除数

除数について

定義：

整数dによって整数nの剰余をn 0、すなわち、D割り切れる場合、番号について、DのNと呼ばれる、N Dの倍数である、Dで示され| N

算術の基本定理では\（N \）、次のように分解することができます

\ [N = \ prod_ {i = 1} ^ m個のP_I ^ {C_I}、\ P_1 <P_2 <... <P_M、\ C_I∈N ^ * \]

その後、\（N \）数は約から正の数であります：

\ [（C_I + 1）*（C_I + 2）* ...（c_m + 1）= \ prod_ {i = 1} ^ {M}（C ^ I + 1）\]

\（N \）すべての正の約数のは、以下のとおりです。

\ [\ prod_ {i = 1} ^ {M} {（\ sum_ {J = 0} ^ {C ^ I}（P_I）^ J）} \]

ソリューション\（N \）は、いくつかの正について設定されています

トライアル部門

$ \ $ Qquad番号場合\（X \）がある\（N \）次に、除数（N /d≤\ SQRT N \ \）も（N \）\の除数。

$ \ Qquad $除数は常にペアで来るので、そのスキャン\（X- = 1- \ sqrtのN \∈Z \）、かどうかを試してください\（X- | N \）。しかし、我々は、理由は完全な方形のために、特別な宣告完全な方形に持っている\（\ sqrtのN \∈Z \）。

    int factor[1600], num = 0;
    for(int i = 1; i * i <= n; i++) {
        if(n % i == 0) {
            factor[++num] = i;
            if(i != n/i) 
                factor[++num] = n / i;
        }
    }

$ \ $ Qquad要求\（1- \ SQRT N \）各セットのn個除数- COLORED

基本的な考え方：

トライアル部門とは異なり、我々はターン数でそれぞれを検討することができます\（X \）、場所\（X \）除数がされている（X、2倍、3倍... \ \）を

    vector<int> factor[SIZE];
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n / i; j++)
            factor[i*j].push_back(i);       
    //输出
    for(int i = 1; i <= n ;i++) {
        for(int j = 0; j < factor[i].size; j++)
            printf("%d ",factor[i][j]);
        putchar('\n'); 
    }

小さなデータで$ \ $ Qquad（\（n∈[4,16] \））、トライアル分割多重方法よりも高速で、複雑\（O（N \のSQRTのN ）\）

除数関連コンテンツ：

1.最大公約数| \（GCDの\）

定義：

自然数の場合は\（X \）を満たす| \（\ x）のおよび\（X- | B \）、と呼ばれる\（X \）される（\）を\ている\（のb \）、その後、公約数（\ MAX（X）\）されている\（\）と\（Bが\）最大公約数である、と呼ばれる\（GCD（B）\）。
満たしながらあれば、同様に、（| X \）\と\（B | X \）を、次いで\（X \）がある\（\）と\（B \）ように、共通の複数（X \ \ ）の最小値で\（B \）最小公倍数と呼ば\（LCM（B）\）。

定理：

\ [∀a、b∈N、\ qquad \ qquad GCD（a、b）は* LCM（a、b）は、* Bが\を=]

自分を試すことができます上で定義した証拠読者、あなたはまた、「基準アルゴリズムコンテストステップアップガイド」をすることができます

解決方法

で素因数分解に我々はすでに解決述べた\（GCDの\） 1.技術2.ユークリッドアルゴリズムを下げます：アルゴリズムを。

「算術の九章は、」以下のとおりです。

\ [∀a、b∈N、a≥b、\クワッドGCD（A、B）= GCD（B、AB）= GCD（AB）\]

\ [∀a、b∈N、\クワッドGCD（2A、2B）= 2gcd（B）\]

それは私たちの後ろに最適化されたバイナリを伴う2つの定理、上記重要である（GCDの\）\

ユークリッドアルゴリズム：

\ [∀a、b∈N、≠0、B \ qquad GCD（A、B）= GCD（B、A \クワッドMOD \クワッドB）\]

これは、おなじみ与えユークリッドアルゴリズム：

    //递归形式
    int gcd(int a, int b) {
        return b ? gcd(b, a % b) : a;
    } 

    //非递归形式
    int gcd(int a, int b) {
        int temp;
        while(b) {
            temp=a % b;
            a = b;
            b = temp;
        }   
        return a;
    }

$ \ Qquad \ qquad \（ユークリッドアルゴリズムの複雑です\） O（ログ（A + B））$。高精度演算、達成することは容易ではない剰余のためには、代わりに減少テクニックをお勧めします。

$ \ Qquad \ qquadの\（もちろん、\） $も最適化することができ、GCD（最適化は前述したバイナリです）。

なぜ最適化することができますか？ユークリッドアルゴリズムモジュロ演算を使用するため、一定の低速大実行するように、+最適化されたバイナリ減少有するので\（GCD \）

