英文：Colored Traveling Salesman Problem
まとめ：
複数巡回セールスマン問題は、重要な組み合わせ最適化問題です。これは、複数の巡回セールスマン (営業マン) が共通の作業スペース (シティ セット) を共有する実際のケースで広く使用され、成功しています。ただし、複数の巡回セールスマンが独自の専用タスクを持っているだけでなく、一連のタスクを互いに共有している場合の一部のアプリケーションの問題を表すことはできません。この研究では、カラー巡回セールスマン問題 (CTSP) と呼ばれる、そのような状況に対処するための新しい MTSP を提案しています。2 種類の都市グループが定義されています。営業担当者がアクセスできる各固有の色の専用都市のセットと、すべての営業担当者がアクセスできる複数の色の共有都市セットです。CTSP が NP 困難であるという証拠があり、マルチポイント MTSP および複数の単一巡回セールスマン問題は特殊なケースです。我々は、CTSP用の2染色体符号化遺伝的アルゴリズムを提案し、対応する解空間を分析します。次に、貪欲な山登り (HC) 操作とシミュレーテッド アニーリング (SA) 操作を組み合わせることによって遺伝的アルゴリズムが改善され、より優れたパフォーマンスが得られます。実験を通じて、厳密解法の限界を明らかにし、提案された遺伝的アルゴリズムの性能を比較します。結果は、SAGA が最高の解品質を達成できる一方、解の品質と計算時間の間の適切なトレードオフを考慮して HCGA を選択する必要があることを示しています。
導入
多重 TSP 問題は、巡回セールスマン問題 (TSP) から一般化されたもので、よく知られた組み合わせ最適化問題です [1]。これは、複数の営業担当者が特定のグループ内で各都市を 1 回訪問し、最終的に故郷に戻るという合計コストが最も低くなるシーケンスを決定することを目的としています。MTSP と TSP は、スケジューリング、計画、ルーティング、シーケンスの問題を解決する必要があるさまざまなアプリケーションに使用されます。機械のスケジューリングと順序付けおよび車両の経路指定への TSP の応用は、[15] で報告されています。これらは、回路配線 [17] や、[32] の遺伝子ランキングや [19] のタンパク質クラスタリングなど、オブジェクトのランキングやクラスタリングを含む統計データ分析の分野でも使用されます。多目的最適化アルゴリズムの最近の進歩により、たとえば、分解とアリのコロニーを使用した多目的進化アルゴリズム [20]、分解ベースのミーム アルゴリズム [21]、雪の吹きだまりゲームの最適化 [46]、フィサルムの最適化 [26]、それは、多目的TSP、多目的多集団共進化[48]と呼ばれる技術、ガウス分類子ベースの進化戦略[50]、粒子群最適化[51]-[56]、およびフラグメントの適用を大幅に促進することができます。進化的アルゴリズムを改善するためのベースの検索[25]。論文 [4] には、MTSP のアプリケーションについての優れた概要が記載されています。たとえば、Gorenstein [14] は複数版のジャーナルの印刷スケジュールについて報告しました。Carter と Ragsdale [5] は、プレプリントのインタースティシャル広告のスケジューリングへの応用を強調しました。乗組員のスケジューリング [22]、[40]、[49]、面接のスケジューリング [13]、労働力のバランシング [28]、および熱間圧延のスケジューリング [41] への応用が報告されています。自律ロボットまたは車両の動作計画 [3]、[33]、[47] は、MTSP の重要な応用分野を表します。Sariel Talay et al. [35] と Toth と Vigo [42] は、車両ルートの問題を研究しました。Cheong と White [7] は、リアルタイムの交通渋滞データに基づいて TSP 旅行を動的に決定する方法を研究しました。MTSP は最近、[9] で UAV が必要とするエリアへのアクセス順序を計画するために利用されています。その結果、混雑した都市環境で現実的なサイズのピックアップを行う場合に予想される総移動コストが大幅に削減されることがわかりました。
基本的に、MTSP は、複数の経営幹部 (巡回セールスマン) が関与し、共通のワークスペース (都市セット) を共有する実際の問題を抽象化したものです。言い換えれば、すべての営業担当者は MTSP のすべての都市にアクセスできます。ただし、アプリケーションの問題によっては、すべての実行者が同じワークスペースを持っているわけではありません。図 1 に示す典型的なマルチマシン エンジニアリング システム (MES) のスケジューリングを例に挙げます。個々のマシンのワークスペースは同一ではなく、部分的に互いに重なり合っています。したがって、各マシンは専用のワークスペースで独立して操作を実行するだけでなく、重複するワークスペースで他のマシンと一緒にすべてのタスクを実行する必要があります。
ワークスペースが部分的に重複しているため、MTSP を使用して製造実行システムのスケジュールの問題をモデル化することはできません。ただし、このような問題の基本要素、つまり目標、個々のマシン、およびタスクは、依然として MTSP の目標、営業担当者、および都市にそれぞれ対応付けることができます。残念ながら、MES のさまざまなタスク グループ用の専用ワークスペースと共有ワークスペースに相当するものは、MTSP には見つかりません。これらのスケジューリング問題を抽象化することにより、Colored TSP (CTSP) と呼ばれる、異なる色の都市セットを含む新しい MTSP を提案します。これは、マルチマシン システムにおけるスケジュールの問題に起因する一般的な問題ですが、これに限定されません。したがって、理論的にも実践的にもかなりの研究が必要です。
