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| 1 | 【数学的知識】ベクトルの座標基底表現、Matlabコードの検証 |
| 2 | 【数学的知識】ベクトルと基数の内積、Matlabコードの検証 |
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1. ベクトルの座標基底表現
空間内にベクトルa ⃗ \vec{a}があるとします。ある、異なる座標系 (または座標基底) では、ベクトルa ⃗ \vec{a}ある異なる座標値で表されます。
座標基が一意に決まると、対応する座標値も一意に決まります。同時に、ベクトルは座標値と座標線の線形結合によって表すこともできます。
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ベクトルが 2 次元平面ベクトルの場合、
a ⃗ = ax ⃗ 1 + aye ⃗ 2 = [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 ] [ axay ] \vec{a} = a_x \vec{e} と表すことができます。 _1 + a_y \vec{e}_2 = \left[\begin{行列}\vec{e}_1 & \vec{e}_2 \end{行列}\right] \left[\begin{行列}a_x \\ a_y \end {行列}\right]ある=ある×e1+あるはいe2=[e1e2】[ある×あるはい】 -
ベクトルが 3 次元空間のベクトルの場合、
a ⃗ = ax ⃗ 1 + aye ⃗ 2 + aze ⃗ 3 = [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 e ⃗ 3 ] [ axayaz ] \vec{ a} = a_x \vec {e}_1 + a_y \vec{e}_2 + a_z \vec{e}_3 = \left[\begin{行列}\vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \ vec{e}_3 \end{行列}\right] \left[\begin{行列}a_x \\ a_y \\ a_z \end{行列}\right]ある=ある×e1+あるはいe2+あるze3=[e1e2e3】 ある×あるはいあるz
2. 2次元平面ベクトルの例
以下は 2 次元平面のベクトルに基づく例ですが、3 次元空間の場合も同じ特性と結論があります。
上で述べたように2 次元平面ベクトルa ⃗ \vec{a}があるとします。ある、標準座標系ではe ⃗ 1 = [ 1 0 ] 、 e ⃗ 2 = [ 0 1 ] \vec{e}_1=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\右 ]、\vec{e}_2=\left[\begin{行列} 0 \\ 1 \\ \end{行列}\right]e1=[10】、e2=[01]下の座標値は[ axay ] = [ 3 4 ] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 \\ 4 \end{マトリックス}\right][ある×あるはい】=[34]。この場合、このベクトルは次のように表現できます。
a ⃗ = ax ⃗ 1 + aye ⃗ 2 = [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 ] [ axay ] = 3 [ 1 0 ] + 4 [ 0 1 ] = [ 1 0 0 1 ] [ 3 4 ] = [ 3 4 ] \begin{aligned} \vec{a} &= a_x \vec{e}_1 + a_y \vec{e}_2 = \left[\begin{matrix}\vec{e}_1 & \vec{e}_2 \ end{行列}\right] \left[\begin{行列}a_x \\ a_y \end{行列}\right] \\ &= 3 \left[\begin{行列}1 \\ 0 \end{行列}\ right] + 4 \left[\begin{行列}0 \\ 1 \end{行列}\right] = \left[\begin{行列} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{行列}\right] \ left[\begin{行列}3 \\ 4 \end{行列}\right] = \left[\begin{行列}3 \\ 4 \end{行列}\right] \end{aligned}ある=ある×e1+あるはいe2=[e1e2】[ある×あるはい】=3[10】+4[01】=[1001】[34】=[34]
ここで、座標ベースをe ⃗ 1 ′ = [ 1 2 1 2 ] , e ⃗ 2 ′ = [ − 1 2 1 2 ] \vec{e}_{1^\prime}=\left[\begin ] に変更します。 { 行列} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{行列}\right], \vec{e}_{2^\素数 }=\left[\begin{行列} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{行列}\right]e1「=[2121】、e2「=[−2121]の場合、この新しい基底での座標値は[ ax ′ ay ′ ] = [ 7 2 1 2 ] \left[\begin{matrix}a_{x^\prime} \\ a_{y^\prime} \end{行列}\right] = \left[\begin{行列} \frac{7}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{行列}\right][あるバツ「あるy「】=[2721]。この場合、このベクトルは次のように表現できます。
