2019湖南トーナメントタイトルH - 遷移確率行列の逆&&

ボボは、$ 1 \ SIM N $として番号グラフノード向けの$ N + m個の$を有し、彼は、N- $ $ $ N + m個の$行 - 列の行列の$ P $を有していました。

彼は$ノードとの間に配置される$さt $時間であればU（Uは当量nを\ 1つの\ 1当量）$ $ P_ {U、V} / 10000のように、その後、$（T + 1）$時間彼確率ノードの$ Vの$ $;

それは、時間の$のT $のノードに配置されている場合は$ U（U> N）$は、$（T + 1）ノードの確率で彼の瞬間の$ U $は$ 1です。

ノード0が長いノード$（N + 1）、（N + 2）に位置しているエンドレスシーク、...、（N + M）$確率後、1ボボ時間に位置しています。

需要状況は同じ等比級数和を数値に収束している無限に長い、または循環中に、いずれかで、合計は、ステップバイステップでシミュレートすることはできません。

ルーチン波、ベクトル$ D_I =（D_1、D_2、...、D_ {N + M}）$ $ I $回後の様々な時点で移動する確率を表します。

簡単に、$ D_1 = D_1 * P_ {1,1} + D_2を知る* P_ {2,1} + .. + D_ {N + M} * P_ {N + M、1} $、$同様に使用可能D_2 、D_3、..、D_ {N + M} $、そのような転送は、行列形式で書くことができます。

問題の意味に従ってN- $ $ $の出力N + M $行列は、左下、右下のパッチのマトリックス、X- $ $、得られた行列に全て0を満たすことができます

$ D_n = D_ {N-1} * X、\ D_1 =（1、0、0、...、0）$。

すなわち、$ D_n = D_0 * X ^ n $という。

ブロック行列、X- $ 4 $書かれた部分行列の知識：左上（N×n個）の部分A、右上（N×m個）の部分は、左下隅（M×n個）がゼロ行列部分であり、Bは（M×m個）の右下隅には、単位行列Eの一部です。

$$ X = \開始{bmatrix}
A＆B \\
0＆E
\端{bmatrix} $$

数学を見つけることは簡単です：

$$ X ^ N = \ {bmatrix}始める
A ^ N＆（B + AB + ... + A ^ {N-1} B）\\
0＆E
\端{bmatrix} $$

$ N $は無限大になる傾向た場合、実際の意義、$ A ^ n = 0の$。

取得する等比級数の総和の式：

$$ B + AB + ... + A ^ {N-1} B = \ FRAC {EA ^ N} {EA} * B $$

$ N $はそう、無限に傾向があるので

$$ \ FRAC {EA ^ N} {EA} * B = \ FRAC {E} {EA} * B =（EA）^ { - 1} * B $$

逆行列の複雑さを与えるためにガウスの消去、O（N ^ 3）を使用。

の$ n $を法無限の$ X ^ n $という値と$ D_0 $は答えを得るために掛けたときにこれが得られます。