「コンピュータ ビジョンにおけるマルチビュー ジオメトリ」に関するメモ (2)

2 射影幾何学と 2D の変換

この章では、本書に必要な幾何学の知識や記号を中心に紹介します。

2.1 平面幾何学

平面幾何学が簡単に紹介され、本書は代数学と幾何学を組み合わせた方法で教えられます。

2.2 2D 射影平面

行ベクトルと列ベクトル。デフォルトでは、この本のすべてのベクトルは$x$、次に${バツ}^T$は行ベクトルです。行ベクトルの場合$(x,y)$の場合、 x = ( x , y ) T x=(x,y)^T となります$バツ=(x,y{）}^{て}$。

2.2.1 点と線

線分の同次座標線は方程式$\times \_+によって\_+c=0$なので、$(、\_b、c{)}^{Tは}$線分を表します。ただし$(、\_b、c{)}^{}$( a , b , c ) T (a,b,c)^T${}^{であるため、\; T\; は}$線分を一意に表すことができません。$(、\_b、c{)}^T$与$k(a,b、c{)}^{T\; は}$同じ線分を表します ($k$は0ではありません）。次に$k(a,b、c{)}^T$は実際には、一種のベクトルの式です。このクラスのすべてのベクトルは 2 次ベクトルです。次に、クラス全員を集めて投影スペースを形成します。空間(0, 0, 0) T (0,0,0)^Tに特別な点があります$(0,0、0{)}^T$、どの直線にも属しません。

点の2 番目の座標と直線の方程式は、$\times \_+によって\_+c=0$の場合、 (x, y, 1) (a, b, c) T (x,y,1)(a,b,c)^T と書くことができます。$(x,よ、1)(a、b、c{)}^T$、次にこれ$(x,よ、1)$は点の同次座標です。

結論 2.1 x T l = 0 x^T l = 0の場合に限り、点は直線上にあります。${バツ}^{T}l=0$

自由度自由度は、この形状が自由に変化するいくつかの変数で表現できることを意味します。たとえば、 x、yx、yが指定されているため、点の自由度は 2 になります。$\times 、y$で十分で、直線の自由度も 2 です。これは、直線には 3 つの変数がありますが、それらの比率は$ある:b:ｃ$．たとえば、不均質な表現では、これら 2 つのパラメータを線の勾配と y 切片として選択できます。

直線の交点2 本の直線$私=(、\_b、c)、l^{』}=({\_}^{「、}」b^{「、}」c^{\text{'}})$、それらの交点は$私\times {私}^{「}$。

2 点で決まる直線2 点$\times 、{バツ}^{\text{'}}$、彼らが決定する直線は$バツ\times {バツ}^{「}$。

2.2.2 理想点と無限遠直線

平行線の交点2 本の平行線の交点を考えると$\times \_+によって\_+c=0、\times \_+によって\_+c^{』}=0$、外積を行うと、$(c^{』}-c)(b、-、\_0{)}^T$、スケール係数を無視した場合$(c^{』}-c)$の場合、平行線の交点は$(b、-、\_0{)}^T$の場合、この同次座標を非同次座標に変更すると、$(b/0,-a/0{）}^T$、この点は無限遠にあるので、平行線は無限遠で交差すると言います。

理想点と無限遠直線任意の点$({\times }_{}、{バツ}_{}、{バツ}_{}{)}^T$、${バツ}_{}=0$ , 那么$({\times }_{}、{バツ}_{}、0{)}^T$はすべて無限遠にある点であり、これらの点はすべて直線上にあります。つまり、${私}_{}=(0,0、1{)}^{て}$。

次に、任意の直線$私=(、\_b、c{)}^{て}$、$l$与${私}_{}$交点は$(b、-、\_0{)}^{T.\_}$ _ それから 1 と$l$平行直線${私}^{\text{'}}$はl ∞ l_{\infty}と合計されます${私}_{}$( b , − a , 0 ) T (b,-a,0)^Tとも交差します$(b、-、\_0{)}^T$。$(b、-a)$と直線の法線ベクトル$(、\_b)$は垂直なので、線の方向です。( a , b ) (a,b)に注意してください。$(、\_b)$は直線の方向ではありません$(、\_b)$は直線に垂直です。$(b、-、\_0)$この点は無限遠直線上にあるので、無限遠直線は直線方向の集合とみなすことができます。

