三つの例[バイリンガル]クラインFOUR - GROUPクライン4群の3例

構造構造クラインFOUR - クラインの四元群のGROUP

次の乗算テーブル群を満たすクライン4元グループ$ K $

クライン4群は、以下のmultpilicative表を満たす基であります

$$ \開始{アレイ} {| C | C | C | C | C |} \ HLINE \ CDOT＆1＆A＆B＆C \\ \ HLINE 1＆1＆A＆B＆C \\ \ HLINE A＆ A＆1＆C＆B \\の\のHLINEのB＆B＆C＆1＆A \\ \ HLINE C＆C・B・A・1 \\ \ HLINE端\ {アレイ} $$

明らかに、$ K \コング\ mathbb {Z} / 2 \回\最小の非環状基であるmathbb {Z} / 2 $、。

私たちは、次の3つの事実を知っています

間違いなく、$ K $の自己同型群は、第三の対称群の$ \のmathfrak {S} _3 $です。

自己同型群は第三symmatricグループの$ \のmathfrak {S} $ _3であることは間違いありません。
TABLE FOUR - GROUPクラインことを特徴と

クライン4グループの文字テーブルがあります

$$ \開始{アレイ} {| C | C | C | C | C |} \ HLINE＆1＆A＆B＆C \\ \ HLINE 1・1・1・1・1 \\ \ HLINE \ chi_a＆ 1＆1＆-1＆-1 \\ \ HLINE \ chi_b＆1＆-1＆1＆-1 \\ \ HLINE \ chi_c＆1＆-1＆-1＆HLINE \ 1 \\ \端{アレイ} $ $
忠実な表現は、\ mathfrak \ subseteq最小の$ \ {1、（12）（34）、（13）（24）、（14）（23）\} {S} _4 $で置換されています。

最小忠実順列リプレゼンテーションは、$ \ {1、（12）（34）、（13）（24）、（14）（23）\} \ subseteq \ mathfrak {S} _4 $です。

Jiekeは、上記次のようにしてして説明しました。（ - 1、 - 1、1）頂点の$四面体（1 -1、-1）、$（1,1,1）で、（-1,1、-1）を、3次元空間を考えてみましょう、$、B、Cの$役割上記$ Xを中心され、Y、Z $軸$ 180 ^ \のCIRCの$。これは、実際には正四面反射同型の全てを与えます。置換は、忠実な表現の表面上にあります。

上記のすべては、次のように要約することができます。、$（1,1 - - 1）頂点である$ 3次元空間における四面体（1,1,1）、（1、-1、-1）、（-1,1、-1）、検討ここで、$ $、$ Bは$と$ C $の作用は、$ 180 ^ \ CIRC $それぞれ軸の$のx $、$ yを$と$のZ $に沿っての回転です。これらは、実際には四面体の反射の同型の全てを生じさせます。顔の順列は、上記正確忠実な表現です。

最初のアプリケーションまずアプリケーション

示すように、このブログポスト綿陽の2つの異なる色が衝突した場合に述べたように、赤、黄、青羊、15、19、20があり、それらは羊別の色に収まります。羊の最終的な色は、すべてがどうなるのか尋ねますか？

それぞれ、赤、黄、青の15、19及び20羊があります。異なる色の2匹の羊が衝突した場合、それらは他の色の一方羊にブレンドします。種はどのような最後の農場を統一しますか？

我々は、すべての要素の羊染め製品が一定で、衝突した後、$ aにクライン4元のグループに感染した羊の3色に、B、C $を染色方法を与えることができます。

我々は、それぞれクライン4群に$ $、$ B $と$ Cの$と羊の着色---色三つの異なる種類を通じて方法を与えることができます。衝突が発生したときに続いて、色の要素の積は不変です。

そして$ 15A + 19B + 20C = A + B = Cの$、最終的な統一全体黄色羊ファーム。

黄色羊全体ファームuniftyであろうように、その15A + 19B + 20C = A + B = C $を注意してください。

第二のアプリケーションセカンドアプリケーション

私たちは、それぞれの側に取り付けられたスイッチをすべての頂点にランプを設置し、正八面体を考えてみましょう。スイッチごとに、平面の3つの頂点のランプの状態が変化する - 明るい光が消灯され、ランプが消灯されます。唯一のランプが点灯している場合今、私たちは、すべてのライトがオフにされ行うことができますか？

八面体を考えてみましょう。私たちは、電球頂点それぞれを装備し、各スイッチに直面しています。スイッチの各使用量は、この顔の3つの頂点がその状態を変化させる---光一つは、ライトオフ一つは絶滅オフになります。今だけ1電球のオープンがあり、我々はすべての電球をオフにすることができますか？

また、我々は染色のための方法を提示します。3つの頂点は、その後たびに、操作スイッチ4元の$のA、B、Cの$、直径クライン群を収縮さ、明るい光を染色すべての要素の積は一定です。

同様に、我々は、発色液を提示するものとします。それぞれクライン4群に$ $、$ Bは$と$ C $で正反対の頂点の三対の着色。その後、スイッチが操作される方法に関係なく、電球の要素の積は不変です。

今、唯一の明るい光は、当然のことながら、全てオフ状態になっていません。

さて、上の唯一の電球があり、それはすべての個別での状態になることはできません。

第3のアプリケーション第3のアプリケーション

第3のアプリケーションは、我々は（も独立したダイヤモンドとして知られている）ペグソリティアの古典的なゲームの欧州版が何の解決策ではないことを示して、古典的です。

このアプリケーションは、古典的です。私たちは、ゲームペグソリティアは、ヨーロッパ版のために解決不可能であることが表示されます。

$、B、C $の人口を感染4元へクラインボードストリップ、各遷移は、すべてのサブ要素の積を変更しません。

$ $、縞模様でクラインの四元群内の$ B $と$ C $でボードをカラーリング。各スキップは、すべての要素の積を変更しません。

		A	B	C
	A	B	C	A	B
A	B	C	A	B	C	A
B	C	A	B	C	A	B
C	A	B	C	A	B	C
	B	C	A	B	C
		A	B	C

今、終わりを示すすべての要素$ 1 $、の製品、不在の唯一の子。

さて、製品が$ 1 $です。これが唯一のチェスの最終的な状態が存在しないことを示しています。