序文
典型的な例の分析
分析：タイトルセクション関数を解く方程式をすることができる属する（F（X）\）\全体として知られているとみなす\（X \） 、元の式は、区分関数と等価です
前者の場合、\（0 \のLeq F（X）\のLeq 1 \）と\（F（X）= 1 \。） 、又は第二の場合、\（F（X）= -3 1 \）と\（F（X）\ notin [0,1] \） 、
前記第一のように簡略化することができる（0 \のLeq F（X）\ 1当量1 \）\、次いで等価に変換X \開始{ケース}（\で\ [0,1] \\ F（X）= 1 \端{ケース} \）または\（\開始{ケース} X \ notin [0,1] \\ 0 \当量X-3 \当量1つの\端{ケース} \）
解決策はしている\（0 \当量X \当量 1 \） または\（3 \のLeq X \のLeq 4 \。） 。
第二は以下のように簡略化することができる\（F（X）= 4 \） 、次いで等価に変換\（\開始{ケース} X \における[0,1] \\ 1 = 4 \端{ケース} \） または\（。\場合は[0,1] = 4 3-X \\ \ケース終了{} \ notin {X}を\開始）、を解く\（X = 7 \） 。
要約すると、\（X \）の範囲である\（[0,1] \カップ[3,4] \カップ\ {7 \} \） 、選択された\（D \） 。
[方法1]：問題を解決するために関数を使用して合成画像、関数の関数用いて得られた第1のパリティ\（F（X）\）分析式は、
表題所与\（X <0 \）解析式場合、場合（X \> 0 \）場合、（ - X <0 \）\、次に\（F（-x）=（ - X + 1を）E ^ { - } X \） 、
そして関数\（F（X）\）奇関数であり、\（F（X）= - F（-x）= - （ - X + 1）E ^ { - }、X =（X-1）E ^ -X-} {\） 、および\（F（0）= 0 \） 、
したがって、分析関数のための式\（F（X）= \左\ {\開始{アレイ} {1} {（X + 1）E ^ X、X <0} \\ {0、X = 0} \\ {（X-1）E ^ { - x}は、x> 0} \端{アレイ} \右\）。
最初の研究では、誘導体の使用、続いて\（X <0 \）単調、\（F（X）=（X + 1）E ^ X \） 、次いで、（X）= \（F」 （X + 2）をX ^ E \） 、
\（X \（中- \ inftyの、-2）\） 、関数\（F（X）\）単調減少、\（（2,0）におけるX \ \） 、関数\（F（X ）\）単調増加、および\（F（0）= 1 \） 、
したがって、結合およびパリティ単調が行わ\（R＆LTの\）以下のように関数の概略図です。
次の分析複合関数\（H（x）はF = [F（X）] \） 画像の。
場合（X = 0 \）\場合、\（F（0）= 0 \）場合、\（F（F（0））= 0 \） 。
場合（（0,1）において、X \ \ \） 、内側関数\（F（X）\）単調増加、及び（）-1,0（中F（X）\ \）\関数外部この時、内- （1,0）\（）\単調に増分するので、\（F（F（X） ）\） で\（X \で（0,1） \） は単調に増加します。
場合（X = 1 \）を\場合、\（F（1）= 0 \）、\ （F（F（1））= 0 \） 。
場合（（1,2）において、X \ \ \） 、内側関数\（F（X）\）単調増加、および\（（0で\ F（X）、Eは、^ { - 2}）\） 、このとき、外側の関数\（（0、E ^ { - 2}）\） も単調に増加するので、（F（F（X）\ ）\） で\（X \で（1,2） \） に単調増加、およびから関数値\（1 \）が徐々に増加\（F（F（2） ）\） と\（F（F（2））<0 \） 。
場合\（X \（2、 + \ inftyの）\） 、内側関数\（F（X）\）単調減少、および\（F（X）\で （0、E ^ { - 2}）\ ）、アウターケース関数\（（0、E ^ { - 2}）\） 単調に増加するので、\（F（F（X） ）\） で\（X \（2、で + \ inftyの） \）単調減少関数と値が徐々に近づいて\を（ - 1 \） 。
次いで、奇関数示す対称特性を有する\（X <0 \）に示すように、全体的な画像のその部分を、
由图可知，函数\(y=f(f(x))\)和\(y=m\)的交点最多有三个，故选\(A\)；
- 下述的解法2，最好先说明借助图像如何由\(x\)找\(f(x)\)，以及由\(f(x)\)找\(x\)；只要双向的对应理解透彻，下述的解法就好思考多了；
【法2】：由外向里，从函数值找自变量，首先利用函数的奇偶性求出函数\(f(x)\)的解析式；
题目给定了\(x<0\)时的解析式，则当\(x>0\)时，\(-x<0\)，则\(f(-x)=(-x+1)e^{-x}\)，
又函数\(f(x)\)为奇函数，则\(f(x)=-f(-x)=-(-x+1)e^{-x}=(x-1)e^{-x}\)，又\(f(0)=0\)，