2 次元投影面の幾何学的モデル投影面は、3 次元空間内の光線の集合として想像できます。3 本の光線から 3 つの点を選択してそれらを同一平面上にすると、他のすべての光線が平面と交差するようになります。したがって、平面は光線上の点で構成されます。投影平面上の線は、原点を通過する平面と投影平面の交点です。任意の 2 つの異なる光線は同じ平面上にあり、任意の 2 つの異なる平面は 1 つの光線と比較されます。これは、2 つの直線が 1 点で交差することにたとえられ、2 つの点によって直線が決定されます。

図に示すように、理想的な無限遠点と直線は平面に平行です${バツ}_{}=1$。

線分と点の二重性 点と線分の役割は、実は入れ替えることができます。たとえば、${私}^T\times =0$は x T l = 0 x^T l = 0と書くことができます。${バツ}^{T}l=0$。

2.2.3 円錐曲線と二重円錐曲線

円錐は、平面内の二次方程式を記述します。ユークリッド幾何学には、放物線、双曲線、楕円の 3 つの主なタイプがあります。2 次元の写真幾何学では、これら 3 つは同等です。

まず円錐を次のように書き、次に式$バツ=({\times }_{}、{バツ}_{}、{バツ}_{})$

$$\left[\begin{array}{ccc}ある& b/2& d/2\\ b/2& c& e/2\\ d/& e/& \end{array}\right]$$

円錐は${バツ}^{TCx}\_\_=0$円錐には 5 つの自由度があります。

5 つの点で円錐が決まります。x = x 1 / x 3 、y = x 2 / x 3 x=x_1/x_3,y=x_2/x_3 を使用して、円錐を別の方法で書いてみましょう。$バツ={バツ}_{}/{\times }_{}、y={バツ}_{}/{\times }_{}$、次のようになります:
$$\begin{gathered} ({\times }_{私}^{}、{バツ}_{}{y}_{}、y_{私}^{}、{バツ}_{}、y_{}、1)c=0 \\ c=(、\_b、c、え、d、f) \end{gathered}$$

ccを解くには 5 つの方程式が必要です$c$、なぜなら$c$の自由度は5 です。

楕円と楕円CCの接線$C\; は$点$x$における接線$l$はl = C xl=Cxです$私=C\times$。

Dual Conic前の$c$で定義される円錐は、直線からなる$c^{\ast }$、この円錐は all と$c\; は$接直線で構成されます。$c^{\ast }=c^{-1}$

2.3 射影変換

定義 2.9射影変換$h$は 2 次元射影空間から 2 次元射影空間への変換であり、次のプロパティを満たす: if${バツ}_{}、{バツ}_{}、{バツ}_{}$変換前の直線上$\left(h\right(x_{}）、h(x_{}）、h(x_{}))は$まだ直線上にあります。

この定義によれば、射影変換は共線性とも呼ばれ、射影変換とホモグラフィーは同じ意味となる。

この本では、代数の観点からそれを定義する別の方法も紹介しています。平たく言えば、任意の$3\times 3$の非特異行列$H\; は$両方とも射影変換を定義します。

幾何学的観点から説明すると、投影変換は実際には平面間のマッピングを定義します。これは、投影ジオメトリが平面によって定義されることがわかっているためです。さらに、射影変換は共線性を維持します。これら 2 つの平面上の座標系が両方ともユークリッド座標系である場合、この射影変換は 6 自由度の透視変換になります。

2.3.1 直線と円錐の変換

点には次の変換があります${バツ}^{』}=Hx$の場合、直線変換は${私}^{』}=H^{-T}l$、円錐変換は${バツ}^{TCx}\_\_={バツ}^{「TH}{」}^{-ＴＣＨ}\_{\_}^{-1}{\times }^{\text{'}}$なので、$C=H^{-ＴＣＨ}\_{\_}^{-1}$、その二重円変換は$C^{{\ast }^{』}}=HC{\_}^{\ast }{H}^{て}$。