TSP や MTSP と同様、CTSP は NP ハードです。さらに、アクセスが制限されているため、MTSP と比較してソリューションがより困難になり、時間がかかります。適切なサイズの MTSP インスタンスの多くは、切断面法、分岐切断法、よく知られている分岐限定手順などの正確な方法を使用して解決できます。Gavish と Srikanth [11] は、大規模な対称 MTSP インスタンスを解決するための分枝限定アルゴリズムを提案しました。結果は、非ユークリッド問題とユークリッド問題のサイズがそれぞれ最大 500 都市と 10 人のセールスマン、および 100 都市と 10 人のセールスマンになる可能性があることを示しています。
ヒューリスティック手法は、おそらくソリューションの最適性を犠牲にして、厳密な手法よりも高速かつ効率的に大規模な MTSP を解決することが示されています。したがって、満足のいく解決策で十分な状況を解決するのに適しています。MTSP を解決するために、TSP 法を拡張したいくつかの人工ニューラル ネットワーク法も [18]、[31]、[38]、および [43] で提案されています。
遺伝的アルゴリズム (GA) [45] は別の方向を表します。Zhang et al. [49] と Tang et al. [41] は、遺伝的アルゴリズムを使用して、ホット ローリング スケジューリングによって引き起こされる MTSP を解決しました。それは単一の TSP に変換され、修正された遺伝的アルゴリズムで解決されます。Carter と Ragsdale [6] は、MTSP 用の新しい 2 部構成の染色体と相関演算子を提案しました。計算テストによると、彼らの方法では、染色体が 1 つまたは 2 つしかない方法よりも小さい探索空間が生成され、多くの場合、より優れた解が生成されることが示されています。
Ghafurian と Javadian [12]、Ryan et al. [33]、Song et al. [39] は、MTSP を解決するためにアリのコロニー、タブー検索、およびシミュレーテッド アニーリング (SA) アルゴリズムを開発しました。Shim et al. [36] は、多目的 MSTP を解決するための分解を伴う分散混合推定アルゴリズムを提案しました。Sodge et al. [37] は、近隣アトラクター スキーム、「シュリンク ラップ」アルゴリズム、粒子群最適化、モンテカルロ アルゴリズム、遺伝的アルゴリズム、進化的戦略など、MTSP を解くためのさまざまな進化的コンピューティング アルゴリズムを比較しました。
Li et al. [23] は CTSP MTSP* と呼ばれ、GA ソリューションを提案しました。ただし、CTSP は数学的に厳密な方法で定式化されていません。この論文の主な貢献は次のとおりです: 1) CTSP の正式な定義を示し、解空間サイズを比較することで CTSP、MTSP、および MTSP と TSP の組み合わせの違いを明らかにする; 2) CTSP を効果的に解くための 3 つの GA を開発する; 3) ) 3 つの GA のパフォーマンスと LINGO による正確なソリューションを実験的に比較します。比較結果は広範囲にわたるため、エンジニアが特定の CTSP アプリケーションに適切なアルゴリズムを選択するのに役立ちます。
次に、セクション 2 では CTSP を定義および定式化します。セクション 3 では GA をレビューし、3 つの改善された GA を提案します。セクション 4 では、提案されたアルゴリズムの実験と性能比較を行います。この論文はセクション V で終了します。
2. CTSPの定義
A.CTSPの定義
CTSP に m 人のセールスマンと n つの都市があるとします。ここで、m<n および n、m∈Z={1, 2, 3,…}。これは、完全な有向グラフ G = (Ş, E) で定式化できます。ここで、頂点セット Ş = {0, 1, 2…, n−1} は都市の番号を表し、(i, j) ∈ E はエッジです。それぞれは、2 つの都市 i と j の間のアクセスコスト (距離など) を表す重み ω ij に関連付けられています。Ş は、m+1 の素な空でない集合、つまり共有都市集合 U と相互に排他的な都市集合 Vi、 ∀i∈ Zm={1,2,…,m}に分割されます。頂点 di∈U V i は、営業担当者が分割して返品する倉庫を表します。色 i を販売員 i に割り当てます。∀a∈Vi、その色は i で、販売員 i のみがアクセスできます。∀a∈U、そのカラーセットは (a)⊆Z m、ここで |(a)|>1、i∈(a) の場合、販売員 i は a にアクセスできます。CTSP の目標は、最小の総移動コストで G 上の m 個のハミルトニアン サイクルを決定することです。ここで、相互に排他的な各セットのすべての頂点は、指定された営業担当者によって 1 回訪問される必要があり、共有セットのノードはすべて、営業担当者によって 1 回訪問される必要があります。
ＣＴＳＰでは、共有都市集合Ｕの構成は様々であり得る。最も一般的なのは、U が m 人の販売員全員によって共有されることです。つまり、 ∀a∈U、color(a)=Zm です。例を図 2 に示します。V1 ～ V3 領域の頂点は、それぞれ営業担当者 1 ～ 3 の専有都市を表します。U はすべての営業担当者が共有する唯一の都市です。営業担当者 i は Vi Uにアクセスできます。
di=0∈U, ∀i∈Zm および ∀a∈U, c(a)=Zm のとき、CTSP の整数計画モデルは次のようになります。k 番目のセールスマンがエッジ (i, j) を通過した場合、バイナリ変数= 1、i
j、i、j∈Ş、および k∈Zm、それ以外の場合
= 0。
k 番目の営業担当者が倉庫からノード i に移動する間に訪問したノードの数です。問題の目的関数は次のとおりです。
次の制限があります。 まず、各販売員は都市 0 (倉庫) から開始して戻ります。つまり、次のとおりです。
