基本
所望の線形特性を
\（E（X + Y）
= E（X）+ E（Y）\） 証明：
\（E（X + Y）= \合計\ limits_i \合計\ limits_jP（X =私は\＆\＆Y = j）が（私はJ）\ +）
\（= \合計\ limits_i \合計を\ limits_jP（X =私は\＆\＆Y = j）は、私は+ \合計\ limits_i \合計\ limits_jP（X =私は\＆\＆Y = J）J \）
\（= \合計\ limits_ii \合計\ limits_jP（X =私は\します＆\＆Yは= J）J + \和\ limits_ij \和\ limits_jP（X = iは\＆\＆Y = j）はiが\）
\（= \和\ limits_iP（X = I）、I + \和\ limits_jP（Y = J ）J \）
\（= E（X）+ E（Y）\）
プレフィックスとスキル
n個のランダム変数X [1 ... n]は、各確率変数は、所望の1 ... SからMAX（X [1 ... N]）を求めて、ランダムな整数であります
溶液
\（E（Y）= \和\ limits_ {i = 1} ^ SP（Y = I）、I = \和\ limits_ {i = 1} ^のSi（P（Y \ルI） - P（Y \ルI - 1））= I（{\ FRAC {I} {S}} ^ N - {\ FRAC {（I-1）} {S}} ^ N）\）
小結論
確率\（Pの\）予想イベント\（\ FRAC {1} { P} \）の後に生じます。コイントス、正の確率スロー\（\ FRAC {1} { 2} \） 所望の研磨が二回発生した後。
ボールゲームを取ります
1つのボールゲームを取ります
これは、箱の中にある\（N \）ボール（N-1 ... \）\、あなたが取得したい\（m個\）回ボールを、遅くとも数字と期待を求めて、バックました。
溶液
\（E（\和\ limits_ {i = 1} ^ nX_i）= \和\ limits_ {i = 1} ^ NE（X_I）= \和\ limits_ {i = 1} ^ NP（X = I）、I = \和\ limits_ {i = 1} ^ n個の\ FRAC {M} {N} \倍I = \ FRAC {M} {N} \和\ limits_ {i = 1} ^ NI = \ FRAC {M}は{N }回\ \ FRAC {N（N + 1）} {2} = \ FRAC {M（N + 1）} {2} \）
球技テイク2
これは、箱の中にある\（N \）ボール（N-1 ... \）\、あなたが取得したい\（m個\）回ボールを、数字と期待を求めて、バックを取りました。
溶液
確率は、各ボールを取ることである（\ \ {N-FRAC {M}} \）ので、答えはまだ\（\和\ limits_ {I = 1} ^ n個の\ FRAC {M} {n}はI = \ FRAC {M（N + 1） } {2} \）
ボール3ゲームを取ります
サブメニュー⾥サブタンクを持つn個のボール。1 ... nは、あなたが時間⾥ボール表面を取りたいM、確率p1は抽出されたデジタルを求めて、2確率p2と、これと同じボールを背中合わせにかかっていますのと期待
溶液が
まだある（\和\ limits_ {I \ = 1} ^ n個の\ FRAC {M} {n}はI = \ FRAC {M（N + 1）} {2} \）
これらの3つの質問は、すべてのnボールが同一の場合に直面していると考えることができ、選択される確率である\（\ FRAC {M} { N} \）
移行の問題
質問1を歩きます
n個の点の鎖上のランダムウォーク、期間の終わりを見つけることは、工程の所望の数を横切って歩い
溶液
\（E（S）= \和\ limits_ {i = 1} ^ {N-1} E（X_I）\）
\（X_I \） Iから先着表す\を（1 + Iが\）工程の所望の数を。
なぜなら\（\ FRAC {1} { 2} \） から直接確率\（Iは\）来る\を（1 + Iが\）がある（\ \ FRAC {1} { 2} \） 確率意志バック\（1-I \）、そう\（X_I = \ FRAC {1 } {2} + \ FRAC {1} {2} \回（1 + X_ {I-1} + X_I）= 2 + X_ {I-1} \）
質問2を歩きます
