問題バレーP2568 GCDへロス・ソリューション

\（更新\ \ \ 2018年11月18日\ ）変更\（LETEX \）、その他は変更されていません

中級I \（AFO \）、および赤名からブルー名の成功に落ちました

\（更新2019年7月22日\）プラス感情自分の学校の文化レッスンの多く

そこ私は数論を聞いたと言っている\（GCDは\）ので、私はこの質問を開いたが、この問題はそれほど単純ではないことがわかりました

だから私はこの問題に対する解決策を記述します~~（本当に多くのナンセンス）~~

タイトル

オイラー機能：事を紹介

定義：正の整数（\ \ N-）、より等しいかそれ以下\（\ N-）、及びと（\ N-）\正の整数の数（1を含む）が互いに素と呼ば（φ（N）\）\。（\（Φ（1）。1 = \））

数式が書かれている（φ（N）= \ \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ N1（GCD（I、N）= 1）\）

だから、答えは何ですか？

私たちは、それぞれの素数を検討\（のp \）すべての素数のための答えへの貢献、\（p個の\を）

\（GCD（X、Y） = 1 \）は、と等価である\（GCD（* pを、 b *表P）= P \）

そう\（GCD（X、Y） \）の\（P \）数が数である\（1 <= B <= \ FRAC {N} {P} \）と互いに素である（\ A、B \）になるかもしれない番号、\を（<= B \）

それぞれについて\（B \）している（φ（B）\）\番目の引数が作る\（、B \）プライム、および\（GCD（* pを、 b *のpを）= P \）

したがって、この質問に対する答えは\（\ displaystyle \ sum_ {I = 1} ^ nはφ（I）\）

一部で開始します\（φ（n）は\）文字：

乗法機能（と共通）

$ε（N）= [N == 1] D（N）= \ displaystyle \ sum_ {D | n}は1つのσ（N）= \ displaystyle \ sum_ {D | N}のD $

$μ（N）= [MAX（C_1、C_2、... c_m）<= 1] *（ - 1）^ m個の$

もちろん、そこに\（φ（n）は\）私自身は、

関数の製品の特性：もし\（GCD（A、B） == 1 \）次に\（F（\倍B F）= F（A）\回（B）\）

\（φ（N）\）他の特性

1.場合\（P \）が素数である（φ（P）= P \ -1 \）

2.もし\（P | N \）と\（P ^ 2 | N- \）、次いで\（φ（N）=のφ （N / P）\倍のp \）

3.場合\（P | N \）が、満足していない\（P ^ 2 | N-を\）、次いで（φ（N）=φの\ \倍（P-1）\（N / P））

4. \（\ displaystyle \ sum_ {D | N}φ（D）= N \）

だから今の問題はすぐに追求するように変換する方法です\（φ（n）を\）

オイラーふるいは、関連することができるとしてもよい（O（N）\）\すべての時間内に決定素数。

用した場合\（Iは\）それは全て既知である場合、\（1-iは\）\（Φ\）、列挙\（<= iは\）素数\（P [J] \）、決定することができます\（φ（X \回P [J]）\）

1.もし\（P [J] \）と\（X \）プライム\（φ（X * P [ J]）=φ（X）*φ（P [J]）\）

2.そうでない場合には、プライム、提供\（X = Tの*はP [ J] ^ k個の\）

\（Z（X * Pの[J]） = Z（T * pを[J] ^ {K + 1}）= Z（T）* F（P [J] ^ {K + 1}）\）\（ = F（T）* F（P [J] ^ K） * P [j]が= F（X）* P [j]を \）

そのため、前処理\（φ（I）\）コード：

    for (int i=2;i<=n;++i){
        if (is_prime[i]) phi[i]=i-1,prime[++prime_num]=i;
        for (int j=1;j<=prime_num&&prime[j]*i<=n;++j){
            is_prime[prime[j]*i]=0;
            if (__gcd(prime[j],i)==1) phi[prime[j]*i]=phi[prime[j]]*phi[i];
                else phi[prime[j]*i]=prime[j]*phi[i];
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }

プレフィックスとはそれに何かをします

最後に、警告の言葉は、\（10 \）で\（OI \）仕事を得る、開けないでください（\長い\ロング）\を祖先を参照してください。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=10000005;
bool is_prime[N];
int n,prime_num,prime[N],phi[N];
long long sum[N];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    memset(is_prime,1,sizeof(is_prime));
    is_prime[1]=0;phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;++i){
        if (is_prime[i]) phi[i]=i-1,prime[++prime_num]=i;
        for (int j=1;j<=prime_num&&prime[j]*i<=n;++j){
            is_prime[prime[j]*i]=0;
            if (__gcd(prime[j],i)==1) phi[prime[j]*i]=phi[prime[j]]*phi[i];
                else phi[prime[j]*i]=prime[j]*phi[i];
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
    long long ans=0;
    for (int i=1;i<=prime_num&&prime[i]<=n;++i) 
        ans+=(sum[n/prime[i]]<<1)-1;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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