⚠Aviso: Este problema é extremamente enfadonho, os não profissionais saem rapidamente.
"Bijetivo" é, na verdade, um termo matemático mais terreno, porque preferimos chamá-lo de "mapeamento um-para-um" na álgebra relacional. A álgebra relacional é um ramo da matemática que estuda a "relação de mapeamento" entre conjuntos. Em seguida, o conceito de conjuntos é abstraído para outras disciplinas para produzir várias teorias de subdivisão. O artigo anterior "VLQ Offset Natural Numbers" também enfocou a "bijeção". O tema se desdobra, ou seja, o mapeamento um-a-um entre códigos e números naturais.
Na verdade, na "permutação e combinação" da matemática do ensino médio, várias ideias de "tiros duplos" foram introduzidas para resolver problemas práticos. Por exemplo, existem 100 equipes, duas a duas para jogos de eliminação e, por fim, uma equipe campeã será produzida. Quantos jogos serão disputados? Jogo (sem empate)?
De acordo com o pensamento convencional, deve ser analisado assim:
50 jogos serão disputados na primeira rodada, deixando 50 times;
25 jogos serão disputados na segunda rodada, deixando 25 times;
12 jogos serão disputados na terceira rodada, deixando 13 times;
Serão 6 jogos na quarta rodada, restando 7 times;
Haverá 3 jogos na quinta rodada, restando 4 times;
Haverá 2 jogos na sexta rodada, restando 2 times;
A sétima rodada é uma final, formando um time campeão;
Portanto, um total de 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 2 + 1 = 99 jogos foram jogados.
Acredito que quando você vir a resposta "99", vai perceber que deve haver um algoritmo mais simples. . Vamos mudar nosso pensamento e analisar. Cada vez que jogamos, devemos eliminar um time: [um jogo] e [eliminar um time] correspondência um a um, então se você quiser eliminar 99 times e jogar apenas 99 jogos. Este algoritmo obtém a resposta imediatamente, que é muito mais simples do que a "iteração intuitiva" anterior. Esta questão é semelhante ao "problema da substituição de garrafas vazias": parece que 2 garrafas vazias podem ser trocadas por 1 garrafa de água e, em seguida, pergunte quanta água pode ser comprada Então, a ideia da resolução de problemas é transformar o problema um por um para evitar tentar resolvê-lo.
Fórmula de permutação
Vejamos outra questão: divida 7 livros diferentes em 2 para A, 1 para B e 4 para C. De quantas maneiras existem?
Aqui está outro hábito de resolução de problemas: dividir e conquistar , ou seja, dividir o grande problema em diferentes etapas que podem ser consideradas de forma independente. Neste problema, você pode primeiro considerar B e C como um todo. O problema passa a ser: 7 livros divididos em 2 livros, Quantas maneiras existem para outras 5 pessoas? Desta forma, você pode chamar diretamente a fórmula do número da combinação não ordenada : C (7,2) = 21 tipos.
A fórmula para o número de combinações refere-se ao número total de combinações pegando aleatoriamente m (m≤n) elementos de n elementos diferentes e formando um grupo desordenado .
Fórmula do número de combinação:
Nos 21 métodos de classificação acima, não importa como os 5 livros restantes sejam alocados para B e C, isso não afetará os livros já alocados para A, portanto, essas 21 situações são simétricas . Então o subproblema de dividir e conquistar passa a ser: dividir 5 livros diferentes em um para B e 4 para C, para um total de C (5,1) = 5. Combine os problemas novamente e divida os 7 livros em A, B, C, 2, 1 e 4, um total de C (7,2) * C (5,1) = 21 * 5 = 105 divisões.
Acima, apresentamos as fórmulas de permutação e combinação, dividir e conquistar e habilidades de mapeamento um-a-um, a seguinte síntese desses métodos desafia problemas mais difíceis.
Modelagem matemática
Há 7 ruas norte-sul e 5 ruas leste-oeste em uma cidade, um total de 4 * 6 = 24 quarteirões. Se alguém quiser andar do canto sudoeste ao canto nordeste da cidade, qual é o caminho mais curto a pé?
