ハミングコードのメモ

誤り訂正符号 - ハミング符号

ハミング コード:ダブルビット エラーを検出し、シングルビット エラーを修正できます。

作業過程

1. チェックコード桁数を確認 r
2. チェックサムとデータの場所を特定する
3. チェックコードの値を調べる
4. エラーを検出して修正する

01 チェックコード桁数を確認 r

$$\begin{gathered} \text{ハミングの不等式:}{2}^r\ge k+r+1 \\ kは情報ビット、rは冗長情報ビット \end{gathered}$$

原則:

合計 r ビットの冗長情報ビットがあります$2^r$通りの組み合わせのうち、識別情報が正しい 1 を除いて、$2^r-$識別するための$1\; つ$$2^r-1$位置エラー。この場合、識別エラーの組み合わせの数 >= 送信ビットの総数が存在するはずです。つまり、$2^r-1\ge k+r$

02 チェックコードとデータの位置を決定する

データ$D=101101$

ハミングの不等式によれば、$r=4$

チェックデジットを左から右に$P_{}、P_{}、P_{}、P_{}$、データは左から右に$D_{}、D_{}、D_{}、D_{}、D_{}、D_{}$

チェック ディジットは 2 の累乗数個に配置され、データ ビットは空のビットに左から右に埋められます。

位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
コード	$P_{}$	$P_{}$	$D_{}$	$P_{}$	$D_{}$	$D_{}$	$D_{}$	$P_{}$	$D_{}$	$D_{}$
実価			1		0	1	1		0	1

03 チェックコードの値を調べる

各チェック ディジットは 2 の累乗位置に埋められるため、その「位置の 2 進表現」には 1 が 1 つだけあり、右から r 番目の位置に設定されます。このチェックディジットは、「位置バイナリ表現」の右からr番目のビットが1であるデータを検証します。

例: $P_{}$位置バイナリ表現の右から1桁目が1の場合、「位置バイナリ表現」の右から1桁目が1であるデータ、つまり3番目、5番目、7番目、9番目...をすべて検証します。 . 3、5、7、9 $3、5、7、9\_\_\_\_\_\_...$ビット、$P_{}$3 番目、6 番目、7 番目、10 番目を確認してください... 3、6、7、10 \ldots$3、6、7、10...$ビット、$P_{}$5 番目、6 番目、7 番目を確認してください... 5、6、7 \ldots$5、6、7\_\_\_\_...$ビット、$P_{}$9 番目、10 番目...9 番目、10 番目の \ldotsを確認してください$9、10\_\_\_\dots$ちょっと。

パリティ ビットは、すべてのパリティ位置のデータをそれ自体と XOR して 0 にする必要があります (偶数パリティとして理解できます)。
$$\begin{array}{rlrlr}& P_{}\oplus D_{}\oplus D_{}\oplus D_{}\oplus D5\_=0& ⟹& P_{}\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 0=0& ⟹P_{}=0\\ & P_{}\oplus D_{}\oplus D_{}\oplus D_{}\oplus D6\_\_=0& ⟹& P_{}\oplus 1\oplus 1\oplus 1\oplus 1=0& ⟹P_{}=0\\ & P_{}\oplus D_{}\oplus D_{}\oplus D_{}=0& ⟹& P_{}\oplus 0\oplus 1\oplus 1=0& ⟹P_{}=0\\ & P_{}\oplus D_{}\oplus D_{}=& ⟹& P_{}\oplus 0\oplus 1=& ⟹P_{}=\end{array}$$

結果のチェック デジット値を入力します

位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
バイナリ表現	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010
コード	$P_{}$	$P_{}$	$D_{}$	$P_{}$	$D_{}$	$D_{}$	$D_{}$	$P_{}$	$D_{}$	$D_{}$
実価	0	0	1	0	0	1	1	1	0	1

つまり、送信データは 0010 0111 01

04 エラーの検出と修正

送信時の5ビット目が$D_{}$エラーが発生しました。受信した結果は 0010 1 111 01でした

チェック値方式による XOR 演算を行う
$$\begin{array}{rlrlrl}& P_{}\oplus D_{}\oplus D_{}\oplus D_{}\oplus D5\_& =& 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1\oplus 0& =1& \\ & P_{}\oplus D_{}\oplus D_{}\oplus D_{}\oplus D6\_\_& =& 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1\oplus 1& =0& \\ & P_{}\oplus D_{}\oplus D_{}\oplus D_{}& =& 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1& =1& \\ & P_{}\oplus D_{}\oplus D_{}& & 1\oplus 0\oplus & =& \end{array}$$
下から上にソートした結果は 0101 で、これは 10 進数の 5 に相当します。つまり、5 番目のビットが間違っているので、それを 1 から 0 に変更するだけです。

注: シングル ビット エラーとダブル ビット エラーの両方を検出できますが、訂正できるのはシングル ビット エラーのみです。2 ビット エラーが発生した場合、ハミング コードのチェック結果はエラーのみを示します。つまり、チェック結果がすべて 0 になるわけではありませんが、対応する位置が必ずしも間違っているとは限りません。この場合、ハミング コードのデフォルトは単一です。 -bit エラーが発生し、修正されます。エラー修正とエラーの問題が発生します。

原理：あるチェックビットエラー検出のXOR出力が1の場合、エラービットの「位置バイナリ表現」の位置が1でなければならないことを意味します。XOR出力が0の場合、「位置バイナリ表現」の位置が1であることを意味します。エラービットの「バイナリ表現」は 1 でなければなりません。位置は 0 です。そして、下から上にソートされたチェック結果は、エラー ビットの「位置バイナリ表現」を正確に表します。

私の個人的な理解ですので、間違いや理解が深まりましたら、修正していただければ幸いです。

上記は個人的な学習ノート、学習ビデオリンクB ステーション - 王島大学院入試 - コンピュータ ネットワーク