一つに\（\ N-）上で完全に、図ポイントを歩いて別のポイントからのステップの所望の数を見つけます。
ソリューション
には、完全グラフですので。かかわらず、現在のどの時点で、目標点に到達する確率であり、\（\ {FRAC。1. 1-N-} {} \） 、そう確率\（\ {FRAC。1. 1-N-} {} \） 、確率\ （P \）の所望のイベントの\（\ FRAC {1} { P} \） 発生時間後。したがって、所望の目標点に到達するステップ数\を（N-1 \）
質問3ウォーク
完全二部グラフ2N-ポイント徒歩で、ある地点から別の地点にステップの所望の数を探しに行きます
溶液
これは、同じ側の二つの異なる側面に分けて説明されます。
Aが異なる側に位置するステップの所望の数を表し、Bは、同じ側に位置するステップの所望の数を表します。
\（B = 1 + A \ ）
\（A = \ FRAC {1} {N} + \ FRAC {N-1} {n}はB \）
方程式を解きます
\（A = \ FRAC {1} {N} + \ FRAC {N-1} {n}は（1 + A）\）
\（\ FRAC {1} {n}はA = \ FRAC {1} {N} + \ FRAC {N-1} {N} \）
\（A = 1 + N-1 = N \）
\（B = N + 1 \）
質問4を歩きます
デイジー図移行点におけるNは、ステップの所望の数が⾛別の点に一点から歩い見つけます。
溶液
1.葉- >センター：1
2リーフ- > B + 1 =リーフA
3センター- >リーフ\（B = \ FRAC {1 } {N-1} + \ FRAC {N-2} {N- 1}（A + 1）\ ）
方程式の解
\（B = \ FRAC {1 } {N-1} + \ FRAC {N-2} {N-1}（B + 2）\）
\（B = \ FRAC {1} {N-1} + \ FRAC {N-2} {N-1} B + \ FRAC {2（N-2）} {N-1} \）
\（\ FRAC {1} {N-1} B = \ FRAC {1} {N-1} + \ FRAC {2（N-2）} {N-1} \）
\（B = 1 + 2N-2 = 2N-1 \）
質問5ウォーク
ツリーウォークn個の点において、Qは、工程数がルートから望ましい歩いxは
溶液
X yから来る、Yは、ルート場所が提供されます
セット\（F [X] \）が最初に来る表す（X \）\工程の所望の数。
\（F [X] \ limits_ {Xのy息子} = \ FRAC {1} {D [X]} + \ FRAC {1} {D [X]} \和（1 + F [Y] + F [X]）\）
質問6を歩きます
200ポイントの構成無向グラフ、上記ステップ$ \ GE $ 1000000所望の数のランダムウォークT Sから来るように
溶液
最初の質問に似ています。チェーン内の、\（= X_2。1 \）ステップの総数よう\（N ^ 2 \）レベル。ただ、聞かせて\（X_2 = N \）が到達することができます\（^ nは3 \）のレベルを。このため、始まるで\（100 \）次に接続無向完全グラフ、指摘\（100 \）に接続されたチェーンを指摘します。
クラシックな問題
クラシック質問1
毎回ランダム[1、n]は整数であり、我々はすべてのCouchuのいくつかの望ましい数を求めることができ
溶液
\（S = \和\ limits_ {i = 1} ^ nX_i \）
\（S \）が合計数を表します。\（X_I \）手が今持っている表します\（I-1 \）の数字を。最初に取るために継続するために取られています\（私は\）デジタルのために必要なステップ数を
\（E（S）= \和\ limits_ {i = 1} ^ NE（X_I）\）
\（P（X_I）= \ FRAC {N-I + 1} {N} \）
\（E（X_I）= \ FRAC {N} {N-I + 1} \）
\（E（S）= \和\ limits_ {i = 1} ^ n個の\ FRAC {N} {N-I + 1} = \和\ limits_ {i = 1} ^ n個の\ FRAC {N} {I} \）
質問2クラシック
長さn P、P [i]の前にQのi番目の桁のランダム順列は、最大数の確率です。
溶液