故函数的解析式为\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{(x+1)e^x，x<0}\\{0，x=0}\\{(x-1)e^{-x}，x>0}\end{array}\right.\)
接下来利用导数先研究\(x<0\)时的单调性，\(f(x)=(x+1)e^x\)，则\(f'(x)=(x+2)e^x\)，
则\(x\in (-\infty，-2)\)时，函数\(f(x)\)单调递减，\(x\in (2，0)\)时，函数\(f(x)\)单调递增，又\(f(0)=1\)，
故结合单调性和奇偶性，做出\(R\)上的函数示意图如下：
令\(F(x)=0\)，即\(f(f(x))=m\)，由图可知，要使得函数\(y=f(f(x))\)与\(y=m\)的图像有交点，则\(m\in (-1，1)\)；接下来关于\(m\)的取值分类讨论如下：
当\(m\in (0，e^{-2})\)时，如图所示，内函数\(f(x)=a，a\in (-1，0)\)或\(f(x)=b，b\in (1，2)\)或\(f(x)=c，c\in (2，+\infty)\)
若\(f(x)=b\)或\(f(x)=c\)时，不存在\(x\)；注意应该是在\(y\)轴上找点\((0，b)\)，然后过此点做\(x\)轴的平行线，显然和函数的图像没有交点；
若\(f(x)=a， a\in (-1，0)\)时，此时和函数的图像最多有三个交点；
当\(m\in (e^{-2}，1)\)时，内函数\(f(x)=a，a\in (-1，0)\)，此时\(f(x)\in (-1，0)\)时，函数\(y=a\)和函数\(y=f(x)\)图像最多有三个交点，
同理，当\(m\in (-e^{-2}，0)\)或\(m\in (-1，-e^{-2})\)时，仿上说明，同样最多有三个交点，故选\(A\)；
分析：函数\(y=2f^2(x)-3f(x)+1\)的零点个数即方程\(2f^2(x)-3f(x)+1=0\)的根的个数，
故先求解方程\(2f^2(x)-3f(x)+1=0\)，即\([2f(x)-1][f(x)-1]=0\)，
解得\(f(x)=1\)或\(f(x)=\cfrac{1}{2}\)，
接下来原方程的根的个数转化为方程\(f(x)=1\)或\(f(x)=\cfrac{1}{2}\)的根的个数，
故做出函数\(y=f(x)\)的图像和直线\(y=1\)和\(y=\cfrac{1}{2}\)，
由图像可以看出，其共有\(5\)个交点，故原函数的零点个数为\(5\)个。
法1：从数的角度入手思考，将内函数\(f(x)\)理解为整体，则\(f(f(a))=1\)等价于以下的两个方程组，
Ⅰ.\(\left\{\begin{array}{l}{f(a)>0}\\{log_2f(a)=1}\end{array}\right.\)，或者Ⅱ.\(\left\{\begin{array}{l}{f(a)\leq 0}\\{[f(a)]^2+4[f(a)]+1=1}\end{array}\right.\)，
解Ⅰ得到，\(f(a)=2\)①；解Ⅱ得到，\(f(a)=0\)②或者\(f(a)=-4\)③；
再次求解①得到，\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{log_2a=2}\end{array}\right.\)，或\(\left\{\begin{array}{l}{a\leq 0}\\{a^2+4a+1=2}\end{array}\right.\)，
解得\(a=4\)或\(a=-2-\sqrt{5}\)，
求解②得到，\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{log_2a=0}\end{array}\right.\)，或\(\left\{\begin{array}{l}{a\leq 0}\\{a^2+4a+1=0}\end{array}\right.\)，
解得\(a=1\)或\(a=-2\pm \sqrt{3}\)，
求解③得到，\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{log_2a=-4}\end{array}\right.\)，或\(\left\{\begin{array}{l}{a\leq 0}\\{a^2+4a+1=-4}\end{array}\right.\)，
解得\(a=\cfrac{1}{16}\)或\(a\in \varnothing\)，
故实数\(a\)的所有取值的和为\(4-2-\sqrt{5}+1-2-\sqrt{3}-2+\sqrt{3}+\cfrac{1}{16}=-\cfrac{15}{16}-\sqrt{5}\)。
法2：从图像入手分析，待编辑。
分析：首先学习理解一个分段函数方程的模型；
分析：先由奇偶性求得\(x>0\)时，\(f(x)=2x+1\)，