2.4 変換の階層

このセクションは重要な章であり、さまざまな変換の定義とプロパティをレイヤーごとに紹介します。

2.4.1 アイソメトリ剛体変換

次を決定します:
$$\left(\begin{array}{c}{バツ}^{』}\\ y^{』}\\ \end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}ϵ\mathrm{コス}私& -罪& t_{}\\ ϵ罪私& -\mathrm{コス}& t_{}\\ & & \end{array}\right]\left(\begin{array}{c}バツ\\ y\\ \end{array}\right)$$
これは次のように省略できます:
$${バツ}^{』}=H_{}バツ=[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^{}& \end{array}】\times$$
$R$は2 × 2 2 \times 2です$2\times 2$の直交行列である大きな行列全体には 3 つの自由度があります。1 つは回転、2 つは平行移動です。不変量は、線分の長さ、線分間の角度、および図形の面積です。

2.4.2 相似変換 相似変換

次を決定します:
$$\left(\begin{array}{c}{バツ}^{』}\\ y^{』}\\ \end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}s\mathrm{コス}私& -s罪& t_{}\\ s罪私& s\mathrm{コス}& t_{}\\ & & \end{array}\right]\left(\begin{array}{c}バツ\\ y\\ \end{array}\right)$$
これは次のように省略できます:
$${バツ}^{』}=H_{}バツ=[\begin{array}{cc}R\_& t\\ 0^{}& \end{array}】x$$
行列全体には 4 つの自由度があります。1 つはスケーリング係数、1 つは回転、2 つは平行移動です。不変条件は、線分間の角度、線分が平行か平行か、線分間の比率が変わらないことです。グラフィック全体が拡大縮小されるため、異なる領域間の面積比率は変わりません。

2.4.3 アフィン変換アフィン変換

その形式は次のとおりです：
$$\left(\begin{array}{c}{バツ}^{』}\\ y^{』}\\ \end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}{ある}_{}& {ある}_{}& t_{}\\ {ある}_{}& {ある}_{}& t_{}\\ & & \end{array}\right]\left(\begin{array}{c}バツ\\ y\\ \end{array}\right)$$
可写成：
$${バツ}^{』}=H_{}バツ=[\begin{array}{cc}あ& t\\ 0^{}& \end{array}】行列x$$
全体には6 つの自由度があり、左上隅$A$に 4 つ、翻訳に 2 つ。

$A\; は$次の形式に分解できます。
$$あ=R\left(\theta \right)R(-\varphi )DR\left(\varphi \right)$$
$$[\begin{array}{cc}{私}_{}& 0\\ & {私}_{}\end{array}】$$

だから$A\; は$、最初に角度$\varphi$、そして$\times 、スケーリングはy\; の$両方向で実行され、スケーリング係数は${私}_{}、{私}_{}$を押してから、$-\phi \; は$逆方向に回転し、次に$私は$。

圧縮により線分間の角度が変化し、不変式では直線間の平行度、直線間の比率、面積の比率のみを維持することができます。

2.4.4 射影変換射影変換

射影変換は、同次座標の一般的な非特異線形変換です。実際にはアフィン変換を一般化します。射影変換の役割については以前に説明しました。
その形式は次のとおりです:
$${バツ}^{』}=H_{}バツ=[\begin{array}{cc}あ& t\\ v^{}& \end{array}】x$$
大きなマトリックス全体には 8 つの自由度があります。その不変条件: 直線は変換後も直線のままです。

2.4.5 要約と比較

2.4.6 射影変換の分解

射影変換行列全体は 3 つの小さな行列に分解できます。
$$\begin{gathered} H=H_{}{H}_{}{H}_{} \\ =[\begin{array}{cc}R\_& t\\ 0^{}& \end{array}】[\begin{array}{cc}K& 0\\ 0^{}& \end{array}】[\begin{array}{cc}私& 0\\ v^{}& \end{array}】=\left[\begin{array}{cc}あ& t\\ v^{}& \end{array}\right] \end{gathered}$$
$H_{}$直線を無限遠まで移動、$H_{}$はアフィン変換、$H_{}$は一般化された相似変換です。

2.4.7 不変式の数

前に、特定の変換の下でジオメトリが持つ不変条件の数について説明しました。では、この不変量をどのように計算するのでしょうか? 次のような結論が得られます。

結論 2.16ジオメトリの不変量は、ジオメトリの自由度から変換の自由度を引いた値以上です。

たとえば、空間内の 4 つの点には、各点に 2 の自由度があるため、8 つの自由度があります。この場合、ジオメトリの不変量は、ジオメトリの自由度 8 から変換の自由度を引いたものとなります。変換が相似変換であると仮定すると、答えは 8-4=4 になります (相似変換の自由度は 4 です)。変換がアフィン変換であると仮定すると、答えは 8-6=2 になります (アフィン変換は 6 自由度です)。