同様に：
営業マンｋは自分の専用シティを起点として他の営業マンの専用シティを訪問することはできず、営業マンｋ以外の営業マンも後者の専用シティにアクセスすることは禁止される。
営業マン l ( l k ) は、営業マン k の専用都市から出発することも、k の専用都市に戻ることもできません。
都市 0 を除き、営業担当者は各都市を 1 回だけ訪問する必要があります。
営業担当者が共有都市を訪問する場合があり、その場合は 1 組の出入りが必要になります。
Ş\{0} のノード間に接続されていないサブルートの形成は、(10) と組み合わせた次の式によって禁止されます。
定理 1: CTSP は NP 困難です。
証拠: その定義によれば、CTSP は、都市を複数の専用都市セットと共有都市セットに分割し、(4) ～ (7) によって追加の達成可能な制限を設定することによって MTSP から修正されています。各 V i、i∈Z m に都市が 1 つだけ含まれているものとし、U から都市 0 を削除します。このモデルは多段MTSPのモデルとなります。一方、U={0} の場合、モデルは同じウェアハウス 0 を持つ複数の単一 TSP に対して 1 つのモデルになります。TSP と MTSP は NP 困難であることが証明されています [5]、[6]。U または V i が復元されるとき、モデルの時間計算量はその操作によって変化しません。したがって、CTSP は NP 困難です。
証拠を見ると、次のような結果が得られます。
系 1: マルチポイント MTSP および複数の単一 TSP は、CTSP の特殊なケースです。
TSP と MTSP (複数の個別の TSP で構成される) の組み合わせ、各 TSP が排他的な都市セットに含まれ、MTSP が共通の都市セットにある (同じ複数の営業担当者がいる場合) を考えてみましょう。CTSP をそのような組み合わせに変換して解決できますか? 答えはいいえだ。前者では、複数の営業担当者がすべての専用都市を訪問した後、すべての共有都市を訪問するか、またはその逆を行う必要があります。CTSP では、営業担当者が専用都市や共有都市など、さまざまな都市を任意の順序で訪問します。したがって、追加の都市アクセス制限 (到達可能性) により、CTSP の解決空間サイズは、同じ問題サイズに対するこの組み合わせおよび MSTP とは異なります。
クラスタリング TSP [8]、[10]、[27] および一般化 TSP [16] は、TSP の 2 つの変形です。どちらも TSP と同じグラフ G 上で定義されます。前者は、クラスターの頂点が連続している G 上の最小コスト ハミルトニアン サイクルを決定することを目的としています。一方、後者は、各クラスターに頂点が 1 つだけ存在する最小コスト サイクルを見つけることを目的としています。著者の知る限り、これらを複数の営業担当者に一般化した研究はありません。CTSP がそれらとは異なるのは、複数の営業担当者と、異なる共有および排他的な都市クラスターが存在するためです。
3. CTSP の一般提供
A. 2 つの染色体表現と解空間解析
CTSP は組み合わせが複雑であるため、かなりの問題を解決するにはヒューリスティックを使用する必要があります。GA は、多くの研究者が TSP と MTSP に適用したヒューリスティック手法を表します[5]、[6]、[30]。Li ら [23] は、CTSP を解決するための基本的な遺伝的アルゴリズムを開発しました。[6] で使用されている既存の単一染色体および 2 つの部分からなる染色体コード化スキームは、都市アクセス要件のため CTSP には適していません。セクション 2 でモデル化した CTSP の解を、個々の長さが n−1 である 10 進数でコード化された二重染色体 (都市染色体とセールスマン染色体) として表します。すべての営業担当者の倉庫 0 は染色体にはエンコードされていませんが、(2) と (3) を満たすために最終ソリューションに追加されます。最初の染色体は n−1 個の都市の配列を持ち、2 番目の染色体は最初の染色体の対応する位置にある各共有および専用都市に販売員を割り当てます。次の (4) ～ (7) および (10) は都市を表します。販売員のマッチング関係。(8) と (9) によれば、どの世代においても、都市は一人の人間に一度しか現れない。ソリューション エンコーディングは、(10) および (11) と同様にサブツアーの形成を防ぎます。
図 3 は、n=10 および m=3 の CTSP エンコードの例を示しています。都市の染色体の遺伝子 1 と 2 は営業マン 1 の専用都市、遺伝子 3 と 4 は営業マン 2 の専用都市、遺伝子 5 と 6 は営業マン 3 の専用都市です。満たさなければならない都市の販売員マッチング関係を表します。共有都市は遺伝子 7 ～ 10 であり、どの営業担当者にも割り当てることができます。営業担当者 1 は都市 2、8、7、1 (順番に) を訪問します。同様に、営業担当者 2 は都市 10、4、および 3 (この順序) を訪問し、営業担当者 3 は都市 9、5、および 6 (この順序) を訪問します。
m 人のセールスマンと n 個の都市を持つ CTSP があるとすると、セールスマン i の専用都市の数は ni で、共有都市の数は n0, ... です。
定理 2: 二色符号化を使用した CTSP の解空間サイズは です。
証明: n 個の都市を含む都市染色体については、それが専用都市であろうと共有都市であろうと、n 個あります。配置。都市の配置を考慮すると、都市と販売員のマッチング関係 (4) ～ (9) により、まず、専用の都市については、指定された販売員に 1 人だけが割り当てられます。第 2 に、n0 個の共有都市のそれぞれに、 mはすべての営業スタッフに割り当てられます。したがって、都市のあらゆる順列に対して、営業担当者には順列があります。CTSP に対する解決策の 1 つは、都市の染色体とセールスマンの染色体を組み合わせることです。したがって、CTSP の解空間、つまり二重染色体の順列と組み合わせのサイズは でなければなりません