\（A = 0、\クワッドリターン\クワッドB; \クワッド\ミッド\クワッドB = 0、\クワッドリターン\クワッド; \）
\（A <B、A \クワッドXOR = \クワッドB、\クワッドB \クワッドXOR = \クワッド、\クワッドA \クワッドXOR = \クワッドB; \）（一意のバイナリ交換）
\（A \）＆\（1 \）且\（Bの\）＆\（1 \）、$ \クワッドANS = 2gcd（>> 1、B >> 1）; $
\（\）＆\（1 \）！且\（B \）＆（\ 1）\、$ \クワッドANS = GCD（>> 1、B）; $
！ \（\）＆ \（1 \）且\（のb \）＆\（1 \）、$ \クワッドANS = GCD（A、B >> 1）; $
！ \（\）＆ \（1 \）！且\（B \）＆\（1 \）、$ \クワッドANS = GCD（ - B、B）$。

    //下面代码返回gcd(a,b)的值同时把b赋予这个值，不需要可以把&去掉
    int gcd(int a,int &b) {
        if(a == 0 || b == 0) return b = a + b; 
        int n = 0, m = 0;
        for(; !(a & 1); a >>= 1, n++); 
        for(; !(b & 1); b >>= 1, m++);
        n = m < n ? m : n;
        while(a) {
            if(a < b) { a ^= b, b ^= a, a ^= b;}
            if(!(a -= b)) return b <<= n;
            while(!(a & 1)) a >>= 1;
        }
    }

負右しかしながら、上記のコードが間違って陰性である場合注意、\（1 \）ビットと他の\（2 \）と同じではない、上記負ではなく分割の通常の使用のビット操作を検出しました。

2.オイラーの主要機能

定義：

\（∀a、b∈N\）、もし\（GCD（A、B）= 1 \）と呼ばれる、\（B \）プライム。

3つの数字や状況に上記類推するために、ここではそれらを繰り返さないで、読者が自分で関連情報にアクセスすることができます。

オイラー機能

$ \ $ Qquad \（1-N \）と\（N \）素数は、オイラー関数を呼び出しと呼ばれる\（Φ（N）\）。

基本的な演算定理に、\（N = \ prod_ 1} = {I ^ M ^ {P_I} C_I \。）、その後：

\ [φ（N）= N * \ FRAC {1-P_1} {P_1} * \ FRAC {1-P_2} {P_2} * \ FRAC {1-P_3} {P_3} * ... * \ FRAC {1- P_M } {P_M} = N * \ prod_ {素数\ P | N}（1- \ FRAC {1} {P}）\]

オイラー関数の計算式は、我々は、オイラー関数を得るために、品質係数の唯一の分解が必要になります。

    //参考代码(源于《算法竞赛进阶指南》) 
    int phi(int n) {
        int ans = n;
        for(int i = 2; i <= sqrt(n); i++) 
            if(n % i == 0) {
                ans = ans / i * (i - 1);
                while(n % i == 0) n /= i;
            }
        if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
        return ans;
    }

オイラー関数の性質：

\（∀n> 1,1-N \ ）と\（N- \）素数とされている（Φ（N）/ 2 \ N- *）\。
もし\（GCD（A、B）= 1 \）、すなわち\（B \）プライム、次いで\（Φ（AB＆）=Φは（A）、Φ（B）\）。
セット\（P \）があれば、素数である\（P \ミッドN \）と\（P ^ 2 \ MID N- \）、次いで\（Φ（N）= [ピー]（N / P）* P \）。
セット\（P \）場合、素数である\（P \ミッドN \）と\（NMID N- \ P ^ 2 \）次に、\（φ（N）=のφ （N / P）*（P-1） \）。
\（\ sum_ {Dの\ミッドN}φ（D）= N \）。

乗法機能：

$ \ Qquad $場合\（GCD（A、B）= 1 \）、そこ\（F（AB）= F（A）fは（B）\）、次に関数として知られている\（F \）乗法関数です。

場合\（F \）は関数の積で算術の基本定理である\（N = \ prod_ {私は= 1} ^ M P_I ^ {C_I} \）、次いで$（N）F = \ prod_ {I = 1} ^ MF（P_I ^ { C_I}）$。

（第6オイラー関数の性質を持ちます）

\（* \）完全に乗法関数です。

\ [∀a、b∈Z、\ qquadのF（AB）= F（A）は、f（B）\]

乗法関数に展開は、コンテンツが簡単な紹介以下、より難解で、非常に大きいです。

などの一般的な乗法機能

\（Φ（N） \） -オイラー関数
\（σ（N） \） -約数関数
\（μ（N） \） -メビウス関数
\（σ_0（N-） \） -関数のについてのいくつかの数
\（σ_k（N-） \） -番号と機能番号について
\（GCD（N、K） \） -最大公約数関数、（Kを\）\一定時間
\（1（N）= 1 \） -私はこれが何であるかを知りません
\（F（N）は、N-を\ =） -私はまだ何であるかわかりません

