剛体の運動状態の説明

空間内の剛体

空間内の剛体の状態を記述するには、通常、世界の直交座標系の 3 つの軸 X、Y、Zにそれぞれ対応する 6 つのパラメータ、3 つの並進パラメータ、および 3 つの回転パラメータが必要です。

剛体の状態の統合表現：剛体上に座標系剛体（体枠）を構築し、その座標系の原点を剛体の質量中心に構築する。ここで注意しなければならないのは、この座標系の座標軸は世界の直交座標系の座標軸と必ずしも平行ではないということです。

剛体が平行移動する場合は剛体システムの原点位置によって決まり、剛体が回転する場合はワールド座標軸と比較した剛体システムの姿勢によって決まります。

もちろん、そのような式は特定の瞬間における剛体の状態しか表現できず、剛体の運動軌跡全体の各瞬間におけるこれらすべての状態パラメータを記録します。

各瞬間の並進パラメータの時間微分を利用することで変位を速度や加速度などの運動状態に変換したり、各瞬間の回転パラメータの時間微分を利用して姿勢を次のような運動状態に変換したりできます。角速度と角加速度。

ベクトルで空間関係を表現する 2 つの方法

空間上の位置を表現する
2. 上式は、世界座標系におけるある剛体系の原点の位置を表します。
空間内の方向を表現する
2. 上図は剛体系の各軸\(X_B, Y_B, Z_B\)を表しています。世界座標系のベクトルでも表すことができます。方向を表すだけです。方向を表す場合は、法を使った単位ベクトルで表します。 1が一般的に使われます。

直接余弦

方向余弦は、解析幾何学におけるベクトルの 3 方向余弦を指します。これは、ベクトルと空間直交座標系の 3 軸方向の余弦です。

方向余弦行列:正規直交基底の単位ベクトルの 2 つの異なるセット間の方向余弦によって形成される行列。これは、正規直交基底のセットと正規直交基底の別のセットの間の関係を表現するために使用できます。別の正規直交基底のセットに関してベクトルの方向余弦を表現することも可能です。

定量的表現

変換: ベクトルを使用して、世界座標系を基準とした剛体システム {B} の原点の状態を記述します。

説明しましょ

{B} の原点をワールド座標系に投影し、X、Y、Z 軸の値はそれぞれ 10、3、3 になります。

回転: 世界座標系に対する剛体システム {B} の姿勢を記述します - 回転行列

上図において、剛体系｛B｝の各軸が指す方向は次の式で表すことができます。

上式はワールド座標系{A}で表される{B}を表す行列であり、行列の各列は3次元の列ベクトルであり、{A}における{B}の各軸の方向を表します行列全体は 3*3 パターンであり、回転行列です。

R の 3 つの列ベクトルは、世界座標系 {A} の剛体系 {B} の基底であり、直交基底のセットです。(基底の概念については、線形代数配列における空間の基底、線形代数配列における直交基底と標準正規直交基底(2)を参照してください。) 方向余弦を使用して剛体の姿勢を記述することができます。

ワールド座標系 {A} の 3 つの座標軸の単位ベクトルを\(A_1,A_2,A_3\)、剛体系 {B} の 3 つの座標軸の単位ベクトルを\(B_1 ,B_2,B_3\ )。剛体系 {B} と世界座標系 {A} の座標軸間の方向余弦を次のように定義します。

\(a_{ij}=cosθ_{ij}=A_i⋅B_j\)