a ⃗ = 7 2 [ 1 2 1 2 ] + 1 2 [ − 1 2 1 2 ] = [ 1 2 − 1 2 1 2 1 2 ] [ 7 2 1 2 ] = [ 3 4 ] \begin{aligned} \ vec{a} &= \frac{7}{\sqrt{2}} \left[\begin{行列}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2 }} \end{行列}\right] + \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{行列}-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1 }{\sqrt{2}} \end{行列}\right] = \left[\begin{行列} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2} } \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{行列}\right] \left[\begin{行列} \frac{7}{ \sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{行列}\right] = \left[\begin{行列}3 \\ 4 \end{行列}\right] \終わり{整列}ある=27[2121】+21[−2121】=[2121−2121】[2721】=[34]
上記の例から、どの座標ベースが使用されるかに関係なく、常に次の方程式が存在することがわかります。
a ⃗ = ax ⃗ 1 + aye ⃗ 2 = [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 ] [ axay ] = ax ' e ⃗ 1 ' + ay ' e ⃗ 2 ' = [ e ⃗ 1 ' e ⃗ 2 ' ] [ ax ' ay ' ] \begin{aligned} \vec{a} &= a_x \vec{e}_1 + a_y \vec{e}_2 = \left[\begin{matrix}\vec{e}_1 & \vec{e }_2 \end{行列}\right] \left[\begin{行列}a_x \\ a_y \end{行列}\right] \\ &= a_{x^\prime} \vec{e}_{1^ \prime} + a_{y^\prime} \vec{e}_{2^\prime} = \left[\begin{matrix}\vec{e}_{1^\prime} & \vec{e} _{2^\prime} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_{x^\prime} \\ a_{y^\prime} \end{matrix}\right] \end{整列しました}ある=ある×e1+あるはいe2=[e1e2】[ある×あるはい】=あるバツ「e1「+あるy「e2「=[e1「e2「】[あるバツ「あるy「]
3 次元空間のベクトルについても同様の結論を導き出すことができます。
新しい基底で座標値を取得する方法については、次の手順で実現できます。
[ e ⃗ 1 e ⃗ 2 ] [ axay ] = [ e ⃗ 1 ' e ⃗ 2 ' ] [ ax ' ay ' ] [ e ⃗ 1 ' e ⃗ 2 ' ] − 1 [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 ] [ axay ] = [ ax ′ ay ′ ] [ 1 2 − 1 2 1 2 1 2 ] − 1 [ 1 0 0 1 ] [ 3 4 ] = [ 7 2 1 2 ] \begin{aligned} \left[\begin{matrix] }\vec{e}_1 & \vec{e}_2 \end{行列}\right] \left[\begin{行列}a_x \\ a_y \end{行列}\right] &= \left[\begin{行列}\vec{e}_{1^\prime} & \vec{e}_{2^\prime} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_{x^\prime} \\ a_{y^\prime} \end{matrix}\right] \\ \left[\begin{matrix}\vec{e}_{1^\prime} & \vec{e}_{2^\素数} \end{行列}\right]^{-1} \left[\begin{行列}\vec{e}_1 & \vec{e}_2 \end{行列}\right] \left[\begin{行列}a_x \\ a_y \end{行列}\right] &= \left[\begin{行列}a_{x^\prime} \\ a_{y^\prime} \end{行列}\right] \\ \left[\begin{行列} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{行列}\right]^{-1} \left[\begin{行列} 1 & 0 \ \ 0 & 1 \end{行列}\right] \left[\begin{行列} 3 \\ 4 \end{行列}\right] &= \left[\begin{行列} \frac{7}{\sqrt {2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{行列}\right] \\ \end{aligned}[e1e2】[ある×あるはい】[e1「e2「】− 1[e1e2】[ある×あるはい】[2121−2121】− 1[1001】[34]=[e1「e2「】[あるバツ「あるy「】=[あるバツ「あるy「】=[2721]
3. Matlab コードの検証
a_x = 3;
a_y = 4;
e_1 = [ 1
0];
e_2 = [ 0
1];
a_x_prime = 7/sqrt(2);
a_y_prime = 1/sqrt(2);
e_1_prime = [ sqrt(2)/2
sqrt(2)/2];
e_2_prime = [-sqrt(2)/2
sqrt(2)/2];
>> pinv([e_1_prime e_2_prime]) * [e_1 e_2] * [a_x; a_y]
ans =
4.9497
0.7071
>> a_x_prime
ans =
4.9497
>> a_y_prime
ans =
0.7071