[研究ノート]列 - 一般化接尾オートマトン

その他 2019-12-14 11:26:50 訪問数: null

[研究ノート]列 - 一般化接尾オートマトン

A：[はじめに]

先週の研究怖がっ（レン）ヤン（レイ）いいえ（志）比（ホイ）、米国（で（）ワンダフル興）しなければなりません（ゆいます）倫（越）オートマトン参照により本明細書に\（\テキスト{bztMinamoto} \ ） この時の感情を表現する言葉の巨大人：

私は、全体の人オートマトンだように私は......感じる- \ （bztMinamoto \） （回文自動機はノートを学びます）

私は大まかに言えば、この過程でオンラインで見つける\（\ {テキストSAM} \ ） の記事がいくつかあると私は整理することを決めたので多くは、正しくありません。

II：[補題]

我々はすべて知っているとして、\（\ {テキストSAM} \）の代わりに求めているそうだとすれば、古典的なアプリケーションは、自然の中でサブストリング異なった文字列の数を求めているされた\（トライ\）木を？

劉李研究\（2015 \）国民の論文では、この文を言いました：

ほとんどの問題は、文字列のサフィックスオートマトンを用いて処理することが可能に拡張することができます\（トライ\）の木。

我々は、この上に構築されます\（トライ\）ツリー\（\ {テキストSAM} \ ） の一般化になって\（\ {テキストSAM} \ ） 。学習前に、まずそのことを確認しなければならない単一の文字列を\（\ {テキストSAM} \ ） おなじみのに十分な、

実際には、単純なものとして理解することができるマルチストリング （\ \テキスト{SAM} \ ） はQAQ

3：[アルゴリズム]

一般化と\（\テキスト{SAM} \ ） 複数の文字列の問題を処理している間に、インターネットは、拡散主流文言を有する\（3 \）種：

\（（1）\）大に文字列に連結され、すべてのモードに特別な記号が\（\テキスト{SAM} \ ） 、いくつかの形而上レイドプロセスを使用する決意。

\（（2）。\）の各列がパターンとみなさに挿入される前に\（最終\）に設定されている\（1 \） 、従来に係る\（\テキスト{SAM} \ ） 挿入など、すなわち、各列すべての最初から\（1 \）再起動の建設に。

\（（3）。\）構築するために、すべてのパターン文字列内の\（トライ\）ツリーを、その\（BFS \）横断コンストラクト（\ \テキストSAM} {\）、\ （INSERT \）は有効\（ラスト\）その中にある\（トライ\）木の父、と普通の残りの\（\ {テキストSAM} \ ） と同じ。

最初の実用性が高いと危険な複雑ではない、第二のリスニングルームの首長は、著作権侵害を言うが、これほど多くの人がこれを使用し、シンプルで非常にいくつかの問題ので、コード。しかし、一般によれば\（テキスト{SAM} \ \ ） に定義されている、唯一の第三の規格が書かれています。

なぜがある：ここで質問ですね\（BFS \）の代わりに、\（DFS \）それは？特定の状況下では\（DFS \）に立ち往生されます\（O（N ^ 2） \） と\（BFS \）特に言及していないだけで罰金を見つけるために（ここでは、ネットワーク全体の検索を大まかに言えば\（\テキスト{SAM} \ ） ブログの正確な表現を）。

\（BFS \）のコードは次のとおりです。

//Trie.tr[x]: Trie树的状态转移数组
//Trie.fa[x]: Trie树上节点x的父节点
//Trie.c[x]: Trie树上节点x的字符
//pos[x]:Trie上x节点的前缀字符串（路径 根->x 所表示的字符串）在SAM上的对应节点编号
inline void build(){//bfs遍历Trie树构造广义SAM
    for(Re i=0;i<C;++i)if(Trie.tr[1][i])Q.push(Trie.tr[1][i]);//插入第一层字符
    pos[1]=1;//Tire树上的根1在SAM上的位置为根1
    while(!Q.empty()){
        Re x=Q.front();Q.pop();
        pos[x]=insert(Trie.c[x],pos[Trie.fa[x]]);//注意是pos[Trie->fa[x]]
        for(Re i=0;i<C;++i)if(Trie.tr[x][i])Q.push(Trie.tr[x][i]);
    }
}