。
定理 3: 同じサイズで二重染色体符号化を使用する CTSP の解空間サイズは、MTSP の解空間サイズよりも小さいですが、MTSP と TSP を組み合わせた解空間よりも大きくなります。
証明: [6] に示されているように、2 染色体エンコーディングを使用した MTSP のソリューション サイズは n! 米。CTSPん！ソリューションのスペースサイズ! mn 0 は n より小さいです! 米。TSP と MTSP の組み合わせは、専用の都市セットへの各営業担当者の訪問は複数の独立した TSP として扱われ、共有都市セットへのすべての営業担当者の訪問は 1 つの MTSP として扱われることを意味します。解決策は、両方の部分の結果を結合することです。TSP i の場合、都市配置は ni! 。m 個の TSP を総数として考えると、その配置は m になります。n0 個の共有都市を持つ MTSP 部分の場合、配置は n0 です。分0。したがって、TSP と MTSP の組み合わせの解空間サイズは、順列 (πm1(ni!) × m!) × (n0!mn0) となります。nよりも小さいです！分0。したがって、結論は成り立ちます。
このため、CTSP は、同じ問題サイズと都市アクセスの制約という観点から、解決空間のサイズが異なるため、MSTP および TSP と MTSP の組み合わせとは本質的に異なります。すべての営業担当者は MSTP 都市セット内の任意の都市にアクセスできますが、すべての営業担当者は自分の専用都市と CTSP の任意の注文の共有都市にアクセスできます。TSP と MTSP の組み合わせとは異なり、CTSP では、すべての専用都市を訪問した後にすべての共有都市を訪問する必要はなく、またその逆も必要ありません。
B. 基本的な一般提供
Li et al. [23] は、選択操作としてルーレット法とエリート戦略を組み合わせて使用しました。彼らは、3 組の交差演算子と突然変異演算子の構成を比較し、その結果、都市交差演算子と突然変異 (CCM) の組み合わせが最高のパフォーマンスを発揮することが示されました。都市クロスオーバー操作は、改良された部分一致クロスオーバー操作です。図 4 および 5 は、二重染色体と都市染色体間の単一交雑の交叉プロセスを示しています。
まず、同じ範囲を持つ 2 つのフラグメントが、特定の親の 2 つの都市個体からランダムに選択され、次に 2 つのフラグメントが交換され、2 つの新しい個体が生成されます。次に、都市部の 2 つの染色体セグメントの外側にある冗長な遺伝子を、冗長な遺伝子がなくなるまで、2 つのセグメント間の遺伝子交換関係に適合する遺伝子で置き換えます。最後に、各キャプティブ都市が正しい営業担当者に割り当てられていることを確認し、間違った割り当てがあれば修正します。都市交差点の例を図 4 に示します。ステップ 1 では、都市部の 2 つの染色体から灰色のクロスオーバー セグメントが選択され、同じ位置にある遺伝子が 1 つずつ交換されます。交換関係は8-3、9-8、5-2、4-7、7-1、1-10。ステップ 2 に示すように、交換により 2 人の新しい個人が生成されます。この交換関係の後、2 つのセグメントの外側の重複遺伝子は、重複遺伝子が見つからなくなるまで徐々に置き換えられます。たとえば、交換関係 8-3 によれば、左側の都市染色体の最後の 2 番目の位置にある繰り返し遺伝子 3 は 8 に置き換えられる必要があります。ただし、置換後も新しい遺伝子 8 はまだ複製されているため、交換関係 9-8 に従って遺伝子 9 に再度置換する必要があります。その結果、左側の染色体の排他的な都市 5、3、7、1、6 と右側の染色体の都市 2、5、4 が間違った販売員に割り当てられました。ステップ 4 では、それらの営業担当者を適切な営業担当者に再割り当てし、2 人の有力な候補者を生成します。
二重染色体の都市突然変異プロセスには 2 つのステップが含まれます、つまり、最初に交換する都市染色体内の遺伝子のペアを選択し、次に必要に応じて、都市セールスマンの一致関係に従ってセールスマン染色体内の 2 つの対応する遺伝子を修正します。図 5 では、遺伝子 8 と 7 が選択され、交換されました。これらは共有都市であり、どの営業担当者にも割り当てることができます。したがって、都市販売員のマッチング関係が満たされ、突然変異が終了します。
フィットネス関数は、CTSP 目標を達成する方法を反映するために使用されます。適合度の値が大きいほど良いですが、総コストは低いほど良いです。したがって、x を解くための総コスト f の逆数を適応度関数とします。
基本的な遺伝的アルゴリズムのプロセスには、選択、CCM、および適合度の計算が含まれます。Li ら [23] は、遺伝的アルゴリズムはゆっくりと進化し、簡単に局所最適に陥る可能性があると指摘しました。
C. 貪欲に初期化された GA (GAG)
各ステップで貪欲なアルゴリズムによって行われる決定は、全体的な最適値には到達しない可能性がありますが、局所的な最適値には到達します。ただし、最善の解決策を見つけるためにすべての可能性を使い果たすという多大な労力を費やす必要がなくなるため、満足のいく解決策を迅速に達成できます。これを使用して、遺伝的アルゴリズムの最初のステップでランダムに生成された初期集団内の個人を最適化します。高品質の初期集団により、遺伝的アルゴリズムの集団進化が加速され、満足のいく解決策に迅速に到達できます。この改良されたアルゴリズムを貪欲な初期化を伴う遺伝的アルゴリズム、つまり遺伝的アルゴリズム (GAG) と名付けます。