即得到函数的解析式为\(f(x)=\begin{cases}2x-1&x<0\\0&x=0\\2x+1&x>0\end{cases}\)，且已知\(f(a)=3\)，求\(a\)的值，
等价转化为三个不等式组 \(\begin{cases}a<0\\2a-1=3\end{cases}\)，或\(\begin{cases}a=0\\0=3\end{cases}\)，或\(\begin{cases}a>0\\2a+1=3\end{cases}\)，
解得\(a=1\)。
学习理解透彻了上述模型后，我们开始求解本题目：
【法1】：从数的角度求解；令\(f(x)=t\)，则函数的零点问题转化为方程\(f(t)=-1\)的解的个数问题；
即相当于已知\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+1，x\leqslant 0}\\{lnx，x>0，}\end{array}\right.\) 且\(f(t)=-1\)，求\(t\)的值；
则上述分段函数方程等价于\(\left\{\begin{array}{l}{t\leqslant 0}\\{t+1=-1}\end{array}\right.\) 或\(\left\{\begin{array}{l}{t> 0}\\{lnt=-1}\end{array}\right.\)
解得\(t=-2\)或者\(t=\cfrac{1}{e}\)，即\(f(x)=-2\)或者\(f(x)=\cfrac{1}{e}\)，到此题目又可以转化为
已知\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+1，x\leqslant 0}\\{lnx，x>0，}\end{array}\right.\) 且\(f(x)=-2\)，求\(x\)的值；可以仿上求解得到\(2\)个\(x\)的值；
或已知\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+1，x\leqslant 0}\\{lnx，x>0，}\end{array}\right.\) 且\(f(x)=\cfrac{1}{e}\)，求\(x\)的值；亦可以仿上求解得到\(2\)个\(x\)的值；
故所求的零点的个数为\(4\)个。
【法2】：从形的角度求解；先做出分段函数图像如下：
先将函数的零点问题转化为方程\(f[f(x)]=-1\)的根的个数问题；作直线\(y=-1\)与函数\(y=f(x)\)图像有两个交点，其横坐标分别为\(x=-2\)和\(x=\cfrac{1}{e}\)，
然后在同样的图上，再分别作直线\(y=-2\)和\(y=\cfrac{1}{e}\)，可以看出，这两条直线分别和分段函数\(y=f(x)\)有两个交点，故共有四个交点。即所求的零点的个数为\(4\)个。
法1：若能将\(f(a)\)理解成已知函数的\(x\)，
则可以将\(f(f(a))\leq 2\)等价转化为以下的两个不等式组：
\(\begin{cases}&f(a)<0\\&f^2(a)+f(a)\leq 2 \end{cases}\) 或 \(\begin{cases}&f(a)\ge0\\&-f^2(a)\leq 2 \end{cases}\)
分别解得：\(-2\leq f(a)<0\)或\(f(a)\ge 0\)，故\(f(a)\ge -2\)；
到此问题转化为已知\(f(x)=\begin{cases}x^2+x,&x<0\\-x^2,&x\ge 0 \end{cases}\)，\(f(a)\ge -2\)，
求实数\(a\)的取值范围，这就容易多了。
再次转化为\(\begin{cases}&a<0\\&a^2+a\ge -2 \end{cases}\) 或 \(\begin{cases}&a\ge0\\&-a^2\ge -2 \end{cases}\)
分别解得：\(a<0\)或\(0\leq a\leq \sqrt{2}\)，故实数\(a\)的取值范围为\((-\infty，+\sqrt{2}]\)。
解后反思：本题经过两次抽丝剥茧般的处理，第一次的结果得到\(f(a)\ge -2\)，
第二次的结果得到\(a\in (-\infty，+\sqrt{2}]\)。
法2：图像法
自行做出函数图像，结合图像可知，
要使得\(f(f(a))\leq 2\)，则必须\(f(a)\ge -2\)，
这时就转化为分段函数不等式问题了。
\(f(a)\ge -2\)等价于以下两个不等式组：
\(\begin{cases}&a<0 \\&a^2+a\ge -2\end{cases}\)或\(\begin{cases}&a\ge 0 \\&-a^2\ge -2\end{cases}\)。
解得\(a<0\)或\(0\leq a\leq \sqrt{2}\)，
故\(a\in(-\infty，\sqrt{2}]\)。
①方程\(f[g(x)]=0\)有且仅有\(6\)个根；②方程\(g[f(x)]=0\)有且仅有\(3\)个根；
③方程\(f[f(x)]=0\)有且仅有\(5\)个根；④方程\(g[g(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根；