実際に確立\（トライ\）ツリーを構築し、次に（\ \テキスト{SAM} \ ） オフライン書き込みで、我々は構築できません\（トライ\）を直接オンラインのツリー構造を：

パターンを挿入する各文字列の前に、みなさ\（最終\）に設定されている\（1 \）、\ （INSERT \）関数正常に \（\テキスト{SAM} \ ） 特定の文を追加することに基づく（注以前に述べ使用著作権侵害の文言は、通常の文シュトゥットガルトではない \（INSERT \） ）。

変更\（挿入\）のコードは次のとおりです。

//link[i]: 后缀链接
//trans[i]: 状态转移数组
inline int insert(Re ch,Re last){//将ch[now]接到last后面
    if(trans[last][ch]&&maxlen[last]+1==maxlen[trans[last][ch]])return trans[last][ch];
    //已经存在需要的节点(特判1)
    Re x,y,z=++O,p=last,flag=0;maxlen[z]=maxlen[last]+1;
    while(p&&!trans[p][ch])trans[p][ch]=z,p=link[p];
    if(!p)link[z]=1;
    else{
        x=trans[p][ch];
        if(maxlen[p]+1==maxlen[x])link[z]=x;
        else{//需要拆分x，将len<=maxlen[p]+1的部分复制一个y出来
            if(maxlen[p]+1==maxlen[z]/*或者写：p==last*/)flag=1;(特判2)
            y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
            for(Re i=0;i<C;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
            while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
            link[y]=link[x],link[z]=link[x]=y;
        }
    }
    return flag?y:z;
    //返回值为:ch[now]插入到SAM中的节点编号，
    //如果now不是某个字符串的最后一个字符,
    //那么这次返回值将作为下一次插入时的last
}

戻り値は、レコードを容易にするために付加される（最終\）\。

我々は、特定のこれらの二つの特別な文の意味するものに焦点を当てて次へ：

(特判1)
if(trans[last][ch]&&maxlen[last]+1==maxlen[trans[last][ch]])
    return trans[last][ch];
(特判2)
if(maxlen[p]+1==maxlen[z]/*或者写：p==last*/)flag=1;

日本語文\（1 \）より良い私たちが望む、理解されている（最終\）\挿入ノードの背後にある\（Z \）ように\（maxlenを[Z]はmaxlenを[最終]さんが+1 \ =） 、およびこのノードが持ちます中に存在する（\ \テキスト{SAM} \ ） で、そしてそれが直接戻すことができます。

注：この返されたノードは、複数のパターンの状態を保存し、異なる複数のモードは、このノード内の文字列データ圧縮内の同じサブ文字列についてです、あなたが記録したい場合は、\（endposの\）のサイズを、それぞれの必要性個別のオープンパターン文字列\（SIZ \）の配列を順次更新しますが、すべての料理を束ねません。[例]

スペシャル宣告（2 \）\治療の本質である（トランス[最後] [CH \ ] \！\！= NULL \） と\（maxlenを[最後] +1 \ ！\！= MAXLEN [トランス[最後] [CH ]] \）の状況。

単一の文字列で見てみましょう\（\ {テキストSAM} \ ） \（INSERT \）は（から示して\（\テキストhihocoder} {\） ）：

\（最終\）ジャンプを開始前方\（リンク\） 、単一文字列\（\ {テキストSAM} \ ） が存在しなければならないという点で、\（トランス[P] [CH ] = NULL \） 期間が、複数の文字列に拡張この期間を持っていないかもしれない、とがあることが後に\（トランス[最終] [CH] = X \）は、見つかっ（maxlenを[P] +1を付けました\！\！=のmaxlen [X] \）\あれば（同じ単語は、日本語文に\（1 \）戻りアヒル）、以下のように：

显然，此时没有任何节点指向最初新建的 \(z\) 节点，同时它没有记录任何信息，新加入的信息全部储存在了 \(link[z]=y\) 节点上面（即 \(x\) 拆分出来的复制点），但通常情况下它作为一个空节点不会对答案造成任何影响（为什么是空的呢？其后缀链接会指向 \(trans[last][ch]\) 的复制节点 \(y\)，而 \(maxlen[y]=maxlen[last]+1\)，所以 \(minlen[z]=maxlen[link[z]=y]+1=maxlen[last]+2\)，又有 \(maxlen[z]=maxlen[last]+1\)，所以 \(z\) 为空 ）。