$ \ Qquadドルもう一つのポイントは、直線的に選別されている乗法関数であります

ディリクレ畳み込み

まず、次の補完することにより開始数論関数定義を：

終域：任意に設定した値の範囲を含みます
算術関数：ドメインは、正の整数である、ドメインを伴う複雑な関数であります

さて、私たちは紹介して始めることができますディリクレ畳み込みのを。

定義\（fは、G \）数論的関数、そのディリクレ畳み込みは以下のように表すことができる\（F * G \）、提供\（F * G = H \）。

\ [H（N）= \和_ {D | N} F（D）G \ビッグ（\ FRAC {n}は{D} \ビッグ）\]

場合\（F、Gの\）が乗法関数であり、明らかに、\（H \）はまた、乗法関数です。

証明します

$ \ $配置さqquadの\（N = * Bが\ ）と\（B \）互いに素、すなわち\（GCD（A、B）= 1 \。）：

\ [H（N）= \和_ {D_1 |、D_2 | B} F（d_1d_2）G \ビッグ（\ FRAC {A} {D_1} \ FRAC {B} {D_2} \ビッグ）\]

\ [= \ sum_ {D_1 |、D_2 | B} F（D_1）F（D_2）G \ビッグ（\ FRAC {A} {D_1} \ビッグ）G \ビッグ（\ FRAC {B} {D_2} \ビッグ）\]
\ [= \ sum_ {D_1 | A} F（D_1）G \ビッグ（\ FRAC {A} {D_1} \ビッグ）\ sum_ {D_2 | B} F（D_2）G \ビッグ（\ FRAC {B} {D_2} \ビッグ）\]
\ [= hの（A）* H（B）\]

$ \ Qquad $証拠。

アルゴリズム

ディリクレ畳み込み演算を満たすために：

\（F * F * G = G \）（可換）
\（（F * G）= F * H *（F * G）\）（結合則）
\（F *（G + H）+ = F * F * G H \）（分配性）
場合\（F、Gの\）は関数の積であり、\（F * Gが\）は乗法関数です。（ネイチャー）

ディリクレ畳み込み関連

以下は、あるいはオイラーの関数に戻ります。

我々が使用できる$ \ $ Qquad （エラトステネス\の）\ふるい、オイラー関数に従って計算される、\（O（NlogN）を\）解決内\（2-N \）オイラー数の各々に機能。

    int phi[SIZE];
    void eluer(int n) {
        for(int i = 2; i <= n; i++) phi[i] = i;
        for(int i = 2; i <= n; i++) 
          if(phi[i] == i) 
              for(int j = i; j <= n; j += i;) 
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
    }

$ \ Qquad $それが乗法関数であるので、オイラーの線形関数にそれを最適化する方法を、次に、リニアふるいすることができますか？のは、素数のふるい線形思考を確認してみましょう（素数のふるい詳細）、リニアふるい、各合成数\（N \）その素因数が、一度ふるいになり、次のいくつかのプロパティを使用します。

定理3：みましょう\（P \）があれば、素数である\（P \半ばのn \\）と$ P ^ 2 \ MID N- \（、その後、\） [ファイ]（N-）= [ファイ]（N / P）* Pの$ 。
定理4：みましょう\（P \）があれば、素数である\（P \半ばのn \\） NMID N- \ P ^ 2と$ （\その後、）\ [ファイ]（N-）= [ファイ]（N / P）*（P -1）$

我々は、から、これら2つの複合数定理をスクリーニングに使用することができる（φ（N / P）\ ）\ する再帰（\、φ（N））\します。

素数のふるい、リニアふるいについて書くの2種類がありますので、実際には、ほとんど同じですが、読者の便宜のために、ここで与えられます。

    //法一 ： 
    int v[SIZE], pri[SIZE], phi[SIZE], num;
    void promoted_eluer(int n) {
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            if(v[i] == 0) 
                pri[++num] = i, phi[i] = i - 1;
            for(int j = 1; j <= num && i * pri[j] <=n; j++) {
                v[i * pri[j]] = 1;
                phi[i * pri[j]]=
                  phi[i] * (i % pri[j] ? pri[j] - 1 : pri[j]);
                if(i % pri[j] == 0) break;
            }
        }
    }

    //法二： 
    int v[SIZE], pri[SIZE], phi[SIZE], num;
    void promoted_eluer(int n) {
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            if(v[i] == 0) 
                pri[++num] = i, phi[i] = i - 1, v[i] = i;
            for(int j = 1; j <= num; j++) {
                if(pri[j] > v[i] || pri[j] > n / i) break;
                v[i * pri[j]] = pri[j];
                phi[i * pri[j]]=
                  phi[i] * (i % pri[j] ? pri[j] - 1 : pri[j]);
            }
        }
    }

章の練習の終わり※

\（終わり\）

\（PS：\）

順序と内容を説明するよりも、基準：李Yudong「アルゴリズムコンテストステップアップガイド」

関連の数について

除数