CTSP に関しては、都市へのアクセスには近隣の要件が適用されます。つまり、現在の都市の営業担当者は、次に近い都市を選択します。並べ替えを通じてソリューションを最適化できます。たとえば、図 6 に示すように、ランダムに生成された訪問シーケンスは 0→ 2.→ 5.→ 3.→ 1.→ 4.→ であり、距離の合計は 25+50+50+45+45+25 になります。 =240。貪欲アルゴリズムを使用して、0→ 3.→ 4.→ 5.→ 1.→ 2.→ 0 に最適化できます。太陽からの新しい距離は 22+25+27+35+25+25=159 で、元の距離よりも大幅に小さくなります。場合によっては、交通流 [44] など、エッジの重みが距離ではない場合があることに注意してください。その場合、適切な距離値に変換する必要があります。
GAGにおける初期集団の生成プロセスは以下のとおりです。
ステップ 1: 現在の初期集団の個体数が設定数 N に等しいかどうかを判断します。その場合は退出してください。
ステップ 2: 都市シーケンスをランダムに生成し、指定された営業担当者に専用の都市を割り当て、すべての営業担当者に共有都市をランダムに割り当てます。結果として得られるシーケンスは、個別 a と名付けられます。
ステップ 3: a の都市シーケンスを最短距離基準で並べ替えて、アクセス コストを最小限に抑え、個々の a' を取得します。
ステップ 4: a' が母集団内にすでに存在するかどうかを検出します。存在する場合はステップ 2 に戻り、そうでない場合は母集団に挿入してステップ 1 に戻ります。
D.登山GA（HCGA） Hill-Climbing GA
山登りアルゴリズムは、近傍探索技術を利用して山登りのように単一方向に探索し、解の品質を向上させます [24]。既存のノードから開始して、近傍点選択方法を使用して新しいソリューションを生成し、それを既存のノードの値と比較します。前者の方が大きい場合は後者を前者に置き換え、そうでない場合は後者を返し、最大値を設定します。最高点に到達するまで、登るプロセスを繰り返します。このアルゴリズムは強力なローカル検索機能を備えており、ローカル最適検索によく使用される方法です。
グローバル検索アルゴリズムとして、前述の GAG は個人の適合性を除き、検索のガイドとして個人情報を使用しません。収束性能には限界があります。山登りアルゴリズムには強力なローカル検索機能があり、その検索は個人の質に基づいて行われます。遺伝的アルゴリズムの局所探索能力を向上させるために、山登り操作を通じて各世代の最良の個体を選択することができます。具体的には、山登りを通じてより優れた個体が得られた場合、元の個体が置き換えられます。HCGA は貪欲なアルゴリズムを使用して初期個体群を最適化することにも注意してください。
近傍点の選択は山登りアルゴリズムに大きく影響し、この作業では 2 点交換が使用されます。m (≧ 2) 人の営業マンがいる CTSP を仮定すると、この選択戦略によって 200 万個の遺伝子が選択されるはずです。遺伝子交換のたびに、適応度を再計算する必要があります。ランプ動作は次のステップで構成されます。
ステップ 1: 現在の交換を行っている i 番目の販売員が m 番目の販売員であるかどうか、つまり i=m であるかどうかを判断します。その場合は退出してください。
ステップ 2: a の都市染色体から i 番目の営業マンに割り当てられた 2 つの都市遺伝子を選択します。交換して個体a'を入手します。
ステップ 3: a' の適応度値が a' の適応度値より大きいかどうかを判断します。そうである場合は、a=a' とし、そうでない場合は、a を維持します。
ステップ 4: i=i+1 を設定し、ステップ 1 に戻ります。HCGA の主な手順を図 7 に示します。
図 7: 基本的な GA に基づく HCGA フローチャート 最初のステップはグループ初期化の貪欲な操作であり、4 番目のステップはクライミング操作です。
E.コーン
SA (Simulated Annealing) は、大域最適化問題のための一般的な確率的メタヒューリスティック アルゴリズムであり、大きな検索空間で特定の関数の大域最適に対する適切な近似を見つけます [2]。特に、検索中に、より良い解決策だけでなく、Metropolis 基準に従ってゆっくりとゼロに近づく確率を持つより悪い解決策も受け入れました。局所最適領域から飛び出すことができ、収束性能を確保します。SA を使用すると、上記の GAG の収束を向上させることができます。
CTSP の解と最適解は、SA の各粒子の状態と粒子の最低エネルギー状態に類似します。最短経路を達成するための CTSP の目的関数は、SA エネルギー関数に対応します。適切な初期温度を設定し、設計された冷却スケジュールに従うことで、SA は CTSP を解決できます。
SA と GA は 2 つの一般的な方法で組み合わせることができます。つまり、1) すべての個体、2) それぞれ選択、交叉、突然変異の前後で GA 集団内の最良の個体に対して SA を実行します。前者は、人口規模が大きく、染色体が長いため、時間がかかりすぎます。代わりに本作は後者を採用している。
SAGAプログラムを以下に示します。
ステップ 1: 初期温度 t0 を設定し、初期エポック l=0 で GA の初期集団 P(0) を生成します。
ステップ 2: GA の終了条件が満たされている場合はステップ 7 に進み、そうでない場合は母集団 P(l) 内の各個体の適応度を計算し、得られた適応度値に従って個体を選択、交配、突然変異させて新しい個体を取得します。人口P1。
ステップ 3: SA の初期解 x 0 として P1 内の最良の個体を選択します。現在の温度 t 0 と現在の冷却数 k=0 とします。
ステップ 4: 各温度で反復ステップ サイズに達した場合は、ステップ 5 に進みます。それ以外の場合は、現在の解 x の近傍から実行可能な近傍 x' をランダムに選択し、メトロポリス基準を使用してそれを受け入れるかどうかを決定します。つまり、f=f(x')-f(x) を計算します (f≤0 の場合は x=x')、それ以外の場合は、exp(-f/tk)>r (r はペア (0, 1) 一様分布からサンプリングして得られた乱数を取得するには、手順 4 を繰り返します。
