2019年7月31日LCA（共通の祖先）

　　LCA（共通の祖先）

　   LCA、最低共通Ancetors、および最新の共通の祖先。

ウィキペディアの定義Baiduの：「木T Uのルートの2つのノードの場合、vは、最近の共通の祖先を   表すノードX、X、VのUを満たすためにある祖先。深さとは、できるだけ大X」

　 LCAとは何ですか？

　    何人かの友人のために、プレゼンテーションのBaiduの百科事典のスタイルは非常に友好的ではない、と我々は画像が実際にLCAであるかを説明するためにここにいます。

　    これは木である（残留私の手を許します）

                                       

　     Uの場合：ジャンクション6、V：ノード11は、定義によって、私たちは簡単に自分の先祖（親）V、Uを見つけることができます。（深いから浅いため）

　 　　 　　U（ノード6）：ノード3（深さ3）、ノード2（深さ2）、ノード1（深さ1）。

　  　　　　V（点11）：ジャンクション9（4深さ）、ノード7（深さ3）、ノード2（深さ2）、ノード1（深さ1）。

　    LCAの定義に基づく「公共の共通の祖先」という言葉は、uが、Vはノード2、ノード1です。前記最深ノード2の深さは、U（ノード6）LCAのV（ノード11）です。

　    マップビューから、U / V接合部からの経路上の全ての点へのルート祖先U / V・ノードであり、ノードが2つのパスを交換する最初のLCAのuおよびvです。 。

　 任意の2点のLCAの間で取得する方法？

　    四大アルゴリズムがあります。

• 乗算

• Tarjan

• RMQ（ST +オイラー配列表）

• ツリーチェーン分割

　    以上、基本的な、シンプルで理解しTarjanは難しいが、容易に理解あまり一般的RMQ、木は、下のセクション（後に更新されないことを特徴と乗算法ハト絶対にありません）。

　    今日は、LCAを求めてRMQ（STテーブル+オイラーシーケンス）を研究しています。

　 RMQ（ST +オイラー配列表）要求LCA

　    事前知識：

• ST表（DP）

• DFS

• 主演する元チェーン

　　概要：このメソッドは、クエリ所定の2点間のオイラー所与ツリーRMQ間隔によって決定テーブルSTの配列によって構成される所定の二時LCAを取得します。

　　オイラーシーケンス

　　定義：オイラー木のシーケンスは、DFSのシーケンスの木です。二つの形態がある：1、及び各ノードのうち、シーケンスに追加されます。彼らは達すると2は、各ノードは、彼がシーケンスを追加しました。

　　木やその他の問題のための最初の加算オイラーシーケンスは、私たちは話していない場合。後者は、2つのLCAの問題を見つけるために使用されます。

　　あるいは、この木はある（私の手残基を許します）：

                                               

 　   これらの木は、ツリーオイラー配列を取得することができ、DFSました。

　　               

　　　　　　                    実際のツリーパスアクセスパス

　　欧拉序列：1-> 2-> 7-> 8> 7> 10-> 13-> 10-> 12-> 10-> 7> 9-> 11-> 9-> 7> 2 - > 3-> 6-> 3-> 5-> 3-> 4-> 3-> 2-> 1

　　（原因DFSが開始異なる方向に、オイラー全配列順序は逆であってもよいことに留意されたいです）

　　自然：我々はオイラーシーケンスで見つけることができますが、それは、バックトラック横断を初めて表示され、バックのuノードにuは別のポイントvにUに木からすべてのサブツリーノードツリーをトラバースする必要が初めてですU-> Vツリーパス。

　　これら二つの点についてLCAは、困難は木のパス上のV> U-あり、いくつかのLCAを見つけるために、そして木はLCA最も浅いパスノードでなければなりません。これはオイラーの配列中に導入することができるVにUを指すようにツリー、ポイント粒子、及び

　　U及びVは、第オイラーシーケンスの最初の発生に存在するオイラーの最も浅い点の位置との間に形成された位置LCA部分配列です。

　　(eg.对于上图树中结点6与结点11，其在欧拉序列中形成区间为11->9->7->2->3->6，深度分别为5->4->3->2->3->4，LCA即为最浅点结点2(深度2)。)

　　P.S.  实际实现时注意两节点第一次出现位置的大小，可能需要交换顺序。　

　　2.ST表

　　原理我们暂且不讲，不了解的同学可以先将它理解为一种快速查找给定区间最大/最小值(区间RMQ问题)的算法。

　　在求LCA的过程中，我们所需的ST表与普通ST表略微不同。因为我们在查找最小值时还需要查找此最小值对应的节点编号，以此直接求出LCA。

　　此问题的解决方法也比较简单，设定一个rec[ ]数组，使其在st表结构数组st[ ]更新时同步更新，查找时比较数组st[ ]得到某一结点深度最浅并返回此结点对应数组

　　rec[ ]中的节点编号。

　　至此，我们对此算法原理研究结束。

　　3.代码实现

　　上代码！

　　声明部分：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>//标准输入输出
 3 #include <cmath>//用于ST表中求解log
 4 using namespace std;
 5 int n,m,s,cnt,tot;// s:根节点，cnt:链式前向星，tot:总欧拉序列长度
 6 int head[1000005];//链式前向星不解释
 7 int depth[1000005];//记录当前结点深度
 8 int num[1000005];//记录节点第一次出现位置
 9 int rec[2000005][20];//查询数组
10 int st[2000005][20];//ST表结构数组
11 int euler[1000005];//欧拉序列数组
12 //int dp[1000005];求节点深度数组 
13 //int wd[1000005];求某一深度树的宽度数组

