ラプラス変換とZ
フーリエからラプラス変換に変換
- フーリエ変換します：
\ [\ {ALIGN *} x（t）を開始＆\ stackrel {F} {\ longrightarrow} X（J \オメガ）\\ X（J \オメガ）＆\ stackrel {F ^ { - 1}} longrightarrow \ { } X（T）\\ X（J \オメガ）＆= \ underbrace {| X（J \オメガ）|} _ {振幅スペクトル} E ^ {J \ overbrace {\シータ（J \オメガ）} ^ {相スペクトル}} \端{ALIGN *} \]
Fは周波数領域に畳み込み乗算演算の時間領域解析を変換します
- 収束条件をフーリエ変換連続時間：
\ [\ {ケース} 1.開始\ディリクレ条件{* ALIGN}を開始\ INT _ { - \ inftyの} ^ {+ \ inftyの} | X（T | DT <\ inftyの、x（t）は絶対積分であります離散点の唯一の有限数ではなく、連続信号任意\\ 3.有限区間、X（T）における最大値と最小値の\\任意の有限区間、X（T）2.のみ有限数の点を有します有限値\端{ケース} \端{ALIGN *} \]
このようなステップ、ランプのようないくつかの共通の信号は、積分性の条件を満たしていない絶対的期間は、直接変換Fを見つけることができません
\(eg:\)周期信号\(x(t)\stackrel{F}{\longleftrightarrow}2\pi X_1(j\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}2\ a_k PI \デルタ（\オメガ-K \オメガO）\） 、とき\（T \ RIGHTARROW \ inftyの\）、\ （X（T）\）傾向がありません0
ソリューション：
自然の中で、インデックス信号\（EXP（-x）\） 、その後、信号は、それは絶対可積分条件を満たすことは容易である、指数関数信号と乗算され、信号の減衰最速の一つです。導入減衰率\（E ^ { - \シグマT} \）を乗じ、\（X（T）\） 、そう\（T \ RIGHTARROW \ inftyの、 \ \ X（t）とE ^ { - \シグマT} \ RIGHTARROW 0 \） 。
\ [\開始{ALIGN *} F \ {X（t）とE ^ { - \シグマT} \}＆= \ INT _ { - \ inftyの} ^ {+ \ inftyの} X（t）とE ^ { - \シグマT} E ^ { - J \オメガT} DT = \ INT _ { - \ inftyの} ^ {+ \ inftyの} X（t）とE ^ { - T \ overbrace {（\シグマ+ J \オメガ）} ^ {S }} DT \\ \ Leftrightarrow \クワッドX（\シグマ+ J \オメガ）＆= \ INT _ { - \ inftyの} ^ {+ \ inftyの} X（t）とE ^ { - T \ overbrace {（\シグマ+ J \オメガ）} ^ {S}} DT \\ \ Leftrightarrow \クワッドL \ {X（t）が\}＆= X（S）= \ INT _ { - \ inftyの} ^ {+ \ inftyの} X（t）とE ^ { - } ST DT \クワッド双边ラプラス变换正变换\端{ALIGN *} \]
\（X（複数可）\）と呼ばれている（\ X（T））\画像関数の
\ [\開始{ALIGN *} X（t）とE ^ { - \シグマT}＆= F ^ { - 1} \ {X（\シグマ+ J \オメガ）\} = \ FRAC {1} {2 \ PI} \ INT _ { - \ inftyの} ^ {+ \ inftyの} X（\シグマ+ J \オメガ）E ^ {J \オメガT} D \オメガ\\ X（T）＆= \ FRAC {1} {2 \ PI} \ INT _ { - \ inftyの} ^ {+ \ inftyの} X（\シグマ+ J \オメガ）E ^ { （\シグマ+ J \オメガ） T} D \オメガ\\ X（T）＆= L ^ { - 1} \ {X（S）\} = \ FRAC {1} {2 \パイJ} \ INT_ { \シグマJ \ inftyの} ^ {\シグマ+ J \ inftyの} X（S）E ^ {ST} DS \クワッドラプラス】端{ALIGN *} \ \逆変換
減衰率\（E ^ { - \シグマT} \）：\
[E ^ {ST} = E ^ {（\シグマ+ J \オメガ）T} = E ^ {\シグマT} E ^ {J \オメガT} \]
数学的意味：原始関数は、絶対積分性の条件を満たすように減衰係数を乗じ物理的な意味：周波数\（\オメガ\）は、複雑な周波数に変換され、\（S \）
- \（\オメガ\）振動のみ説明することができ、繰り返し周波数
- \（S \）繰り返しの説明だけでなく、周波数、成長速度または振動振幅の減衰の速度のさらなる説明
関係：
フーリエ変換、すなわち、インデックス信号が乗算され、ラプラシアンの特別な形として見ることができる（\ EXP（0））\、ラプラス変換促進フーリエ変換であり、Aより一般的に表現の形式。
ラプラスからz変換変換
関係：
連続信号のためのラプラス変換、Zは、離散信号に対して変換します。
ラプラスは離散信号やシステムを変革するために、それは言うことができるZは、変換します。
S-Zラプラス変換面の存在との間のZ平面のマッピング関係\（）のZ = EXP（TS \） 。
Zにおいて、変換すなわち、離散時間に対応する単位円上の結果は、結果をフーリエ変換。
公式：
離散時間信号\（X [N] \） Z変換は以下のように定義される
[X（Z）\オーバー\ ^ {+ \ inftyの} X [N - {DEF} {=} \ sum_ {\ inftyのN =} ] Z ^ { - N} \
] 複素変数zは極形式で書かれている場合
\ [Z = \ overbrace {R } ^ { 型} E ^ {J \ overbrace { \オメガ} ^ { }}位相角\]
変換
\ [X（再^ {J { - \ inftyのN =} ^ {+ \ inftyの} X [N]（RE ^ {J \オメガ}）^ { - N} = \ sum_ \オメガ}）= \ sum_ {N = - \ inftyの} ^ {+ \ inftyの} \ {X [n]はR ^ { - N} \} E ^ { - J \オメガN} \]したがって、\（X-（RE {Jは^ \オメガ}）\）シーケンスである\（X [n]は\）が乗算される\（R ^ { - N} \） フーリエ変換、すなわち
\ [ X（RE ^ {J \オメガ
}）= F \ {X [n]はR ^ { - N} \} \] Z変換で、変数zの剰余を変換1、。\（Z = E ^ {J \}オメガ\）、Zは進化変換さフーリエ変換です。従って、フーリエ変換は、複素z平面、z変換1の円の半径となる変換します。Z平面の単位円の円と呼ばれます。