I桁の前に、各番号の最大の確率は同じです。したがって、P [i]は最大数である確率である（\ FRAC {1} {\ I} \）
質問3クラシック
問題の番号iの二乗に祈りなさい。
溶液
セット\（X_I \）を表す（iは\）\の数は、（1）i番目の最大桁数の前に（0）ではありません。
\（E（S）= \和\ limits_ {i = 1} ^ NE（X_I）\）
$のE（S ^ 2）= \合計\ limits_ {I = 1} ^ NE（X_I ^ 2）\
= \合計\ limits_ {私！= J} E（X_I且X - jが）+ \合計\ limits_ {I = 1} ^ NE（X_I）^ 2 \
= \和\ limits_ {I！= J} \ FRAC {1} {IJ} + \和\ limits_ {i = 1} ^ nは{\ FRAC {1} {I} } ^ 2
$
クラシック質問4
長さn pのランダム順列、バックの確率QのI jを
溶液
iとjと等価であり、そしてのでIまたはJの前に、Iまたは前にJ（I除く= j）は、確率\（\ FRAC {1} { 2} \）
5古典的な問題
長さN pのランダム順列は、それが確率配列[1 ... M、W含有見つけます
溶液
総ワット\（メートル！\）種配置。一方のみの条件を満たしています。
したがって、答えは\（\ FRAC {1} { mは！} \）
質問6クラシック
長さN pのランダム順列は、それが連続したシーケンスの確率として[1 ... M、W含有見つけます。
溶液
総Wのすべての場合\（C（_n ^ M） M！\） 種、n個の合計\（N-M + 1 \ ） 順列。したがって、答えは\（\ FRAC {N-M + 1} {C（_n ^ M）は、M！} \）
7古典的な問題
N-スタック石、i番目のスタックAの数は、[i]は、石は、次にランダムにスローされる全体のヒープを選択するたびに、最初のいくつかのスロー石の所望のスタックを見つけます。
溶液
\（[I] \）を表す\（私は\）スタックが投げ何倍望ましい石です。
\（[1] = \和\ limits_ {i = 1} ^ N [A [i]が\ルA [1] \）
\（E（[1]）= \和\ limits_ {i = 1} ^ E（[A [i]が\ルA [1]）\）
\（E（[P] \ [1]）= P（[P] \ [1]）\）
\（E（[1]）= 1 + \和\ limits_ {I = 2}「NP（[I] \ルA [1]）\）
\（P（[I] \ルA [1]）= \ FRAC {[I]} {[I] + [1]} \）
質問8クラシック
長さnのランダム配列は、各位置の確率が1つのpは、01で定義され、Xはそれぞれ連続した1の長さの正方形です。探している\（E（X）を\）
溶液
\（[I] F \） i番目の回答前を表します。\（G [i]が\）終了のI 1の数を表します。
もし最初の\（I + 1 \） 1、次いで\（G [I + 1] = G [I] + 1 \）、\（F [I + 1] = F [I] - G [I] + 2 ^（G [I] + +1）^ 2 = F [I] + 2グラム[I] + +1 \）、
否则\(g[i + 1]=0\),\(f[i+1]=f[i]\)
（F [I] + \ FRAC {1} {2}（2G [I] +1）\ = [I + 1] F）\
\（G [I + 1] = \ FRAC {1} {2} G [私]\）
クラシック質問9
シーケンスに、それぞれランダムには、要素を削除する過程で、i番目とj番目の隣接する確率を尋ねます
溶液
順列順組成に従い、すべての要素を削除します。
IとIから隣接この対応jへJ \（J-I + 1 \ ） からなる配列要素を、最後にiとj。この\（JI + 1 \）の合計からなる要素のすべての可能な配列\（（JI + 1）！ \） の合計の条件を満たす種、\（2（JI-1） ！\） 種。したがって、答えは\（\ FRAC {2（JI -1）！} {（チ+ 1）！} = \ Fracの{2} {（JI + 1）（JI）} \）
演習
演習
与えられたNコイン、Wのi番目の値のコイン[i]は、硬貨の各ランダム除去、コインの左右の値の積として得られる値を、所望の要件の合計値。
溶液
