\（CRT \）
無期限解決方程式
设\（M = \ PROD \ limits_i ^ nm_i \）
\（M_I = \ FRAC {M} {M_I} = PRODの\のlimits_ \ {K、K \ NEQ I} ^ nm_k \）
\（T_I \）の\（M_I \）金型内の\（M_I \）逆元
結論最初の一般解（\ \和\ limits_i ^ na_iM_it_i MOD LCM（M_I）\）
証明：
方程式の最初のセットのために\（私は\）と考えられ、式
\（\ M_k（k個の\ NEQ I）MOD M_I = 0 \ため）
\（\従って\和\ limits_ {K、K \ NEQ I} ^ na_kM_kt_kの\ equiv0（MOD M_I）\）
又\（\ \ t_iM_iの\ equiv1（MOD M_I）ので）
\（\のでa_iM_it_i \当量a_iを（MOD M_I）\）
$ \したがって、\合計\ limits_i ^ na_iM_it_i \当量のa_iを（MOD M_I）$
リーガルソリューション
証明され、一般解\（\合計\ limits_i ^ na_iM_it_iモッズLCM（M_I）\）
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0){ x=1; y=0; return;}
exgcd(b,a%b,x,y);
int tp=x;
x=y; y=tp-a/b*y;
}
int china()
{
int ans=0,lcm=1,x,y;
for(int i=1;i<=k;++i) lcm*=b[i];
for(int i=1;i<=k;++i)
{
int tp=lcm/b[i];
exgcd(tp,b[i],x,y);//求逆元
x=(x%b[i]+b[i])%b[i];//x要为最小非负整数解
ans=(ans+tp*x*a[i])%lcm;
}
return (ans+lcm)%lcm;
}ExCrt
解決するために、中国の剰余定理を拡張である（M_I \）\しない互いに素問題
マクロは、その一般解の式を直接表現することはできません、直接一般的なソリューションを構築しなくなりました
誘導によって、考慮前（K-1 \）\方程式の一般解\（X（MOD M）、 M = LCM（M_1 {K-1} M_するために）\ ）
私たちは、セクションに準拠する必要があります\（k個\）式は、いくつかの数字を追加する必要がありますが、フロントのことを確実にするために、\（K-1 \）我々は唯一の回数を追加することができ、式がまだホールド（M \）\、それが発見されます\（X + T *のM \の当量のa_k（MOD m_k）\）
照合与えるには、\（T * Mは\当量をa_k -x（MOD m_k）\）
ユークリッドは、合同式が解を持たないならば、全体の方程式が解を持たない、拡張することによって解決することができます
そうでない場合は、新しいソリューションです\（X +のT *のM（ MOD LCM（M、m_kは））\）
コードを説明するためのいくつかの詳細があります。
lt exgcd(lt a,lt b,lt &x,lt &y)
{
if(b==0){x=1;y=0;return a;}
lt gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
lt tp=x;
x=y; y=tp-a/b*y;
return gcd;
}
lt excrt()
{
lt x,y,k;
lt M=bi[1],ans=ai[1];//一开始赋为初始值
for(int i=2;i<=n;i++)
{
lt a=M,b=bi[i],c=(ai[i]-ans%b+b)%b;//注意取模保证是正数
lt gcd=exgcd(a,b,x,y),bg=b/gcd;//t*M-y*mk=gcd,gcd为M和mk的gcd
if(c%gcd!=0) return -1; //因为求解是根据gcd而不是c，所以还要乘倍数，如果不是倍数证明无解
x=mul(x,c/gcd,bg);//将x乘倍数，这里取模mk/gcd的原因是x(也就是t)还要乘M，乘M之后不能超过LCM(M,mk)，也就是不能超过M*m/gcd，所以这里直接对m/gcd取模即可
ans+=x*M;//答案更新
M*=bg;//模数更新
ans=(ans%M+M)%M;//处处取模小心负数
}
return (ans%M+M)%M;
}