Bloco: uma área cercada por quatro ruas.
Há muitas maneiras de resolver esse problema, mas é a mais simples usar a ideia de mapeamento um-para-um para modelar. Primeiro, convertemos o problema no sistema de coordenadas acima. Quantos caminhos mais curtos existem do ponto O ao ponto A? É um problema de permutação e combinação. Assumimos que cada bloco percorrido dá 1 passo. Ir para a direita é registrado como x, e subir é registrado como y.
Não importa como você vá, você sempre tem que andar 6 passos na direção do eixo xe 4 passos na direção do eixo y, um total de 10 passos, mas a ordem de xey pode ser arbitrária, como xxxyyyyxxx, cada combinação e um caminho mais curto um Para um mapeamento, defina uma matriz de comprimento 10, quaisquer 4 posições na matriz são definidas como x, e o resto é y, o número total é C (10,4) = 210 tipos.
A chave para a ideia de solução de problemas de "correspondência um a um" é estabelecer que tipo de relação de "correspondência" para alcançar facilmente a solução de problemas. Este é um problema técnico.
A frase mais profunda deixada para mim pelo professor de matemática do ensino médio é: A matemática deve ser mais simples à medida que você aprende, porque você tem cada vez mais métodos. Esta frase é realmente malditamente certa.
Sequência estritamente crescente
Nesta edição, vamos compartilhar um total de 4 problemas de permutação e combinação elementares, com dificuldade crescente. O seguinte usa todas as habilidades aprendidas antes para desafiar o último problema:
Todos nós sabemos que na sequência de n elementos de 1, 2, 3, ..., n, quaisquer r elementos [sem repetição, r≤n] podem ser selecionados a partir de diferentes combinações de C (n, r), e É a fórmula do número de combinação acima. Se a seleção repetida for permitida, por exemplo, selecione todos 1 [r pode ser maior que n], quantas combinações existem?
solução:
Ao contrário do número de permutações, o número de combinações não tem ordem (a ordem não tem sentido ), o que significa que podemos forçá-los a serem classificados. Pegamos um conjunto de exemplos: X1 ≤ X2 ≤ ... ≤ Xr, que é um conjunto de números crescentes .
Em seguida, queremos mapear a sequência crescente para a sequência estritamente crescente , que é encontrar uma maneira de alterar todo "≤" para "<". Por quê? Porque a série estritamente crescente pode aplicar diretamente a fórmula do número de combinação!
Adicionamos 0, 1, 2, ..., r-1 de X1 a Xr respectivamente e obtemos Y1 <Y2 <... <Yr, conforme mostrado na figura a seguir:
Mapeamos com sucesso a sequência crescente de X à sequência estritamente crescente de Y, um por um. Agora, enquanto o número da sequência Y for contado, o número da sequência X será. Obviamente [todo o mal está obviamente estabelecido] Todo Y não se repete e Yr ≤ n + r-1, a situação neste momento é equivalente a escolher r de 1, 2, 3, ..., n + r-1 Elementos que não se repetem (cada elemento só pode ser selecionado uma vez), como você pode imaginar, a resposta é C (n + r-1, r).
Do ensino fundamental à universidade, da matemática elementar à matemática avançada, os resultados dos testes são sempre polarizados.A razão fundamental é que existem atalhos para quase todas as perguntas. Se observar as respostas às perguntas dos exames, verá que as respostas são sempre muito simples na forma, com expressões curtas e números.Os professores não gostam de perguntas com resultados complexos: mesmo que as perguntas sejam complexas, as "soluções" são sempre concisas.
Portanto, há um tipo de pensamento reverso: como a forma do resultado conhecido é muito simples, deve haver um algoritmo simples. E o "mapeamento um para um" é um desses atalhos matemáticos: mapeando o problema original para um modelo mais simples. E esse tipo de mapeamento sempre pode ser encontrado, e os alunos que ousam se “aventurar” e passar o tempo procurando por esse tipo de mapeamento na corrida contra o tempo se tornaram mestres acadêmicos. É por isso que o teste de matemática é polarizado.
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