则正确的命题有 _______________。①③④
【法1】：从里向外分析，重新配图；得空整理；
对于命题①而言，复合函数为\(f[g(x)]\)；为什么如下选择区间？理由1
在\([-2，x_0]\)上，\(f[g(x)]\nearrow\)，\(f[g(-2)]=f(-2)=-2\)，\(f[g(x_0)]=f(-1)=1\)，其中\(g(x_0)=-1\);
在\([x_0，x_1]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(f[g(x_1)]=f(0)=0\)，其中\(g(x_1)=0\)；
在\([x_1，x_2]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(f[g(x_2)]=f(1)=-1\)，其中\(g(x_2)=1\)；
在\([x_2，-1]\)上，\(f[g(x)]\nearrow\)，\(f[g(-1)]=f(2)=2\)；
在\([-1，0]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(f[g(0)]=f(1)=-1\)；图中未说明，假定\(g(0)=1\);
在\([0，1]\)上，\(f[g(x)]\nearrow\)，\(f[g(1)]=f(-0.3)=0.4\)；\(g(1)=-0.3\)，\(f(-0.3)=0.4\)为估算值；
在\([1，x_3]\)上，\(f[g(x)]\nearrow\)，\(f[g(x_3)]=f(-1)=1\)，其中\(g(x_3)=-1\)；
在\([x_3，2]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(f[g(2)]=f(-2)=-2\)；
根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程\(f[g(x)]=0\)有且仅有\(6\)个根；故①正确；
对于命题②而言，复合函数为\(g[f(x)]\)；
在\([-2，x_4]\)上，\(g[f(x)]\nearrow\)，\(g[f(-2)]=g(-2)=-2\)，\(g[f(x_4)]=g(-1)=2\)，其中\(f(x_4)=-1\);
在\([x_4，x_5]\)上，\(g[f(x)]\searrow\)，\(g[f(x_5)]=g(0)=1\)，其中\(f(x_5)=0\)；
在\([x_5，-1]\)上，\(g[f(x)]\searrow\)，\(g[f(-1)]=g(1)=-0.3\)；
在\([-1，0]\)上，\(g[f(x)]\nearrow\)，\(g[f(0)]=g(0)=1\)；
在\([0，1]\)上，\(g[f(x)]\nearrow\)，\(g[f(1)]=g(-1)=2\)；
在\([1，x_6]\)上，\(g[f(x)]\searrow\)，\(g[f(x_6)]=g(1)=0\)，其中\(f(x_6)=1\)；
在\([x_6，2]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(g[f(2)]=g(2)=-2\)；
根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程\(g[f(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根；故②错误；
对于命题③而言，复合函数为\(f[f(x)]\)；
在\([-2，x_4]\)上，\(f[f(x)]\nearrow\)，\(f[f(-2)]=f(-2)=-2\)，\(f[f(x_4)]=f(-1)=1\)，其中\(f(x_4)=-1\);
在\([x_4，x_5]\)上，\(f[f(x)]\searrow\)，\(f[f(x_5)]=f(0)=0\)，其中\(f(x_5)=0\)；
在\([x_5，-1]\)上，\(f[f(x)]\searrow\)，\(f[f(-1)]=f(1)=-1\)；
在\([-1，0]\)上，\(f[f(x)]\nearrow\)，\(f[f(0)]=f(0)=0\)；
在\([0，1]\)上，\(f[f(x)]\nearrow\)，\(f[f(1)]=f(-1)=1\)；
在\([1，x_6]\)上，\(f[f(x)]\searrow\)，\(f[f(x_6)]=f(1)=-1\)，其中\(f(x_6)=1\)；
在\([x_6，2]\)上，\(f[f(x)]\nearrow\)，\(f[f(2)]=f(2)=2\)；
根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程\(f[f(x)]=0\)有且仅有\(5\)个根；故③正确；
对于命题④而言，复合函数为\(g[g(x)]\)；
