CF 494E Sharti
質問の意味：\（N \ n倍\）ボード、白色のM個の長方形のグリッドの総数。二人は、オペレータが失うことができない操作を回し、白い四角が必要広場とKフリップ色の一辺の長さは、各トグルの右下隅を超えていない各操作を選択し、ゲームを必要としています。
解決策：
この問題は、明らかに二次元に定理コイン投げゲームを満たすが、一次元です。
\（sg_ {I、J} = \ \分{lowbit（I）、lowbit（J）、maxbit（K）\} \） 。
Xとしてlowbit（x）は、最下位ビットの2進数、maxbit（x）が最高レベルです。
この結論を証明する次。
その後、いくつかの補題を与えます。
定义
\（pre_x = \ bigoplus_ {i = 1} ^ {X} \テキスト{lowbit（I）} \）
\（F（L、R）= \ bigoplus_ {I = L} ^ {R} \テキスト{lowbit （私）}\）
補題1：\（\ FORALL K \ GEQ 1 \。） 、\（pre_ ^ {2} ^ 2 = \ {K-Kを1}）
証明：みんなの貢献を考えてみては証明するのは簡単です。
補助定理2：\（。\ FORALL K \ GEQ 1 \） 、一連のように（{| [0,2-K ^ 1] pre_xにおけるX \ \} S_K = \ \）\、証明することができる\（S_K = [0を、2 ^ K-1] \ ）
証明：誘導、K = 1が明確に確立され、K> 1、\ [S_K = \ {pre_x | [0,2 ^ {K-1 -1}]におけるX \ \} \ \\ bigcup \ {（ 2 ^ {K-1} + 2 ^ {K-2}）pre_x | X \ [0,2 ^ {K-1} -1] \} \\ = [0,2 ^ {K} -1]で\]
補助定理3：\（\ FORALL X \ Y NEQ、pre_x \ NEQ PRE_Y \）
証明：補助定理2。
最初の議論\（K = N \）場合、正方形長さの制限のない、すなわち反転。
私たちは、誘導の証拠を検討してください。
最初のため\（iが1当量\ \）または\（J \当量1 \）明らかにケースを、\（sg_ {I、J} = 1 \） 。
次にため\（I \当量X、J \の当量yを、（i、j）は\ NEQ（B）\） の条件が満たさ結論され、我々は表示する必要が\を（sg_ {A、B} = \ \分{lowbit（A）、lowbit（
B）\} \） を設定することを望むかもしれない\ \（lowbit（A）\のLeq lowbit（B））を、\（K = lowbit（A）\）
2 ^ kより少ない数には必ずしも持っていますSで、には明らかなように、\（I 2 ^ K、lowbit（AI）= lowbit（BI）= lowbit（I）\ <） 、
その後のための\（X <2 ^ K、pre_x \ S \での）。
単純に証拠\（S notin 2 ^ k個\
\） 私たちが探している\（2 ^ K \）は、少し弱い条件を置くことを望むかもしれ、私たちは価値を見つける必要がある\（[2 ^ k個、2 ^ {K + 1} - 1] \）することができます。
オーダー\（A-T = 2 ^ K \） 、\（K「= lowbit（T）\）
場合\（2 ^ k個の\ ） または\（B-2 ^ k個の\ ） である0は、それが見出されてはなりません。
\（lowbit（A）<lowbit （B）\） マトリックス\（（2 ^ K 、B）\） この位置に有している\（2 ^ {K「を} \）
\（lowbit（A ）= lowbit（B）\）マトリックス\（（2 ^ K 、B-2 ^ K）\） 、この位置では、持っている\（2 ^ {K「}を
\） 、することは明らかである（\ ^ k個の\ 2）の二乗値のみ辺の長さである\（2 ^ {K '}
\） の位置には、と呼ばれる\）、B「\（（A'） 、我々はこれを配置する必要がどんなに\（2 ^ {K '} \） 排除する
新たな問題が内にあり、次いで（A'、B '）の値を見つけるために右下の、\を（[2 ^ {K' }、2 ^ {K ' +1 -1}] \）平方。
（右範囲の余分な部分ので又はにおけるそれの特定の部分の上に、正方形なぜ\（[0,2 ^ {K「} - 1] \） ）、それが回答に影響を与えないであろう。
元の問題を見つけることは困難ではないが同じであるが、限られた数のをやった後、B 0に意志がなければならないので、\（S notin 2 ^ k個\ \） 、（\ \テキスト{MEX} \ {S \} = 2 ^ K \）
我々はこの解決\（K = N \）の問題を（K \ <N \） 、見かけ上、K意志だけ\（\分\ {lowbit（ A）、lowbit（B）\}> maxbit （K）\）\（sg_ {A、B} \） 衝撃、
提供\（T = 2 ^ {maxbit
（K）} \） を見つけることが困難な、側長k内で（a、b）はおよび値の右下隅のために右下隅（2T、2T）について同じです。
\（S = \ {F（
X、2T-1）| X \における[2T-K + 1,2t] \} \） と\（2 ^ K> X、 lowbit（X）= lowbit（2 ^ KX ）\）
ので\（S = \ {pre_x |
X \ [0、K-1] \} \） と\（pre_ {2} ^ {-1} 1 + K = {K} ^ 2 \）、補題から見た3 \（2 ^ S notin K \ \）
今、あなたはSGの機能を知っていることを、私たちは各lowbitを列挙するために、いくつかのlowbitはほとんどメンテナンスとして、走査線+ツリーラインを指示します。