从另一个角度看，节点 \(y\) 满足 \(trans[last][ch]=y\) 且 \(maxlen[y]=maxlen[last]+1\)，这不正是我们想要的吗（同特判 \(1\)），所以可以返回 \(y\)。

其实通常情况下，不加特判 \(2\) 也不会出啥事，无非就是多跳了一次 \(link\)，但在统计某些特定的信息时可能会挂 【例】，所以还是建议推荐加上这一句。

疑问：在线和离线有什么不同呢？

在特判 \(1\) 的作用下，在线写法会构造出一颗类 \(Trie\) 形态的 \(\text{SAM}\)，其本质还是在一颗没有具象化的 \(Trie\) 树上建立了 \(\text{SAM}\)。

四：【广义SAM的复杂度】

设 \(|T|\) 为 \(Trie\) 树大小，\(|A|\) 为字符集大小（可视为常数），\(G(T)\) 为 \(Trie\) 树所有叶节点深度之和。

  • 状态数（节点数）依旧为线性 \(O(2|T|)\) 。

  • 转移函数（边数）上界为 \(O(|T||A|)\) 。

  • 离线时间复杂度为 \(O(|T||A|+|T|)\) 。

  • 在线时间复杂度为 \(O(|T||A|+G(T))\) 。

上述性质在 \(2015\) 年刘研绎的国家队论文都中有严谨证明，这里不赘述。

五：【例题】

传送门：诸神眷顾的幻想乡 \(\text{[ZJOI2015] [P3346]}\) \(\text{[Bzoj3926]}\)

给出一颗叶子结点不超过 \(20\) 个节点的无根树，每个节点上都有一个不超过 \(10\) 的数字，求树上本质不同的路径树（两条路径相同定义为 其路径上所有节点上的数字依次相连组成的字符串相同）。

首先有一个很麻烦的地方是路径可以拐弯（即两端点分别在其 \(lca\) 两个不同儿子节点的子树中），而 \(Trie\) 和各种自动机在“接受”字符串时都是以根为起点从上往下径直走到底（什么？跳 \(Parent\) 树？你跳任你跳，跳完还是直的）

所以要想办法把路径捋直，瞎 \(yy\) 可能不太容易想出来，这里直接抛结论：

  • 一颗无根树上任意一条路径必定可以在以某个叶节点为根时，变成一条从上到下的路径（利于广义 \(\text{SAM}\) 的使用）。

注意到题目中说叶节点不超过 \(20\) 个，这意味着什么？

暴力枚举每一个叶节点作为根节点遍历整棵树啊！

将一共 \(cnt_{leaf}\) 颗树中的所有前缀串都抽出来建立广义 \(\text{SAM}\)，然后就可以求本质不同的子串了。 其中前缀串即是从根节点（无根树的某个叶子结点）到任意一个节点的路径所构成的字符串（实际上就是将 \(cnt_{leaf}\) 颗 \(Trie\) 树合在了一起跑广义 \(\text{SAM}\)）。