2枚のコインが値を持っている、とする場合にのみ、これらの2つの数の間のすべての数値、最後の二つの数字を除去しました。この確率は、古典的な質問9によって知ることができます。したがって、この質問に対する答えは\（\和\ limits_ {I = 1} ^ {N-2} \和\ limits_ {J = + 2} ^ n個の\ FRAC {2ワット[jを] W [i]を} {（ JI + 1）（JI）} \）
演習2
[1 ... N]のN数がありますが、その後、新たに戻す番号に統合2つの数の1同士の確率は、総収入の予想需要の数の新しい価値を与えるに進み
溶液
\（S = X_ia_i \）
\（X_I \）は、i番目の番号ジェネレータ寄与の数を表します。
\（E（S）= \和\ limits_ {i = 1} ^ E（X_I）a_iを\）
\（E（X_I）= P（X_I）= \和\ limits_ {I = 2} ^ n個の\ FRAC {2} {I} \）
\（E（S）= \和\ limits_ {I = 2} ^ n個の\ FRAC {2} {I} \和\ limits_ {J = 1} ^ na_i \）
演習3
Wの列の数[1 ... N]、ランダム順列H、所与H [i]はH [I-1]、H [I + 1]の比は、大きい場合に予想される収益を求めて、[i]は進行Wが得られます。
溶液
\（E（S）= \和\ limits_ {i = 1} ^ NP（H [I]> H [I-1] \＆\＆H [I]> H [I + 1]）W [i]は\ ）
以降\（H [I]、H [I-1]、H [I + 1] \） 3つのデジタル同等の、および最大が存在しなければなりません。そう\（Hは[i]が\）最大確率である（\ \ FRAC {1} {3} \）ので、答えは\（\ FRAC {1}、{ 3} \和\ limits_ {i = 1} ^ NW [I] \）
演習4
codeforces280C
各ポイントの初めに、木を考えるとブラックが、いくつかのツリー全体を期待請う、彼の息子樹里は、すべてのポイントブラック、ホワイトポイントごとに選挙白です
溶液
ポイントのための\（X \） 、のみ（X \）\とその祖先のすべての\（Xの\）ブラックされた最初の。\（のx \）が拠出を生成します。確率\（\ FRAC {1} { dep_i} \）
\（E（S）= \和\ limits_ {i = 1} ^ NE（X_I）\）
\（X_I \）を表し（Iは\）\を動作点の所望の数を黒染めされています。
\（E（X_I）= \ FRAC {1} {DEP [I]} \）
\（E（S）= \和\ limits_ {i = 1} ^ n個の\ FRAC {1} {DEP [I]} \）
演習
他の教室で
noip2016
溶液
（[I] [J fを\ \ [0/1]） の前に、i番目の期間を表し、物理的コストを最小限にすることが望ましい（1）いいえ（0）アプリケーションです。
その後、精力的に分類を議論するために転送します。
次のように詳細な伝達方程式
\（F [I + 1] [j] [0] =分（F [I] [J] [0] + DIS [C [I] [C [I + 1]、\\ F [i]が[J] [2] + DIS [D [I] [C [I + 1]] * K [I] + DIS [C [I + 1]] *（1 [I] C] - K [I ]））\）
\（[D [I + 1]] * [[I] C] DIS \\ [0] + [3] =分（\\ F [i]は[J] [J + 1] [I + 1] F K [I + 1] + \\ DIS [C [I] [C [I + 1]] *（1 - K [I + 1]）、\\ F [I] [J] [4] + \ \ DIS [D [I] [D [iが+ 1]] * K [I] * K [I + 1] + \\ DIS [D [I] [C [I + 1]] * K [I ] *（1 - K [I + 1]）+ \\ DIS [I C] [D [I + 1]] *（1 - K [I]）* K [I + 1] + \\ DIS [C [I] [C [I + 1]] *（1 - K [I]）*（1 - K [I + 1]））\）
断面
次のようにランダムな間隔を生成するための方法が定義されています。\（L =ランダム（1、N）、R＆LTランダム=（L、N）\） 。このように、2つのランダムな間隔、および2つの交差する確率間隔を尋ねました。\（N \ル1000000 \）
