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<第更新>でこれを見て 、数学的基礎の「組み合わせ」。
<テキスト>
##巡回置換
巡回置換：から\（N- \）で選択された要素（Mの\）\複数のプログラムは、円形に配置された場合、プログラムは、線形配列に対応する、最初の番号を固定します。
円形の配置は、に対応することができる（Mの\）を\：直線状に配置され、さらに、計算された巡回置換を得ることができる
\ [Cir_ {N-} ^ {M} = \ FRAC {A_ {N-} ^ {M}} {M} = \ FRAC {N！} {Mの \時間（NM）！} \]
鳩の巣原理
一般的な形式
\（N + 1 \）に商品番目\（\ N-）ボックスは、その後、ボックスには2つの以上の項目を含む少なくとも1つ存在します。
証明：
各項目の背理法、もし1つのボックスだけ、最大でアイテムの総数\（N-用\） 、矛盾。
フォームを強化
\（\ sum_ {i = 1 } ^ nq_i-N + 1 \） に商品番目\（\ N-）ボックス、各ボックスを入れた\（A_1、A_2、...、 A_N \）項目番目、次いで少なくとも一つが存在する\（K \） 、そう\（a_k \ GEQ q_k \） 。
証明：
各カセット満たせば矛盾、\（a_iを<Q_I \） 、せいぜいアイテムのその後総数\（\ I SUM = {_} ^ 1-N-nq_i \） 、矛盾。
階乗と二項係数は、電力を減少させます
我々は定義\（N ^ {\下線{ K}} \） の\（\ N-）\（K \）倍として計算される階乗電力を減少：
\ [N- ^ {\下線{K}} = N- \倍（N-1）\倍... \倍（N-k + 1）\]
前記\（K \）の整数であり、\（n-は\）任意の実数であってもよいです。
我々は、組み合わせの数が示される階乗電力を下げることができることを見出した：
{！M} \ [C_ {N-} ^ {M} = \ Binom {N-} {M} = \ FRAC {N- ^ {\下線{M}}} \ ]
だから我々は、ドメインの組み合わせの数を拡張することができます。つまり、インデックスの組み合わせの数であり、\（n-は\）任意の実数であってもよいです。
コンビナトリアルアイデンティティ
対称アイデンティティ
\ [\ binom {N} {M} = \ binom {N} {NM} \]
以下のための\（N、\におけるM \ N \） 成り立ちます。
証明：
\ [\ binom {N} {M} = \ FRAC {N！} {M！（NM）！} = \ FRAC {N！} {（NM）！（N-（NM））！} = \ binom { N} {NM} \]
吸収アイデンティティ
\ [\ binom {R}、{K} = \ FRAC {R}、{K} \ binom {R-1} {K-1} \]
ため\（\ R中のR \ \ NのK \ ^ + \）が成立します。
証明：
\[\binom{r}{k}=\frac{r^{\underline{k}}}{k!}=\frac{r}{k}\times \frac{(r-1)^{\underline{k-1}}}{(k-1)!}=\frac{r}{k}\binom{r-1}{k-1}\]
相伴恒等式
\[(r-k)\binom{r}{k}=r\binom{r-1}{k}\]
对于\(r\in \R,k\in \N\)成立。
\[(r-k)\binom{r}{k}=\frac{r!}{(r-k-1)!k!}=r\times \frac{(r-1)^{\underline{r-k-1}}}{(r-k-1)!}\\\ \\=r\binom{r-1}{r-k-1}=r\binom{r-1}{k}\]
加法公式
\[\binom{r}{k}=\binom{r-1}{k-1}+\binom{r-1}{k}\]
对于\(r\in \R,k \in \N\)成立。
证明：
\[\binom{r-1}{k-1}+\binom{r-1}{k}=\frac{(r-1)^{\underline{k-1}}}{(k-1)!}+\frac{(r-1)^{\underline{k}}}{k!}\\ \ \\=\frac{k(r-1)^{\underline{k-1}}}{k!}+\frac{(r-k)(r-1)^{\underline{k-1}}}{k!}\\ \ \\ =\frac{r^{\underline{k}}}{k!}=\binom{r}{k}\]
上指标求和
\[\sum_{i=m}^n\binom{i}{m}=\binom{n+1}{m+1}\]
对于\(n,m\in \N\)成立。
证明：
设有\(n+1\)个物品，标号为\(1\sim n\)，现在从中选取\(m+1\)个物品，当选取的最大号码为\(i\)时，方案数为\(\binom{i}{m}\)，那么枚举累加方案数就得到了：\(\sum_{i=m}^n\binom{i}{m}=\binom{n+1}{m+1}\)。
平行恒等式
\[\sum_{i=0}^n\binom{m+i}{i}=\binom{m+n+1}{n}\]
对于\(n,m\in \N\)成立。
证明：
\[\sum_{i=0}^n\binom{m+i}{i}=\sum_{i=0}^n\binom{m+i}{m}\\ \ \\ =\sum_{i=m}^{n+m}\binom{i}{m}=\binom{n+m+1}{m+1}=\binom{n+m+1}{n}\]
上指标翻转
\[\binom{r}{k}=(-1)^k\binom{r-k-1}{k}\]
对于\(r\in \R,k\in \N\) 成立。
证明：
\[\binom{r}{k}=\frac{r^{\underline{k}}}{k!}\\ \ \\ =\frac{r\times (r-1) \times ... \times (r-k+1)}{k!}\\ \ \\ =\frac{(-1)^{k}\times (k-r-1)\times (k-r-2) \times ... \times (-r)}{k!}\\ \ \\ =(-1)^k\frac{(r-k-1)^{\underline{k}}}{k!}=(-1)^k\binom{r-k-1}{k!}\]
