シンプルな数学 - メビウス反転、杜のティーチふるい、割り切れるブロック

\ [\開始{スプリット} A＆= \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ sum_ {J = 1} ^ nは{ijgcd（I、J）} \\＆= \ sum_ {D = 1} ^ n個\ sum_ {i = 1} ^ {\ lfloor \ FRAC {n}は{D} \ rfloor} \ sum_ {J = 1} ^ {\ lfloor \ FRAC {n}は{D} \ rfloor} IJD ^ 3 [GCD（ I、J）= 1] \\＆= \ sum_ {D = 1} ^ ND ^ 3 \ sum_ {I = 1} ^ {\ lfloor \ FRAC {n}は{D} \ rfloor} \ sum_ {J = 1 } ^ {\ lfloor \ FRAC {n}は{D} \ rfloor} IJ [GCD（I、J）= 1] \端{スプリット} \]
设\（F（N）= \ sum_ {iが1} ^ = {N} \ sum_ {J = 1} ^ NIJ [GCD（I、J）= 1] \）、 \（S（N）= \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ sum_ {J = 1} ^ NIJ \）

则
\ [\開始{スプリット} A＆= \ sum_ {D = 1} ^ ND ^ 3F（\ lfloor \ FRAC {n}は{D} \ rfloor）\端{スプリット} \]

と

\ [\ sum_ {I = 1} ^ {n}はI ^ 3 =（\ sum_ ^ NI {iは= 1}）^ 2 = [\ FRAC {N（N + 1）} {2}] ^ 2 \]

持っています

\ [\開始{スプリット} S（N）＆= \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ sum_ {J = 1} ^ NIJ = [\ FRAC {N（N + 1）} {2}] ^ 2 \\＆= \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ sum_ {J = 1} ^ NIJ \\＆= \ sum_ {T = 1} ^ {N} \ sum_ {I = 1} ^ {\ lfloor \ FRAC {N}、{T} \ rfloor} \ sum_ {J = 1} ^ {\ lfloor \ FRAC {N}、{T} \ rfloor} T ^ 2ij [GCD（I、J）= 1] \\＆ = \ sum_ {T = 1} ^ {n}はT ^ 2F（\ lfloor \ FRAC {N}、{T} \ rfloor）= F（N）+ \ sum_ {T> 1} T ^ 2F（\ lfloor \ FRAC {N}、{T} \ rfloor）\端{スプリット} \]

\ [F（N）= S（N） - \ sum_ {T> 1} T ^ 2F（\ lfloor \ FRAC {N}、{T} \ rfloor）= [\ FRAC {N（N + 1）} {2 }] ^ 2- \ sum_ {T> 1} T ^ 2F（\ lfloor \ FRAC {N}、{T} \ rfloor）\]

ブロック番号に
\ [\ sum_ {I = 1 } ^ {n}はI ^ 2 = \ FRAC {N（N + 1）（2N + 1）} {6} \]

预处理\（F（N）\）
\ [F（N）= \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ sum_ {J = 1} ^ NIJ [GCD（I、J）= 1] = F（ N-1）+2 \ sum_を{I = 1}で^ {N} [GCD（I、N）= 1] \]

而
\ [\ sum_ ^ {I 1 =}または[GCD（I、N）= 1] N = \ FRAC {\ varphi（N）} {2} \]

故
\、[F、（N）= F（N-1）、2 +、N ^ \ varphi、（n）は、\]

精神障害者の選手が誤ってn個も時間半以上のチューニングので出て死にます

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 5e6+5;

int i2,i4,i6,mod,n;

bool isNotPrime[N + 5];
int mu[N + 5], phi[N + 5], primes[N + 5], cnt;
inline void euler() {
    isNotPrime[0] = isNotPrime[1] = true;
    mu[1] = 1;
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
        if (!isNotPrime[i]) {
            primes[++cnt] = i;
            mu[i] = -1;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 1; j <= cnt; j++) {
            int t = i * primes[j];
            if (t > N) break;
            isNotPrime[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0) {
                mu[t] = 0;
                phi[t] = phi[i] * primes[j];
                break;
            } else {
                mu[t] = -mu[i];
                phi[t] = phi[i] * (primes[j] - 1);
            }
        }
    }
}

inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(!b) {
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y,y=t-(a/b)*y;
}

inline int inv(int a,int b) {
    int x,y;
    return exgcd(a,b,x,y),(x%b+b)%b;
}

int sum[N+1];

int h(int n) { n%=mod;
    return n*n%mod*(n+1)%mod*(n+1)%mod*i4%mod;
}

int u(int n) { n%=mod;
    return n*(n+1)%mod*(2ll*n+1)%mod*i6%mod;
}

map<int,int> mp;

int S(int n) {
    if(n<N) return sum[n];
    if(mp[n]) return mp[n];
    int l=2, r, ans=h(n);
    while(l<=n) {
        r=n/(n/l);
        ans -= (((u(r)-u(l-1))%mod+mod)%mod*S(n/l))%mod;
        ans %= mod;
        ans += mod;
        ans %= mod;
        l=r+1;
    }
    mp[n]=ans;
    return ans;
}

int read() {
    long long t;
    cin>>t;
    return t;
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    mod=read();
    n=read();
    i2=inv(2,mod);
    i4=inv(4,mod);
    i6=inv(6,mod);
    euler();
    sum[0]=phi[0];
    for(int i=1;i<=N;i++) sum[i]=(sum[i-1]+phi[i]%mod*i%mod*i%mod)%mod;
    int ans = 0, l=1, r;
    while(l<=n) {
        //cout<<l<<endl;
        r=(n/(n/l));
        ans += h(n/l) * ((S(r)-S(l-1)+mod)%mod) % mod;
        ans %= mod;
        l=r+1;
    }
    cout<<(long long)ans;
}