[ネットワーク]の流れ

フロント

•フローネットワーク（ネットワークフロー）\（Gは、=（V、E）が\）有向グラフであり、各エッジ\（（U、V）\ E \で） 非負容量（キャパシティ）を有している（\ C（U、V）> = 0 \） 。れないため（E \）\の\（（U、V）\）、所定の\を（C（U、V）= 0 \）
•二つの特別なノードを有します点：ソース（ソース）\（VにおけるS（S \）\）とシンク（シンク）が\（VにおけるT（T \）\） 。
•仮定他の点vについて、プレゼンス・パスその\（S \のRARRのV \ RARRトン\）

•サイドストリームはの関数である\（F（U、V）\）流量関数、\（F（x、y）を V、VのY \）で\（X \ \） 満たされます。

•容量制限：\（\ FORALL（U、V）、\; 0 \ Fル（U、V）\ Cル（U、V）\）

•対称：\（F（U、V）= - F（V、U）\）

•バランス：いないため\（S \）または\（T \）その他の点\（U \）がある（\ \和\ limits_ {Vが Vで\} F（U、V）= 0 \）

：•流量は全体のネットワーク（すなわちSからの流出流量）で定義され（| F | = \ SUM \ limits_ {VにおけるV \} F（S、V）\）\
•最大フロー問題は：見つけるストリーム機能\ （F \） 、そのため、ネットワークの最大流量

•その他

同等の条件：
1）最大流量Fである。
2）経路増強残存ネットワーク
3）カット（S、T）の存在、|をf | = Cの（S、T）

パスを増強する辺の最小数を探してたびに増大すること
•定理：ワイドによりO（nm）の時間まで
•エドモンズ-カープ：BFSは、各増強経路を見つけ、追加の保守情報
•Dinic：BFS複数階層グラフ構造、DFSは増強のパスを見つけます。追加情報：
（uの値を開始点から）レベル

最大流量

luogu3376ネットワーク最大流量[テンプレート]

すべてのBFSはありません増強経路グラフまでの経路を増強見つけます

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define Min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
const int N=10000+5,M=100000+5,inf=0x3f3f3f3f,P=19650827;
int n,m,s,t,maxflow=0,pre[N],incf[N];
template <class t>void rd(t &x){
    x=0;int w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    x=w?-x:x;
}

int head[N],tot=1;
struct edge{int v,w,nxt;}e[M<<1];
void add(int u,int v,int w){
    e[++tot]=(edge){v,w,head[u]},head[u]=tot;
}

bool vis[N];
queue<int> q;
bool bfs(){
    while(!q.empty()) q.pop();
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    q.push(s),vis[s]=1,incf[s]=inf;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u],v,w;i;i=e[i].nxt)
        if(w=e[i].w){
            v=e[i].v;
            if(vis[v]) continue;
            incf[v]=Min(incf[u],w),pre[v]=i;
            q.push(v),vis[v]=1;
            if(v==t) return 1;
        }
    }
    return 0;
}

void upd(){
    int x=t;
    while(x!=s){
        int i=pre[x];
        e[i].w-=incf[t],e[i^1].w+=incf[t];
        x=e[i^1].v;
    }
    maxflow+=incf[t];
}

int main(){
    rd(n),rd(m),rd(s),rd(t);
    for(int i=1,u,v,w;i<=m;++i)
    rd(u),rd(v),rd(w),add(u,v,w),add(v,u,0);
    while(bfs())
    upd();
    printf("%d",maxflow);
    return 0;
}