実際の関数fで定義された有理数の集合は、すべての合理的とyのX、両方のF（x + y）はF（X）+ F（y）を=。
証明：kは実数であり、F（X）= KX有理数xは、存在します。
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N次いで、0より大きい正の整数とします
F（NX）= F（N-1、X）+ F（X）
F（N-1 X）= F（N-2×）+ F（X）
············
F（X2）= F（X）+ F（X）
∴F（NX）= F（X）
これは、部品と指定X1、X2···XNは、Yは、原点を通る直線で、これらすべての点に対応し、任意のxについて、Nに0-xから可変領域（nは正の整数である）ことを意味します。
（X）= KX全て合理X fについて成立しないこと、すなわち、これら2つの設定点XAのより小さい少なくとも2点が、これら二つの接続元が存在する、満たされている大きいXB、XAを仮定<XB、
XAのXbは合理的であるため、XAそう/ Xbは適切な画分である、XA / XB分母を提供し、分子がN Mである、引数部品0-XB Mに分割され、X1、X2···XMとして指定直線y上の原点を通るこれらの対応点の全て。XNはそうXA XA、また、起源、既知の矛盾を介して接続点に対応するXB対応点であるので、仮定が成立しないので、それはFである（X）= KXは、すべての有理数xについての証拠を保持します。