注意数组大小和空间限制。

【Code】

【离线】

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define Re register int
#define LL long long
using namespace std;
const int N=4e6+5,N20=2e6+3,Nn=1e5+3;
int n,m,o,x,y,t,C,du[Nn],co[Nn],head[Nn];LL ans;
struct QAQ{int to,next;}a[Nn<<1];
inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
inline void in(Re &x){
    int fu=0;x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')fu|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    x=fu?-x:x;
}
struct Trie{
    int O,c[N20],fa[N20],tr[N20][10];
    //fa[x]: Trie树上x的父节点
    //c[x]: Trie树上x的颜色
    Trie(){O=1;}//根初始化为1
    inline int insert(Re p,Re ch){//在p后面插入一个ch
        if(!tr[p][ch])tr[p][ch]=++O,c[O]=ch,fa[O]=p;
        return tr[p][ch];
    }
}T1;
struct Suffix_Automaton{    
    int O,pos[N],link[N],trans[N][10],maxlen[N];queue<int>Q;
    //pos[x]:Trie上的x节点（路径1->x所表示的字符串）在SAM上的对应节点编号
    //link[i]: 后缀链接
    //trans[i]: 状态转移数组
    Suffix_Automaton(){O=1;}//根初始化为1
    inline int insert(Re ch,Re last){//和普通SAM一模一样
        Re x,y,z=++O,p=last;maxlen[z]=maxlen[last]+1;
        while(p&&!trans[p][ch])trans[p][ch]=z,p=link[p];
        if(!p)link[z]=1;
        else{
            x=trans[p][ch];
            if(maxlen[p]+1==maxlen[x])link[z]=x;
            else{
                y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
                for(Re i=0;i<C;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
                while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
                link[y]=link[x],link[z]=link[x]=y;
            }
        }
        return z;
    }
    inline void build(){//bfs遍历Trie树构造广义SAM 
        for(Re i=0;i<C;++i)if(T1.tr[1][i])Q.push(T1.tr[1][i]);//插入第一层字符
        pos[1]=1;//Tire树上的根1在SAM上的位置为根1
        while(!Q.empty()){
            Re x=Q.front();Q.pop();
            pos[x]=insert(T1.c[x],pos[T1.fa[x]]);//注意是pos[Trie->fa[x]]
            for(Re i=0;i<C;++i)if(T1.tr[x][i])Q.push(T1.tr[x][i]);
        }
    }
    inline void sakura(){
        for(Re i=2;i<=O;++i)ans+=maxlen[i]-maxlen[link[i]];
        printf("%lld\n",ans); 
    }
}SAM;
inline void dfs(Re x,Re fa,Re fap){//便利构造Trie树 
    Re xp=T1.insert(fap,co[x]);//记录在Trie树上的位置，方便下次直接使用
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if((to=a[i].to)!=fa)dfs(to,x,xp);
}
int main(){
//  freopen("123.txt","r",stdin);
    in(n),in(C),m=n-1;
    for(Re i=1;i<=n;++i)in(co[i]);
    while(m--)in(x),in(y),add(x,y),add(y,x),++du[x],++du[y];
    for(Re i=1;i<=n;++i)if(du[i]==1)dfs(i,0,1);//以此把每个叶子节点作为根插入Trie树
    SAM.build(),SAM.sakura();
}

【在线】

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define Re register int
#define LL long long
using namespace std;
const int N=4e6+5,N20=2e6+3,Nn=1e5+3;
int n,m,o,x,y,t,C,du[Nn],co[Nn],head[Nn];LL ans;
struct QAQ{int to,next;}a[Nn<<1];
inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
inline void in(Re &x){
    int fu=0;x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')fu|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    x=fu?-x:x;
}
struct Suffix_Automaton{
    int O,link[N],trans[N][10],maxlen[N];
    //link[i]: 后缀链接
    //trans[i]: 状态转移数组
    Suffix_Automaton(){O=1;}//根初始化为1
    inline int insert(Re ch,Re last){
        if(trans[last][ch]&&maxlen[last]+1==maxlen[trans[last][ch]])return trans[last][ch];//已经存在需要的节点
        Re x,y,z=++O,p=last,flag=0;maxlen[z]=maxlen[last]+1;
        while(p&&!trans[p][ch])trans[p][ch]=z,p=link[p];
        if(!p)link[z]=1;
        else{
            x=trans[p][ch];
            if(maxlen[p]+1==maxlen[x])link[z]=x;
            else{
                if(maxlen[p]+1==maxlen[z]/*或者写：p==last*/)flag=1;
                y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
                for(Re i=0;i<C;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
                while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
                link[y]=link[x],link[z]=link[x]=y;
            }
        }
        return flag?y:z;
    }
    inline void sakura(){
        for(Re i=2;i<=O;++i)ans+=maxlen[i]-maxlen[link[i]];
        printf("%lld\n",ans); 
    }
}SAM;
inline void dfs(Re x,Re fa,Re fap){//遍历在线构造SAM
    Re xp=SAM.insert(co[x],fap);//记录x在SAM上的位置，方便下次直接使用
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if((to=a[i].to)!=fa)dfs(to,x,xp);
}
int main(){
//  freopen("123.txt","r",stdin);
    in(n),in(C),m=n-1;
    for(Re i=1;i<=n;++i)in(co[i]);
    while(m--)in(x),in(y),add(x,y),add(y,x),++du[x],++du[y];
    for(Re i=1;i<=n;++i)if(du[i]==1)dfs(i,0,1);//以此把每个叶子节点作为根插入Trie树
    SAM.sakura();
}

六：【参考文献】

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転載: www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/12038349.html
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