2.5 1D の射影幾何学

1 次元空間投影幾何学は点$\overline{バツ}=({\times }_{}、{バツ}_{}{)}^T$、ここで${バツ}_{}=0$の場合、1 次元ホモグラフィ行列は次のとおりです:
$${\overline{バツ}}^{』}=H_{2\times \times }\overline{バツ}$$
$H_{2\times }$自由度は 3 つあります。

クロスレシオ
1 次元平面上に 4 つの点がある場合、クロスレシオを定義します。
$$クロス（\_{バツ}_{}、{バツ}_{}、{バツ}_{}、{バツ}_{})=\frac{|{バツ}_{}{バツ}_{}||{バツ}_{}{バツ}_{}}{|{バツ}_{}{バツ}_{}||{バツ}_{}{バツ}_{}|}$$

その中
$$|{バツ}_{}{バツ}_{}|=の[\begin{array}{cc}{バツ}_{私}& {バツ}_{j1}\\ {バツ}_{私}& {バツ}_{j2}\end{array}】$$

クロスオーバー比にはいくつかの特性があります。

1. 分子と分母の比が互いに打ち消し合うため、クロスレシオは使用される座標系とは関係がありません。
2. すべての点が有限距離にある点であり、${バツ}_{}=1$ , then∣$|{\overline{バツ}}_{}{\overline{バツ}}_{}|\; は$x ˉ i \bar{x}_{i}からの開始点を表します${\overline{バツ}}_{}$x ˉ j \bar{x}_{j}に${\overline{バツ}}_{}$の符号付き距離
3. 1 つの点が理想的な点である場合、クロスオーバー比は維持されます。
4. クロスオーバー比はどの射影変換でも不変です

同時線は、
共通の開始点を持つ線であり、すべての共通線と交差するもう 1 本の線を見つけて、交差率を定義できます。

2.7 画像からのアフィン特性とメトリック特性の復元

このセクションは主に、射影変換によって引き起こされるプロパティの損失を除去し、射影変換から相似変換に画像を復元することで、平行線、線分、面積比などのプロパティが保持されます。

射影変換には相似変換より自由度が 4 つだけ多いことがわかっているため、自由度を 4 つ復元するだけで済みます。これらの 4 つの自由度はどこから来るのでしょうか? 無限遠の直線は 2 つを提供し、無限遠の絶対点は 2 つあります。これは、それらが相似変換の下では不変であるためです。任意の円錐はこれら 2 点で無限遠の直線と交差するため、これを円錐点と呼ぶこともできます。

2.7.1 無限遠の直線

投影変換では、無限遠にある線が非無限大に投影されます。
無限遠にある線はアフィン変換しても変化しません。これは、アフィン変換後も無限遠にあることを意味します。ただし、線上の点の位置は変更されていますが、点はすべて無限遠にあります。

2.7.2 画像からのアフィン特性の回復

アフィン特性を復元するには、無限遠の直線を見つける必要があることがわかっています。したがって、最初にカメラが投影変換であることを明確にしてから、ラインが画像座標系の特定の場所にマッピングされます。まずこの場所を見つけてから、2.7.1 のプロパティを使用して方程式を確立します。

無限遠の直線が$私=(l_{}、{私}_{}、{私}_{}{)}^T$、無限遠の直線の座標は$(0,0、1{)}^T$であり、直線はアフィン変換の下で不変であるため、行列を構築します:
$$H=H_{}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ {私}_{}& {私}_{}& {私}_{}\end{array}\right]$$

$H_{}$は任意のアフィン変換です、$Hは$llを入れることができます$l$は( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1)に変換されます$(0,0、1)$、次に$H$が画像全体に乗算されるため、画像全体がアフィン特性を取り戻します。

次の問題は、$l$、画像から 2 本の平行線を見つけてそれを延長します。これらは交差する必要があるため、それは点になります。繰り返しになりますが、ポイントは2つあります。この 2 点が$l$。この本の P51 の例 2.20 には別の方法があります。

