vez. Qual é o plano para um grupo de 9 pessoas entrar na estação?
Resposta: O plano de entrada pode ser expresso como
1 0 11 0 11 0 1 0 11 0 1
g1 g2 g3 g4 g5 g6
Entre eles, 1 significa pessoas diferentes e 0 significa moldura da porta, 6-1 = 5 molduras da porta dividem a sequência em seis segmentos,
Então, qualquer plano de entrada pode ser expresso como um arranjo dos 14 elementos acima S = {5 * 1, 1 * p1, 1 * p2, ..., 1 * p9}
Ou seja: P (5 + 9; 5 * 1, 1 * p1, 1 * p2, ..., 1 * p9 ) = 14! / (5! * 1! * .... 1!) = 14! / 5!
Exemplo 3: Encontre o número de caminhos não descendentes de (0,0) a (m, n)
Resposta: Não importa qual caminho, você deve dar m passos na direção xe n passos na direção y e estabelecer uma correspondência um a um entre o número de caminhos não descendentes e o arranjo de vários conjuntos S = {m * x, n * y}. Portanto, o número total de grades é P (m + n; m * x, n * y) = (m + n)! / (M! * N!) = C (m + n, n) = C (m + n, m)
Geralmente, se c> = a, d> = b, o número de caminhos não decrescentes de (a, b) a (c, d) é C (c-a + db, ca)
Problema de expansão: com base no exemplo acima, se m <n, encontre os dados do caminho não decrescente do ponto (0,1) ao ponto (m, n) sem tocar na diagonal y = x (o contato inclui a passagem)
解答：从（0,1）到(m,n)的非降路径，有的接触 y=x，有的不接触，对于每条接触 y=x的非降路径，做(0,1)关于y=x的对称点(1,0)到(m,n)的对称非降路径，容易看出从（0,1）到（m,n）接触y=x的非降路径与 （1,0）到(m,n)的非降路径（必穿过y=x）一一对应，
故所求的非降路径数为 C(m+n-1, m) - C(m+n-1, m-1)
例四、将r个相同的小球放入n个不同的盒子，总共有多少种方案？
解答：该问题可以转化为r个相同的小球与n-1个相同的盒壁的排列问题
1...1 0 1...1 0 1...1 0 ...... 0 1...1
其中有 n-1个 0 分成 n段,每段表示不同的盒子， 每段中1的个数表示该盒子里放入的小球总数，总共r个1
即：P( r+n-1; r*1, (n-1)*0 ) = (r+n-1)! / ( r! * (n-1)! ) = C( r+n-1, r)
例五、求集合 X = { 1,2，..., n }的不含相邻整数的k元子集个数
解答：任意一个X的k元子集s都可以对应于一个由0,1组成的有序n重组（a1 a2 ... an）,其中 ai = 1 当 i属于s，否则 ai = 0，当i不属于s，由于s中不含相邻整数，所以在此n重组中没有两个1是相邻的，所以子集s是与这样的n重组 S = { k*1, (n-k)*0 }之间是一一对应的，由于任意两个1彼此不相邻，故可以把（n-k）个0依次排列，然后在（n-k+1）个空隙中插入k个1，所以从（n-k+1）个空隙中选择k个位置来放置1，有 C(n-k+1, k) 种选法，这也是原问题所对应的答案。
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