ステップ 5: k=k+1、tk=α・tk と仮定します。ここで、α は冷却係数です。SA の終了条件が満たされているかどうかを証明します。そうでない場合は、ステップ 4 に進みます。
ステップ 6: P1 の元の個体を SA によって取得された個体に置き換えて、新しい母集団 P2 を取得します。１＝１＋１、Ｐ（１）＝Ｐ２とする。ステップ2に進む
ステップ 7: 結果を出力します。
SAGA のフローチャートは図 7 に示したものと似ていますが、SA を使用して山登り操作を置き換える必要があります。
4. 実験と結果
CTSP を解く際に、提案されたアルゴリズムのパフォーマンスを比較するために実験が行われました。まず、LINGO ソフトウェアは整数計画法の包括的なツールとして機能し、特定の整数計画法モデルを正確に解くために使用されます。一連の実験は、LINGO の正確なソリューションの欠点を示しています。次に、ケーススタディを通じて、テストされたアルゴリズムの特定の進化と解決プロセスを観察し、その後、その収束速度と解決の品質を分析することができます。最後に、さまざまなサイズのいくつかの CTSP ケースを使用して、ソリューションの品質と計算時間の包括的な統計分析と比較が実行されます。
A. LINGOとGAの比較
表 I では、10 の CTSP ケースが設計されており、すべての都市データは、http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/datasets/tsp/tsp.html で引用されている TSP コレクション TSPLIB のデータセット eil51 からのものです。 。共有および排他的な都市セットの具体的な説明は、オンラインの補足ファイルに含まれています。使用したコンピューターは、Intel Corei3 CPU、2 GB の RAM、周波数 3.30 GHz を搭載し、Windows 7 (32 ビット) を実行する Dell Inspiron 620 でした。結果を表１に示す。
7 番目の解決策に対応する最適ルートを図 8 に示します。ただし、後の 3 つの状況は 2 日以内に解決することはできません。営業担当者が専用都市と共有都市間を往復するための設定を図 8 に示します。TSP と MTSP を組み合わせてそのような解決策を得ることができないことに注意してください。
営業担当者が市街への排他的アクセスを制限しているため、MTSP と比較して解決策はより困難で時間がかかります。CTSP のサイズが小さい場合 (たとえば、n<41)、LINGO は問題を迅速に解決できます。ただし、n と m が増加すると、消費時間は大幅に増加します。たとえば、n=31 の 2 つのケースの場合、m=2 の場合、所要時間はわずか 94 秒ですが、m=3 の場合、所要時間は 15 分に増加します。これは主に、制約の数が急激に増加したためです。つまり、表 I の 4 列目に示されているように、m=2 には 1937 の制約があり、m=3 には 3067 の制約があります。これにより、計算時間が大幅に増加します。m=3、n=21、31、および 41 の 2 つのケースでは、消費時間はそれぞれ 26 秒、94 秒、および 6.4 時間です。変数と制約の数は指数関数的に増加します。CTSP の規模がさらに大きくなるにつれて、その正確な解決はますます困難になります。たとえば、n=41、m=4 から始めると、LINGO では 2 日では解を得ることができません。
次に、CTSP を解く際に、GA が正確な方法よりも高速かつ効率的であるかどうかを確認します。パラメーター、つまり母集団のサイズを 30、交叉確率を 0.7、突然変異確率を 0.1 に設定します。各アルゴリズムは 10 回実行され、最大エポックは 2000 です。SA 操作に関連するパラメータを設定します。つまり、初期温度は 100、合計冷却時間は 60、各温度でのステップ サイズは 30、焼きなまし係数は 0.9 です。
表 II は、表 I の 10 件のケースと 4 つの GA の結果を示しています。ケースのサイズが大きくなるにつれて、GA にかかる時間は LINGO よりもはるかにゆっくりと増加します。たとえば、営業マンが 3 人で都市が増加する場合、GA の消費時間は 40 秒しか増加しませんが、LINGO の消費時間は 10 倍以上増加します。31 都市のケースでは、営業担当者の数が増加するにつれて、LINGO に費やす時間は約 10 倍、6 倍に増加しますが、GA の時間の変動はほとんどなく、8 秒未満です。
遺伝的アルゴリズムは常に解を得ることができますが、それが必ずしも最適解であるとは限りません。表 II によれば、2000 エポックの終了条件の下では、HCGA と SAGA を使用した解は、LINGO を使用した利用可能な正確な解に近似しています。SAGA は、平均誤差、最大誤差、最小誤差がそれぞれ 3.54 km、9.8 km、0.56 km という最高のソリューション品質を達成しました。GA は、(最適なソリューションにはコストがかかりすぎるため)、しかし (高品質のソリューションで十分であるため) な状況を解決するのに適しています。
B.GA 状況調査
n=51、m=4 の CTSP を図 10 に示します。ここで、U は共有都市セット、V 1 ～ V 4 はそれぞれ営業担当者 1 ～ 4 の専用都市セット (訪問エリア) です。前述と同じコンピューターが使用されました。次に、GA、GAG、HCGA、SAGA の 4 つのアルゴリズムを適用して問題を解決し、そのパフォーマンスを比較します。私たちの経験に基づいて、アルゴリズム間の公平性を確保するために、アルゴリズムの終了条件は 10 分に変更されますが、他のパラメーターは変更されません。結果を表３に示す。