\(A_i,B_j\) はすべて法 1 の単位ベクトルであるため、上記の式が成り立ちます。2 つの座標系の任意の軸の合計配置として表現できます。したがって

次のように表現できます

次の例で説明してみましょう

上図では、青色の座標系がワールド座標系 {A}、赤色の座標系が剛体座標系 {B} であるため、 {A} に対する {B} の姿勢が必要になります。

まず、{B} の X'' 軸は {A} の Z 軸の反対側にあるため、

これは、{A} の方向の {B} の X'' 軸を表します。

{B} の Y'' 軸は {A} の Y 軸と同じ方向であるため、

{B} の Z'' 軸は {A} の X 軸と同じ方向であるため、

したがって、{A} に対する {B} の姿勢は次のようになります。

{A} 自体の値は\((1,1,1)^T\)であるためです。

より一般的な状況を見てみましょう。

上の図では、ワールド座標系 {A} の Z 軸は剛体系 {B} の Z' 軸と一致します。それでは、XY 平面を上から見た図を見てみましょう。

剛体系 {B} の\(X_B\)と\(Y_B\)をそれぞれ {A} の X 軸と Y 軸に投影します。次に、得られる相対値は次のようになります。

Z 軸が一致するので、次のようになります。

このとき、{A} に対する {B} の最終的な姿勢は次のようになります。

回転行列

この式の意味は以前から知っていましたが、点積については剛体系のX軸を世界座標系のX軸に投影したものと理解でき、他も同様です。

ベクトルの内積は交換法則を満たすため、上記の式は次のように書くことができます。

この行列の行ベクトルから、剛体系の各座標軸への世界座標系の軸の投影として見ることができます。たとえば、ワールド座標系の X 軸を剛体系の X 軸に投影したものと考えることができ、他はすべて同じです。私たちが通常話しているベクトルは列ベクトルを指すため、ここでは剛体系 {B} を使用した世界座標系 {A} の X 軸の転置を指します。

上の式は次のように書くこともできます。

したがって、2 つの座標系は相互に表していることがわかりますが、唯一の違いは転置です。

回転行列の転置とそれ自体を乗算すると単位行列\(I_3\)が得られ、これは相互に可逆であることを示します。(この部分の内容については、線形代数の逆行列と線形代数の標準直交行列 (2) を参照してください。) これは、異なる座標系を変換するときに非常に便利です。変換するだけで済みます。逆行列を見つける必要がなくなります。

回転行列の 3 つの使用法

ある座標系の、別の座標系に対する相対的な姿勢を記述します。
点を、その座標系に対する相対回転のみで、ある座標系の表現から別の座標系の表現に変換します。
2. 上式を表現すると、点 P の B 座標系での位置ベクトルは、左辺の回転行列を乗じて A 座標系での位置ベクトルを求めることができます。
同じ座標系で点を回転します。
3. 上式は、点 P left の位置ベクトルに回転行列 R(θ) を乗じて、回転させたもう一方の位置の位置ベクトルを求めるもので、同じ座標系で表されます。

回転行列と角度

空間の回転には 3 つのパラメータがあり、これら 3 つのパラメータに対応するには、回転行列で表される姿勢を 3 つの回転角度に分解する必要があります。

3 つのスピンに分割する際の注意点:

回転は移動とは異なります。パーティクルは最初に X 方向に移動してから Y 方向に移動するか、最初に Y 方向に移動してから X 方向に移動するため、移動の順序は無視できます。効果は同じです。このプロパティは次のとおりです。いわゆる通勤可能。ただし、複数の回転の順序を明確にする必要があります。そうしないと、回転後の姿勢が異なります。
回転軸も明確に定義する必要があります。それは「固定」軸の回転ですか、それとも「回転座標系」の回転ですか?

2 つの分解方法:

「固定」方向で軸を回転することを固定角度と呼びます。
常に回転する剛体系 (剛体系自体の座標軸は随時変化します) の回転軸の方向の回転をオイラー角といいます。

回転行列の 3 番目の使用により、オブジェクトの回転状態をさらに記述することができます。回転行列に基づいて説明します。

1. Z軸を中心に回転します

上図の青色の空間直交座標系が初期状態で、Z軸を中心に反時計回りに角度θだけ回転し、最終状態の赤色の空間直交座標系が得られます。Z軸は初期状態と一致します。州。このときの回転行列は、

これを簡略化すると、

2. X軸を中心に回転します

回転行列は次のとおりです。

3. Y軸を中心に回転します

回転行列は次のとおりです。

例:軸\(30^∘\)を回転させ、を見つけます。

まず回転行列を取得します

最後にお願いします

固定角度

主に連続回転用です

上図で空間直交座標系 {A} (青い点線) が定義されると、その軸の方向は変化しなくなるため、固定角度と呼ばれます。

そして、剛体座標系 {B} (赤い線の部分) は、最初は {A} と一致し、次に X 軸に沿って反時計回りに角度 γ だけ回転し、次に Y 軸に沿って反時計回りに角度 β だけ回転し、さらに回転します。軸に沿って反時計回りに、軸は角度 α だけ反時計回りに回転します。最終的に取得した回転行列は次のように記録されます。