공간 차원에서 2점 경계 값 문제를 해결하기 위한 유한 차분 방법의 적용
유한차분법은 편미분 방정식과 같은 수학적 문제를 풀기 위한 일반적인 수치해법입니다. 공간 차원에서 유한 차분법을 사용하여 경계 조건이 알려진 2점 경계 값 문제를 해결할 수 있습니다. 이 문서에서는 유한 차분 방법의 기본 사항을 소개하고 해당 소스 코드 예제를 제공합니다.
유한차분법의 기본 원리는 해 영역을 유한한 수의 그리드 점으로 이산화한 다음 차분 근사를 사용하여 편미분 방정식의 도함수를 대체하여 일련의 이산 대수 방정식을 얻는 것입니다. 2D 문제의 경우 각 그리드 점이 솔루션 도메인의 위치를 나타내는 2D 그리드를 사용하여 이산화할 수 있습니다.
Laplace 방정식을 푸는 것과 같은 간단한 2차원 문제를 고려하십시오.
∇²u = 0
그 중 u는 풀어야 할 함수이고, ∇²는 Laplacian 연산자를 나타낸다. 직사각형 영역 Ω에서 이 방정식을 풀고 경계의 두 점은 각각 A와 B이며 알려진 경계 조건은 u(A
) = u_A, u(B) = u_B라고 가정합니다.
유한차분법을 사용하여 이 문제를 풀기 위해서는 먼저 솔루션 도메인 Ω을 2차원 그리드로 이산화해야 합니다. Ω의 너비가 Lx이고 높이가 Ly라고 가정하면 x축 방향을 따라 Nx 그리드 포인트와 y축 방향을 따라 Ny 그리드 포인트로 나눌 수 있습니다.
각 그리드 점의 좌표를 다음과 같이 정의합니다.
x_i = i * Δx, 여기서 i = 0, 1, 2, …, Nx, Δx = Lx / Nx
y_j = j * Δy, 여기서 j = 0, 1, 2, … Ny, Δy = Ly/Ny
분할된 그리드에서 u_{i,j}를 사용하여 그리드 포인트(x_i, y_j)에서 함수 값을 나타낼 수 있습니다. 여기서 i = 0, 1, 2, ..., Nx, j = 0, 1, 2, ..., 뉴욕.
라플라스 방정식에 따른 차분 근사