データ構造とアルゴリズムのセグメントツリー

（A）の定義

セグメントツリーは、ツリーの行の高さバランスが左右のサブツリーの差の絶対値が1セグメントツリーは2つの部分から構成され、各ストレージノードの内容を超えない平衡二分探索木です。？：

• 間隔又はセグメントである：[範囲左点、右点間隔（パラメータまたは属性ノードクラスとして表さ部材表します）
• 要素記憶されているノード間隔：ビジネスニーズに応じて決定

特性に基づいて平衡二分木（多くて1以上の左と右のサブツリーの高さの差の絶対値）、我々はNULL終了間隔を使用することができることは存在しない、完全なバイナリツリーの最終完了、層によってノード間隔順次層（出力シーケンス）のレイアウト、我々は、アレイ方式を使用することができる（セクションと要素がn個存在し、メモリ空間の最大アレイサイズが4Nに必要とされる）完全二分木を表す。

上記チャートから。

• 各レンジインターバルの左の子ノード[L、中間]、[中間+ 1、R]式中、L :. Aがエンドポイントを残し、Rの右側の子：右端、ミッド=（L + R）/ 2
• ノードiについては、左の子ノードは2 * I + 1、2 * I + 2の右の子です。

（II）カスタムセグメントツリー

アレイからセグメントツリーを作成1。

public class SegmentTree<E> {

	/**
	 * 源数据数组
	 */
	private E[] data;

	/**
	 * 以数组的形式表现线段树
	 */
	private E[] tree;
	
	/**
	 * 融合器接口: 线段树的区间结点存储的元素根据融合器接口的merger()方法来决定
	 */
	private Merger<E> merger;

	/**
	 * 构造函数: 将传来的数组 构建成 线段树数组
	 * 
	 * @param arr
	 */
	@SuppressWarnings("unchecked")
	public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger) {
		// 融合器接口初始化 
		this.merger = merger;
		
		// 源数据数组初始化
		data = (E[]) new Object[arr.length];
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			data[i] = arr[i];
		}

		// 线段树数组初始化的大小为 数组大小的4倍.
		tree = (E[]) new Object[4 * arr.length];
		// 构建线段树数组
		buildSegmentTree(0, 0, arr.length - 1);
	}

	/**
	 * 在treeIndex的位置创建表示区间[l...r]的线段树
	 * 
	 * @param treeIndex	线段树的根结点索引
	 * @param l	区间的左端点
	 * @param r	区间的右端点
	 */
	private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {
		// 递归的终止条件: 区间的左端点 等于 区间的右端点
		if (l == r) {
			tree[treeIndex] = data[l];
			return;
		}
		
		// 当前结点的左孩子结点索引
		int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
		// 当前结点的右孩子结点索引
		int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
		
		// 中间值
		int mid = l + (r - l) / 2;
		
		// 先创建以左孩子结点索引处区间[最左端点...中间值]的线段树
		buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
		// 然后创建以右孩子结点索引处区间[中间值+1...最右端点]的线段树
        buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);
		
		// 最后区间要维护的数据 根据Merger接口的merge(e1, e2)方法来决定
		tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
	}
	
	/**
	 * 返回完全二叉树的数组表示中, 一个索引所表示的元素的左孩子结点的索引
	 *  
	 * @param index
	 * @return
	 */
	private int leftChild(int index) {
		return index * 2 + 1;
	}
	
	/**
	 * 返回完全二叉树的数组表示中, 一个索引所表示的元素的右孩子结点的索引
	 * 
	 * @param index
	 * @return
	 */
	private int rightChild(int index) {
		return index * 2 + 2;
	}
	
	@Override
	public String toString() {
		StringBuilder res = new StringBuilder();
		res.append('[');
		for (int i = 0; i < tree.length; i++) {
			res.append(tree[i]);
			if (i != tree.length - 1) {
				res.append(", ");
			}
		}
		res.append("]");
		return res.toString();
	}
}