1) 収束速度: 収束速度を比較するために、図 9 に示すように、それぞれが得た最適な収束プロセスをプロットしました。ジョージア州で最初に最も優れた個人が移動した総距離は約 1,200 キロメートルです。貪欲な操作を通じて、GAG、HCGA、および SAGA の初期集団の品質が大幅に向上します。同じ時間の終了条件の場合、基本的な GA よりも早く収束します。4 つの GA はそれぞれ、15000 番目、8500 番目、9600 番目、および 6200 番目のエポックで終了します。ただし、後の 3 つの GA の実際の進化は、それぞれ 8000、850、5000 エポックの早い時期に完了します。基本的な GA の収束は非常に遅く、進化は約 15,000 回のライフタイムでは終了しないようです。これは明らかに他のものよりもはるかに時間がかかります。
さらに、その中では SAGA が最も優れており、収束速度の点では HCGA の方が GAG よりも優れています。山登り操作がなければ、ローカル検索が弱いため、GAG は合計 550 km の移動の結果に発展するまでに約 2000 エポックかかりますが、SAGA と HCGA は同等以上の結果を達成するのにわずか約 150 エポックと 300 エポックしかかかりません。HCGA の進化が 8500 エポック (総行程長約 520km) で終了した後、SAGA は約 5000 エポック (総行程長約 500km) まで進化を続けることができます。
2) ソリューションの品質: 図 9 から、GA と GAG の両方が 15000 番目と 8500 番目のエポックで最適な結果に到達するのが難しく、合計トリップ長はそれぞれ約 540 と 550 であることがわかります。図 9 に示すように、山登り操作の強力なローカル検索機能により、GAG と同じ結果に達した後も HCGA がより良い解に収束し続けることが明らかです。しかし、9500 エポックあたりで停止しました。局所最適に陥る可能性があります。
10 回の SAGA 実験の平均ストローク長は 501.42 です。GA、GAG、HCGAと比較して、それぞれ37、49、21ユニットのストローク短縮を実現します。これは、SA 操作が遺伝的アルゴリズムの収束性能と局所最適からの脱出の可能性を改善できることを示しています。図 10 に示すように、SAGA を使用した最適解の合計ストローク長は 496.70 です。
要約すると、1) 遺伝的アルゴリズムに SA 演算を導入したため、SAGA の収束速度は検討された 3 つの遺伝的アルゴリズムの中で最も高くなります; 2) SAGA は局所最適をより簡単に取り除くことができ、複数のアルゴリズムの中でより良い結果を生み出すことができます。 4 つのアルゴリズム、優れたソリューション。
C. 遺伝的アルゴリズムのグループ実験
1) 実験設定: アルゴリズムのパフォーマンスの包括的な分析を行うために、11 の実験ケースからなる 3 つのグループを設計しました。CTSP の 3 つのグループには、それぞれ 51、76、101 の都市サイズが順番に割り当てられます。すべての都市データは TSPLIB のデータセット eil51、eil76、および eil101 から取得され、共有都市セットとさまざまな専用都市セットは表 IV に従ってグループ化されます。都市分布はオンライン補足ファイルに示されています。表 IV は、Taguchi メソッドを参照して設計および最適化されています。その中で、各ケースの異なる排他都市のセットは可能な限り均等に分割され、すべての都市における共有都市の割合は 0.2 から 0.5 の間で変動します。これにより、CTSP が MTSP または複数の別個の TSP になることが防止されます。これら 3 つのグループには、さまざまな典型的なケースが含まれます。
提案された 4 つのアルゴリズムは、これらの状況を解決するために適用されます。ソリューションの品質比較における公平性を確保するために、各アルゴリズムのソリューションは完全に開発されることが許可されています。したがって、すべての GA の最大エポックは 10000 に設定されます。都市の数が増加すると、それに応じて GA の初期人口サイズも増加するはずです。各ケースの最初の群衆サイズは 40 人に設定されました。4 つのアルゴリズムの交叉率と突然変異率は、それぞれ同じ 0.9 と 0.1 に設定されています。HCGA の場合、山登りの回数は 50 に設定され、SAGA の場合、初期温度は 100、アニーリングの回数は 50、各温度での反復回数は 30、冷却係数は 0.9 に設定されます。
2) 溶液の品質: 表 5 は、表 4 で設計されたグループ実験の結果を示します。各ケースは、各アルゴリズムを使用して 10 回実行されました。表 V は、各ケースにおける 10 個のサンプルの最良、最悪、平均解の統計と、対応する消費時間を記録します。表 V を観察すると、最良の解、最悪の解、平均的な解に関係なく、GA によって得られる解の品質はすべての場合で最悪であることがわかります。その理由は、図にあるように収束速度が遅く、局所最適性に陥りやすいためです。残りのアルゴリズム、GAG、HCGA、および SAGA は、より優れたソリューション品質を実現します。
貪欲な操作を使用すると、GA の初期母集団がより良くなります。しかし、遺伝的アルゴリズムには、局所最適性に陥りやすいという最大の欠点が依然として存在します。HCGA は、GAG のローカル検索機能を強化するために山登り操作を導入しているため、あらゆる最良および平均の結果において GAG をほぼ上回っています。ただし、101 都市のケースでは、前者の解決策の品質は後者よりも劣ります。その理由は、ケース数の増加により、極大値、尾根、路地への収束など、ヒルクライミングの困難な問題が発生する可能性が高くなるためです。SAGA はそれらすべての中でほぼ最高の結果を達成しました。その理由は、SA 自体が局所最適性を排除できるグローバル アルゴリズムであるのに対し、山登りアルゴリズムはローカル アルゴリズムにすぎないためです。さらに、SAGA の最良のソリューションの成長は、ケースサイズが大きくなるにつれて最も安定します。