在\([-2，x_0]\)上，\(g[g(x)]\nearrow\)，\(g[g(-2)]=g(-2)=-2\)，\(g[g(x_0)]=g(-1)=2\)，其中\(g(x_0)=-1\);
在\([x_0，x_1]\)上，\(g[g(x)]\searrow\)，\(g[g(x_1)]=f(0)=0\)，其中\(g(x_1)=0\)；
在\([x_1，x_2]\)上，\(g[g(x)]\searrow\)，\(g[g(x_2)]=g(1)=-0.3\)，其中\(g(x_2)=1\)；
在\([x_2，-1]\)上，\(g[g(x)]\searrow\)，\(g[g(-1)]=g(2)=-2\)；
在\([-1，0]\)上，\(g[g(x)]\nearrow\)，\(g[g(0)]=g(1)=0\)；
在\([0，1]\)上，\(g[g(x)]\nearrow\)，\(g[g(1)]=g(0)=1\)；
在\([1，x_3]\)上，\(g[g(x)]\nearrow\)，\(g[g(x_3)]=g(-1)=2\)，其中\(g(x_3)=-1\)；
在\([x_3，2]\)上，\(g[g(x)]\searrow\)，\(g[g(2)]=f(-2)=-2\)；
根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程\(g[g(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根；故④正确；
综上所述，正确的命题有①③④。
法2：从外向里分析，由图像可知，\(-2\leqslant g(x)\leqslant 2\)，\(-2\leqslant f(x)\leqslant 2\)，
对于命题①而言，由于满足方程\(f[g(x)]=0\)的\(g(x)\)有\(3\)个不同值，由于每个值\(g(x)\)又对应了\(2\)个\(x\)值，故满足\(f[g(x)]=0\)的\(x\)值有\(6\)个，即方程\(f[g(x)]=0\)有且仅有\(6\)个根，故命题①正确；
[图像使用方法说明]：由\(y=f(x)\)的图像可以看出，使得\(f(x)=0\)的三个零点值分别为\(x_1=-1.6\)，\(x_2=0\)，\(x_3=1.6\)[估算]，
在函数\(y=g(x)\)的图像中，分别做直线\(g(x)=-1.6\)，\(g(x)=0\)，\(g(x)=1.6\)，每一条直线和函数\(y=g(x)\)都有\(2\)个交点，故共有\(6\)个交点。
对于命题②而言，由于满足方程\(g[f(x)]=0\)的\(f(x)\)有\(2\)个不同值，从图中可知，每一个值\(f(x)\)，一个\(f(x)\)的值在\((-2，-1)\)上，另一个\(f(x)\)的值在\((0，1)\)上，当\(f(x)\)的值在\((-2，-1)\)上时，原方程有一个解；当\(f(x)\)的值在\((0，1)\)上时，原方程有\(3\)个解，故满足\(g[f(x)]=0\)的\(x\)值有\(4\)个，即方程\(g[f(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根，故命题②不正确；
对于命题③而言，由于满足方程\(f[f(x)]=0\)的\(f(x)\)有\(3\)个不同值，从图中可知，一个\(f(x)\)的值在\((-2，-1)\)上，一个\(f(x)\)的值为\(0\)，另一个\(f(x)\)的值在\((1，2)\)上；当\(f(x)=0\)对应了\(3\)个不同的\(x\)值，当\(f(x)\)在\((-2，-1)\)上时，只对应一个\(x\)值；当\(f(x)\)的值在\((1，2)\)上时，也只对应一个\(x\)的值，故满足\(f[f(x)]=0\)的\(x\)值有\(5\)个，即方程\(f[f(x)]=0\)有且仅有\(5\)个根，故命题③正确；
对于命题④而言，由于满足方程\(g[g(x)]=0\)的\(g(x)\)有\(2\)个不同值，从图中可知，每个\(g(x)\)的值对应\(2\)个不同的\(x\)值，故满足\(g[g(x)]=0\)的\(x\)值有\(4\)个，即方程\(g[g(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根，故命题④正确；
综上所述，正确的命题有①③④。
- 上次编辑时间：2019-07-21
当我们先选择函数\(g(x)\)的区间为\([-2，-1]\)时，此时虽然能保证内函数\(g(x)\)单调递增，但是此时内函数的值域\(g(x)\in [-2，2]\)，其投射到外函数\(f(x)\)上时，就放置到了外函数\(f(x)\)的定义域\([-2，2]\)内，此时外函数的单调性不唯一，说明我们一开始选取的内函数的研究区间\([-2，-1]\)有些大了，所以需要压缩；一直压缩到\([-2，x_0]\)，其中\(g(x_0)=-1\)，这时候内函数的值域\(g(x)\in [-2，-1]\)，刚好投射到外函数的单调递增区间上，说明此时的区间选取是恰当合理的，其他的区间选取与此同理同法；↩