溶液
確率間隔を求めているに否定の問題は、交差しません。
すなわち、他のセクションの右端点の左端よりも小さい部分の必要性。
で\（F [i]が\） iは以下の確率である区間の右端を表します。
\（ANS = \ FRAC {1} {N} \和\ limits_ {i = 1} ^ {N - 1} F [I] \）
\（G [i]が\）などの右端表す（私は\）\の確率間隔。
\（F [I] = \和\ limits_ {J = 1} ^ IG [I] \）
\（G [I] = \ FRAC {1} {N} \和\ limits_ {L = 1} ^ n個の\ FRAC {1} {N-L + 1} \）
切手の収集
luogu4550
N-（あります\（N- \ル10000 \） ）異なるスタンプが、ピッピは、切手のすべての種類を収集したいと思います。唯一の方法は、購入するファンファン学生を集めるためにあなたは一つだけを購入することができ、切手を購入し、スタンプの正確どのようなnが等しい確率、両方の1 / Nの確率です。しかし、ファンファンのためにも、スタンプのような、ピッピ購入スタンプがK-Kドルを支払うことになります。
ピッピのスタンプを持っていなかった今、ピッピはそれは期待を取るスタンプの数を取得するためにお金のすべての種類を知りたいです。
溶液
\（F [i]は\）手が今持っている表します（私は\）\スタンプ、取る\（\ N-）シートに必要なステップの数。そこ\（\ FRAC {NI} { n}は\） 確率は、新しいスタンプを取得します。取ることが望ましい（\ FRAC {n}は{\ NI} \） 倍。そう\（[I] F = F [I + 1] + \ FRAC {N} {NI} \）
\（G [i]が\）手が今持っている表します（私は\）\スタンプ。してください\（N \）銭張は取る必要がありました。価格はまだ最初からここに作られるたびに覚えています。1であれば、すべて取り戻すには時間がかかるように、その質問の意味を満たすことを確認するために取ることができるようになります。そこ\（\ FRAC {I} { N} \） 確率をスタンプするために取られてきました。そこ\（\ FRAC {NI} { n}は\） 確率は、新しいスタンプを取得します。そう\（G [I] = \ FRAC {I} {N}（G [i]が+ Fの[I] +1）+ \ FRAC {NI} {N}（G [I + 1] + F [I + 1] +1）= \ FRAC { I（F [I] +1）} {NI} + F [I + 1] + G [I + 1] +1 \）
パズル
CF696B
溶液
彼の兄弟のノードxがランダムに配置された後、他の兄弟yの、Xのyの確率は、の前に共に\（\ FRAC。1} {2} {\） 、もし\（Xの\）で\（ Y \）はバック、次いで完全木へのアクセス）\（Y軸\アクセスできるようになりサブツリー後\（x \）ノード。で\（SIZは、[i]は\）ルートとするサブツリー内のIの大きさを表します。\（ANS [X] =のANS [FA] +1+の\ FRAC 1} {2} {（SIZ [FA] -siz [X] - 。1）\）、（\（FA \）を表す\（X \）を父）
不運島
CF540D
厄运岛上居住着三种物种：Rock、Scissors和Paper。在某些时刻，两个随机的个体相遇（所有的个体都可以平等地相遇），如果他们属于不同的物种，那么一个个体杀死另一个：Rock杀死Scissors，Scissors杀死Paper，Paper杀死Rock。你的任务是为每一个物种确定在足够长的时间之后，这个物种将是唯一居住在这个岛上的物种的概率。
solution
\(f[i][j][k]\)表示还剩下i个Rock,j个Scissors,k个Paper的概率。然后枚举两个物种，计算相遇的概率转移即可。计算概率时注意减去相同的两个物种相遇的情况。
Fish
有n条鱼，每天会有两条鱼相遇，任意两条鱼相遇的概率都是相同的。两条鱼i,j相遇之后，会有\(a[i][j]\) 的概率i吃掉j，有\(1-a[i][j]\)的概率j吃掉i。对于每条鱼x，问最后剩下x的概率。
\(1\le n\le 18\)
solution
状压一下。枚举当前状态下相遇的两条鱼，计算概率，然后转移即可。