3) 所要時間:
表 V に示す実験結果に基づいて、GA の消費時間の分析を試みます。すべてのアルゴリズムの消費時間は、都市の規模に応じて増加します。たとえば、都市の数が 51 から 101 に増加すると、基本的な GA と SAGA にはそれぞれ 471 ～ 836 秒と 1086 ～ 2365 秒の平均時間がかかります。同時に、アルゴリズムの消費時間の異なる増加率が結果から観察できます。SAGA が最も大きく成長し、次に HCGA、GAG、ベーシック GA が続きます。これは、貪欲操作、山登り操作、および SA 操作の導入により計算時間が増加し、ケースのサイズが大きくなるほど計算時間が長くなることを示しています。
同じサイズの場合、消費時間は最小から最大の順に GA、GAG および HCGA、SAGA になります。たとえば、101 の都市と 4 人の営業マンの状況を解決するには、GA で 938 秒、GAG で 1284 秒、登山で 1829 秒、SAGA で 2168 秒を消費します。これは、貪欲な初期化またはヒルクライミングの導入により余分な時間がかかることを示しています。したがって、同じケースサイズの場合、GAG は GA よりも多くの計算時間を必要とします。HCGA は、同じ終了期間に達するまでに GAG よりも時間がかかります。SAGA は、貪欲な初期化戦略と、山登りよりも複雑な SA の両方を利用します。したがって、HCGA よりも時間がかかります。
同じ数の都市の場合、アルゴリズムの消費時間は営業スタッフの成長と一致しません。たとえば、101 都市の場合、すべての GA が費やす時間は単に増減するわけではありません。これは、アルゴリズムの場合、CTSP を解くのにかかる時間は、営業担当者の数、共有都市セットと専用都市セットの分割など、多くの要因の影響を受ける可能性があることを示しています。計算時間とこれらの要因との関係は複雑です。現在の実験では解析が難しいため、今後検討していきたいと考えています。
D. まとめと考察
CTSP は、旅行する複数の個人が自分専用のタスクだけでなく、そのうちの 1 人が実行できる共有タスクのセットにも対処するアプリケーションの問題に適しています。たとえば、ワークスペースが共通部分を共有する放射状に配置された単一マシンを含む複数マシン システムのスケジューリングは、CTSP として定式化することで解決できます。図 1 に示す MES のスケジューリングは、2 人の営業担当者による CTSP の典型的な状況に変換できます。
問題を定式化する前に、複数のマシンで実行されるタスク (平面または空間内の点、線、曲線など) を、いくつかのプロセス要件に従って分割し、分散する必要があります。次に、割り当てられたタスクをグラフの頂点として抽象化する必要があります。頂点と個々のマシンは最終的に、CTSP の都市と販売員としてそれぞれモデル化されます。具体的には、排他的 (共有) ジョブの各セットは、排他的 (共有) 都市のセットとして表されます。スケジューリングの目標は、すべてのマシンのジョブ実行コストの合計が最小になるように、各マシンのジョブ シーケンスを検索することです。これは、アクセス コストの適切な定義を使用して、対応する CTSP の目的関数によって定式化できます。
上記の実験結果によると、解の品質のみを考慮する場合、実際のサイズの CTSP を解くには SAGA が最適な選択ですが、比較的短時間で良好な解を得る必要がある場合は HCGA が推奨されます。著者の知る限り、Gavish と Srikanth [11] によって解決された最大の MTSP には 500 の都市があります。CTSP には都市へのアクセシビリティと販売員に対する都市ゾーニングに関する制限があるため、同じ問題サイズに対して MTSP よりも多くの時間とメモリが必要となるため、これらの大規模なケースは将来の研究に延期されます。
V.結論
このペーパーでは、CTSP と呼ばれる新しい MTSP を提案します。この MTSP では、さまざまな営業担当者が排他的な都市のセットを持ち、共通の都市のセットを共有します。これは、複数の個人が異なるが部分的に重複するワークスペースで共同作業するアプリケーションに由来します。この記事では、この新しい問題を数学的に厳密な方法で提示します。我々は、基本的な遺伝的アルゴリズムに基づいて改良された、貪欲な初期化遺伝的アルゴリズム、ヒルクライミング遺伝的アルゴリズム、およびシミュレーテッドアニーリング遺伝的アルゴリズムの3つの遺伝的アルゴリズムを提案します。解の空間サイズは、2 染色体コードを使用して推定されます。CTSP、MTSP、およびMTSPとTSPの組み合わせの間の違いが分析されました。4 つの遺伝的アルゴリズムとの比較を通じて、CTSP 法を正確に解決する LINGO ソフトウェアの能力と限界が明らかになります。実験を通じて、進化速度、ソリューションの品質、時間消費の観点から遺伝的アルゴリズムのパフォーマンスが包括的に比較されました。結果は、SAGA が最適な解を取得できるのに対し、HCGA は比較的短時間で高品質の解を取得できることを示しています。今後の作業は、既存の方法では処理できない大規模な CTSP と、MES 最適化操作へのその応用を処理することを目的としています。CTSP の最適解の下限を迅速に評価することが非常に望まれます。これは、さまざまなインテリジェントな最適化手法を評価および比較するための指標として使用できます [20]、[21]、[25]、[26]、[46]。 ]、[48]、[50]～[62]のソリューションの質。この目的には、高速な方法 [64] ～ [72] を使用できます。