 

　　链式前向星存边：

 1 struct edge
 2 {
 3     int nxt;
 4     int to;
 5     //int dis;边权值//在本示例中默认边权为1
 6 }e[4000005];//建议开4倍数组
 7 void add(int x,int y/*,int d*/)
 8 {
 9     e[++cnt].nxt=head[x];
10     //e[cnt].dis=d;
11     e[cnt].to=y;
12     head[x]=cnt;
13 }    

　　DFS：

 1 void dfs(int x,int dep)//x为当前节点，dep为当前节点深度
 2 {
 3 
 4     num[x]=++tot;//记录x节点第一次出现位置
 5     depth[tot]=dep;//对应深度
 6     euler[tot]=x;//记录序列
 7     //dp[x]=max(dp[x],depth[tot]); //求某一结点深度
 8     //cout<<"#访问节点:"<<x<<"   depth数组:"<<depth[tot]<<endl;
 9     for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)//遍历边
10     {
11         int p=e[i].to;
12         if(num[p]==0)//p节点如未出现
13         {
14             dfs(p,dep+1);//遍历
15             euler[++tot]=x;//回溯后记录序列
16             depth[tot]=dep;//记录对应深度
17         }
18     }
19     return ;
20 }

　　ST表求RMQ：

 1 void RMQ(int N)//N:欧拉序列长度
 2 {
 3     for(int j=1;j<=(int)(log((double)N)/log(2.0));j++)
 4     {
 5         for(int i=1;i<=N;i++)
 6         {
 7             if(i+(1<<j)-1<=N)
 8             if(st[i][j-1]<st[i+(1<<(j-1))][j-1])//同步更新rec[ ]数组
 9                 st[i][j]=st[i][j-1],rec[i][j]=rec[i][j-1];
10             else 
11                 st[i][j]=st[i+(1<<(j-1))][j-1],rec[i][j]=rec[i+(1<<(j-1))][j-1];
12         }
13     }
14 }
15 
16 int search(int l,int r)
17 {
18     int k=(int)(log((double)(r-l+1))/log(2.0));
19     if(st[l][k]<st[r-(1<<k)+1][k])//比较后返回rec[ ]数组对应节点编号
20     return rec[l][k];
21     else
22     return rec[r-(1<<k)+1][k];
23 }

　　主函数：

 1 int main()
 2 {
 3     cin>>n>>m>>s;
 4     for(int i=1;i<=n-1;i++)//读边
 5     {
 6         int a,b;
 7         scanf("%d %d",&a,&b);
 8         add(a,b);//无向图正反存边
 9         add(b,a);
10     }
11     dfs(s,1);//开始遍历
12     for(int i=1;i<=tot;i++)//初始化
13     {
14         st[i][0]=depth[i],rec[i][0]=euler[i];
15     }
16     RMQ(tot);//构建ST表
17     /*//接下来是不必要部分//当初死在了这里
18     int dcnt=0,maxx=0;//dcnt：数的最大深度，maxx：数的最大宽度
19     for(int i=1;i<=n;i++)
20     {
21         wd[dp[i]]++;//统计所有深度为dp[i]的节点求出当前深度树宽度
22     }
23     for(int i=1;i<=n;i++)
24     {
25         if(wd[i]==0)
26         {
27             break;
28         }
29         dcnt++;//统计最大深度//笨方法
30     }
31     for(int i=1;i<=wcnt+1;i++)
32     {
33         maxx=max(maxx,wd[i]);//求最大宽度
34     }
35 36     */
37     for(int i=1;i<=m;i++)//查询部分
38     {
39         int l,r,fg=0;//l：节点u，r:节点v，fg：交换标志
40         scanf("%d %d",&l,&r);
41         if(num[l]>num[r])//交换
42         {
43             swap(num[l],num[r]);
44             fg=1;//交换后标记
45         }
46         printf("%d\n",search(num[l],num[r]));//查询并输出
47         if(fg==1)//交换回来！！！！！记得交换回来！！！！！//p.s.2019/7/29模拟赛爆0 r.i.p
48         swap(num[l],num[r]);
49     }
50     return 0;
51 }

　　结语

　　LCA问题较为常见，应至少掌握一种方法。

　　拓展：

　　此种思想也可用于求树(最大)宽度/深度，树上距离，三点LCA等问题。

　　相关题目

　　洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

　　洛谷 P3884  [JLOI2009]二叉树问题　　

　　洛谷 P4281 [AHOI2008]紧急集合 / 聚会（三点LCA）

　　//暂时只想到这么多·········

　　Q.E.D.(大雾)

　　p.s.

　　由于是萌新第一次撰写题解，在语言及思路等方面定会有不足之处，请大家多多包涵，也欢迎各位大佬指正。