CF1106F旧正月と再帰Sequence--行列高速電力&& BSGS

問題の意味

设$$のf_i = \左\ {\開始{行列}
1、\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ I <K \\
\ prod_ {J = 1} ^ k個のF_ {IJ} ^ {b_j} MODの\ P \ \ \ \ \ \ I> K
\端{行列}右\。$$

要求の$ F_Kの$（$ 1 \当量F_K <Pの$）は、$ F_M = n個の$ように。（$ 1 \当量のK \当量100 $）

分析

$ $ F_nは$ {F_K} ^ Xの$、すなわち線形再帰的指数、高速電力周波数とF_n $ $ラインで得られた最終的な行列の形で表すことができます。

$$ \開始{bmatrix} F_K \\ F_ {K-1} \\ \ vdots \\ F_1 \端{bmatrix} =
\ {bmatrix} B_1とB_2＆\ cdots＆b_k \\ 1＆0＆0＆始まります0 \\ \ vdots＆\ ddots＆\ vdots＆\ vdots \\ 0 0 1 0＆\端{bmatrix} \ CDOT
\開始{bmatrix} F_ {K-1} \\ F_ {K-2} \ \ \ vdots \\ F_0 \端{bmatrix} $$

即$ F_n = Bの\のCDOT F_ {N-1} = B ^ {NK} F_K $

それは$ {F_K} ^ X \当f_n \（MOD P）$ X $は既に高速電力行列をカウントした形態を$です。

その後、フォームは、x ^ \当量のBの\ PMOD {P} $方程式、直接テンプレートを$を解くことについてです。

その元のルートは、3 998 244 353であり、右、常識と考え。

、金型は、$ P $のないときに、電力事業者の行列迅速、オイラーの定理により、金型は、$ P-1 $であることに注意してください。

#include <ビット/ STDC ++ H>
 使用して 名前空間STDを、

typedefの長い 長いLL。
構造体行列
{ 
    int型のR、C。
    LLマット[ 101 ] [ 101 ]。
    行列（）{ 
        memsetの（マット、0、はsizeof （マット））。
    } 
}。
constの LLのP = 998244353 ;
int型 K、B [ 110 ]、N、M。

マトリックスMUL（行列A、行列B、LLのP）    // 矩阵相乘
{ 
    マトリックスRET。
    ret.r =アルゴン。ret.c = Bcを。
    以下のために（int型 i = 0 ; iは、ARと<; I ++ ）
         のための（INT K = 0 ; K <のAcあり、k ++ ）
             のための（int型 J = 0 ; J <Bcを、J ++ ）
            { 
                ret.mat [I] [J] = （ret.mat [I] [J] + A.mat [I] [K] * B.mat [K] [J]）％のP。
            } 
    戻りRET。
} 

マトリックスmpow（行列A、INT nは、INTのP）
{ 
    マトリックスRET。
    ret.r =アルゴン。ret.c = のAc。
    以下のための（INT I = 0 ; I <ret.r; iは++）ret.mat [i]は[I] = 1 。
    一方、（N）
    { 
        場合（N - 1）RET = MUL（RET、A、P）。
        A = MUL（A、A、P）。
        N >> = 1 。
    } 
    戻りRET。
} 

LLのGCD（LLのB、LL）
{ 
    戻り B？GCD（B、％のB）。
} 

LL qpow（LLのB、LLのP LL）
{ =％のP。
    LL RET = 1 。
    一方、（B）
    { 
        もし（B＆1）RET = RET *％のP。= A *％のP; 
        B >> = 1 。
    } 
    戻りのRET％のP。
} 



マップ < INT、INT > 融点;
int型（BSGS のint、int型 B、int型 P）{     // A ^ X = B（MOD P）、（P）は1、返回X、X> = 1 = 
    INT M = SQRT（P）+ 1 。 mp.clear（）;
    ため（登録をint i = 0 ; iがmを<;、RES = bを++ I、RES = 1LL * RES *％のP）MP [RES] = I。
    にとって（登録INT I = 1 RES = TMP、TMP = qpow（M、P）; I <= M + 1 ; ++ I、RES = 1LL *解像度* TMP％のP）の
         場合（mp.count（RES） ）リターン私はM- * MPを[RES]。
    戻る - 1 。
} 

int型  のmain（）
{ 
    scanf関数（" ％のD "、＆K）。
    用（int型 iは= 1のscanf（;私は= Kを<I ++）は、 " ％のD "、＆B [I]）。
    scanf関数（" ％d個の％のD "、＆N、＆M）。
    行列B。
    BRの = Bcを=K;
    以下のために（int型私= 0 ; I <K; iは++）B.mat [ 0 ] [I] = bの[I + 1 ]。
    以下のために（int型 i = 1 ; iはkは<; iは++）B.mat [I] [I- 1 ] = 1 。

    B = mpow（B、NK、P- 1 ）。     
    INT A = B.mat [ 0 ] [ 0 ]％（P- 1）。    // 注意、是模P-1而非P 

    INT C = BSGS（qpow（3 、P）、M、P）。
    もし - （C == 1のprintf（）" -1 \ nを"）;
    他
    { 
        INT FK = qpow（3 、C、P）。
        printf（" ％d個の\ n " 、FK）。
    } 
}

参考リンク：https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/10348641.html

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