テスト

public static void main(String[] args) {
	Integer[] nums = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
	// lambda表达式 (a, b) -> a + b 表示Merger接口的merge(a, b), 求两数之和
	SegmentTree<Integer> segmentTree = new SegmentTree<>(nums, (a, b) -> a + b);
	System.out.println(segmentTree);
}

2.セグメントツリーのクエリー間隔

3例があります。

• 子どもたちは、左側のセクションに検索範囲（ミッド> =右ポイントクエリ間隔）、再帰的な子供を含むツリーラインの間隔を残しました
• 右の子間隔のセグメントツリーは、右の範囲に検索範囲（ミッド<クエリ範囲の=左エンドポイント）、再帰的な子が含まれています
• 子どもたちの周りの間隔は、[左クエリ範囲の終点、ミッド]および[半ば、右のクエリ間隔のポイント]の値を取得しながら動作させるために、間隔ツリーラインを検索します。

/**
 * 返回区间[queryL, queryR]的值
 * 
 * @param queryL
 * @param queryR
 * @return
 */
public E query(int queryL, int queryR) {
	 if (queryL < 0 || queryL >= data.length || queryR < 0 || queryR >= data.length || queryR < queryL) {
		 throw new IllegalArgumentException("Index is illegel.");
	 }
	 return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);
}

/**
 * 在以treeIndex为根的线段树中[r...l]的范围里, 搜索区间[queryL...queryR]的值
 * 
 * @param treeIndex
 * @param l
 * @param r
 * @param queryL
 * @param queryR
 * @return
 */
private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {
	// 递归终止条件: 搜索区间的左端点 等于 以treeIndex为根的线段树的左端点  且 搜索区间的右端点 等于 以treeIndex为根的线段树的右端点
	if (l == queryL && r == queryR) {
		return tree[treeIndex];
	}
	
	int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
	int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
	int mid = l + (r - l) / 2; // 3 
	
	if (queryR <= mid) {
		// 第一种情况: 以treeIndex为根的线段树的左子树区间  包含 搜索区间
		return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
	} else if (queryL >= mid + 1) {
		// 第二种情况: 以treeIndex为根的线段树的右子树区间  包含 搜索区间
		return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
	} else {
		// 第三种情况: 搜索区间 包含在  以treeIndex为根的线段树的左右子树区间
		E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
		E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);
		return this.merger.merge(leftResult, rightResult);
	}
}

3.セグメントツリーの単一の更新動作

インデックス値に対応するセグメントツリーインデックス、およびそのすべての親ノードのメンテナンスの値を更新します。

/**
 * 将index位置的值, 更新为e
 * 
 * @param index
 * @param e
 */
public void set(int index, E e) {
	if (index < 0 || index >= data.length) {
		throw new IllegalArgumentException("Index is Illegal.");
	}
	data[index] = e;
	set(0, 0, data.length - 1, index, e);
}

/**
 * 在以treeIndex为根的线段树中更新index的值为e
 * 
 * @param treeIndex
 * @param l
 * @param r
 * @param index
 * @param e
 */
private void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e) {
	// 递归终止的条件: 搜索区间的左端点 等于 搜索区间的右端点, 找到index索引在线段树的位置
	if (l == r) {
		tree[treeIndex] = e;
		return;
	}
	
	int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
	int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
	int mid = l + (r - l) / 2;
	
	if (index <= mid) {
		// 以treeIndex为根的线段树的左子树区间  包含 index
		set(leftTreeIndex, l, mid, index, e);
	} else { // index >= mid + 1
		// 以treeIndex为根的线段树的右子树区间  包含 index
		set(rightTreeIndex, mid + 1, r, index, e);
	}
	
	// 对修改元素结点的父节点重新赋值merge
	tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}

（C）は、時間複雑性解析

機能	時間複雑	分析
クエリ（L、R）	O（H）=> O（LOGN）	カスタムセグメントツリーは完全なバイナリツリー、木の高さにだけ再帰クエリ操作であります
セット（インデックス、E）	O（H）=> O（LOGN）	カスタムセグメントツリーは完全なバイナリツリー、木の高さにちょうど更新再帰であります