三项式系数恒等式
\[\binom{r}{m}\binom{m}{k}=\binom{r-k}{m-k}\binom{r}{k}\]
对于\(r\in \R , n,m\in \N\)成立。
证明：
\[\binom{r}{m}\binom{m}{k}=\frac{r!}{(r-m)!(m-k)!k!}=\binom{r-k}{m-k}\binom{r}{k}\]
范德蒙德卷积
\[\sum_{k=0}^n\binom{r}{k}\binom{s}{n-k}=\binom{r+s}{n}\]
对于\(r,s\in \R , n\in \N\)成立。
证明：
左边表示从\(r\)个男生中选\(k\)个人，从\(s\)个女生中选出\(n-k\)个人的方案数，求和即为在\(r+s\)个人中选\(n\)个人的方案数，可知：\(\sum_{k=0}^n\binom{r}{k}\binom{s}{n-k}=\binom{r+s}{n}\)。
二项式定理
二项式定理
在上一篇中，我们已经提到了经典的二项式定理，并用数学归纳法证明了该定理的正确性。
\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^{i}b^{n-i}\]
广义二项式定理
上文中，我们已经可以将组合数\(\binom{n}{m}\)的上指标扩充到实数域。在实数域的组合数中，二项式定理仍然成立，我们称之为广义二项式定理，又称牛顿二项式定理。
\[(a+b)^r=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{r}{i}a^{i}b^{r-i}\]
组合数的数论性质
若\(p\)为质数，则对于\(n\in[1,p-1]\)，有\(p\ |\ \binom{p}{n}\)。
证明：
\[\because \binom{p}{n}=\frac{p\times (p-1)\times ... \times (p-n+1)}{n!}\in \Z\\ \ \\ \therefore n!\ |\ p\times (p-1) \times ... \times (p-n+1)\\ \ \\ \because(p,n)=1\\ \ \\ \therefore n!\ |\ (p-1) \times (p-1) \times ... \times (p-n+1)\\ \ \\ \therefore p\ |\ \binom{p}{n}\]
多项式定理
定义多项式系数：
\[\binom{n_1+n_2+...+n_k}{n_1,n_2,...,n_k}=\frac{(n_1+n_2+...+n_k)!}{n_1!n_2!...n_k!}\]
则有如下的多项式定理成立：
\[(x_1+x_2+...+x_k)^n=\sum_{n_1+n_2+...+n_k=n}\binom{n_1+n_2+...+n_k}{n_1,n_2,...,n_k}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_k^{n_k}\]
两类阶乘幂
定义
我们已经定义下降阶乘幂：
\[x^{\underline{n}}=x\times (x-1)\times ... \times (x-n+1)\]
同理我们定义上升阶乘幂：
\[x^{\overline{n}}=x\times (x+1)\times ... \times (x+n-1)\]
我们可以提取符号，写成另一种形式：
\[x^{\underline{n}}=(-1)^n(x-n+1)^{\underline{n}},x^{\overline{n}}=(-1)^n(1-x-n)^{\overline{n}}\]
阶乘幂的二项式定理
二项式定理对阶乘幂仍然成立：
\[(a+b)^{\underline n}=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^{\underline i}b^{\underline{n-i}}\\ \ \\ (a+b)^{\overline n}=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^{\overline i}b^{\overline{n-i}}\]
不定方程的解数问题
正整数解
求不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n\)的正整数解的个数。
这个问题等价于把\(n\)个球放入\(k\)个盒子中，每个盒子中至少有\(1\)个球，由隔板法可知其方案数为\(\binom{n-1}{k-1}\)。
非负整数解
求不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n\)的非负整数解的个数。
我们可以新增\(k\)个球，这样问题就等价于把\(n+k\)个球放入\(k\)个盒子中，每个盒子中至少有\(1\)个球，由隔板法可知其方案数为\(\binom{n+k-1}{k-1}\)。
下界限制
求不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n\)的整数解的个数，满足\(x_1\geq a_1,x_2\geq a_2,...,x_k\geq a_k\)。
这个问题等价于不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n-a_1-a_2-...-a_k\)的非负整数解个数，可以其方案数为\[\binom{n+k-1-\sum_{i=1}^{n}a_i}{k-1}\]
上下界限制
求不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n\)的整数解的个数，满足\(a_1\leq x_1\leq b_1,a_1\leq x_2\leq b_2,...,a_k\leq x_k\leq b_k\)。
首先把限制转换为\(0\leq x_1\leq b_1-a_1,...,0\leq x_k\leq b_k-a_k\)，运用容斥原理，答案即为：
\[\binom{n+k-1}{k-1}-\binom{n+k-1-\sum_{i=1}^n(b_i-a_i+1)}{k-1}\]
<后记>