2.7.3 円形の点とその双対

楕円点とは何かについてはすでに説明しましたので、次にそれがどのようなものかを見てみましょう。I、JI、J
を使用します$私は、J$来表示，$私=(1、私、0{)}^{て}、J=(1、-私、0{)}^T$
、次の方程式のいずれかを見つけてください
$$\begin{gathered} {私}^{』}=H_{}私 \\ =\left[\begin{array}{ccc}s\mathrm{コス}私& -s罪私& t_{}\\ s罪私& s\mathrm{コス}私& t_{}\\ s0& & \end{array}\right]\left(\begin{array}{c}1\\ 私\\ \end{array}\right) \\ =eと一緒に{}^{-i\theta }\left(\begin{array}{c}1\\ 私\\ \end{array}\right) \\ =私 \end{gathered}$$

上の式によれば、次の結論が得られます。
結論 2.21楕円点$私は、J\; は、$射影変換が相似変換である場合に限り、射影変換の下では変化しません。

この2点はどのようにして見つけられたのでしょうか？はl ∞ l_{\infty}の円錐方程式です${私}_{}$交差点。

*コーンポイントによって定義されるデュアルコーンI、JI、J
を使用できます$私は、J$で円錐を定義
$$C_{\infty }^{}=IJ{\_}^T+じい{\_}^{TthisC\infty }$$
∗$C_{\infty }^{}$2.2.3 ノットラインの円錐を縮退させた直線で構成された円錐です。それで、それは誰についてですか？コーンポイントの双対です。

$C_{\infty }^{}$これは、同様の変換の下でも不変です。したがって、次のような結論が得られます。

結論 2.22円錐点$C_{\infty }^{}$は、射影変換が相似変換である場合に限り、射影変換の下で不変です。

$C_{\infty }^{}$さらに 2 つのプロパティがあります。1. 自由度は 4 つあります。 2. ${私}_{}$は$C_{\infty }^{}$のゼロベクトル

2.7.4 投影面上の角度

2 本の直線があるとします。$私=(l_{}、{私}_{}、{私}_{}{)}^T$ ,$メートル=(m_{}、{メートル}_{}、{メートル}_{}{)}^T$、それらの間の角度は次のとおりです:
$$\mathrm{コス}私=\frac{{私}_{}{メートル}_{}+{私}_{}{メートル}_{}}{\sqrt{(l_1^{}+{私}_2^{})(m_1^{}+{メートル}_2^{})}}$$

l 、ml、mの場合$l、m$は射影変換を適用するため、上記の式は適用できません。射影変換後の角度を計算するには、次の式があります:
$$\mathrm{コス}私=\frac{{私}^{TC}{\_}_{\infty }^{}}{\sqrt{\left(l^{TC}{\_}_{\infty }^{}l\right)(m^{TC}{\_}_{\infty }^{}メートル）}}$$

したがって、 C ∞ ∗ C^*_{\infty}がわかります。$C_{\infty }^{}$線分または平面間の角度を計算できます (結論 2.23 )。

この本には明白な結論もあります: if ${私}^{TC}{\_}_{\infty }^{}メートル=0$、次に$l、垂直メートル$。

2.7.5 画像のメトリックプロパティの復元

メートル プロパティとは、角度、線分間の比率などを指します。主に$C_{\infty }^{}$これは、射影変換では次の式が存在するためです:
$$\begin{gathered} C_{\infty }^{{\ast }^{}}=\left(H_{}{H}_{}{H}_{}\right)C_{\infty }^{}(H_{}{H}_{}{H}_{}{)}^T \\ =[\begin{array}{cc}K{K}^T& K{K}^{テレビ}\_\\ v^{T}K{K}^{}& v^{T}K{K}^{テレビ}\end{array}】 \end{gathered}$$

$K$はアフィン変換の左上の成分です、$v$は射影変換の成分です。上の式から、 C ∞ ∗ C^*_{\infty}がわかっていれば次のことがわかります。$C_{\infty }^{}$C ∞ ∗ '' C^{*'}_{\infty}を見つけることができます$C_{\infty }^{{\ast }^{}}$、SVD 分解を行うと、$K、v$。

具体的な内容はP56 Example2.26をご参照ください。

2.8 円錐曲線のその他のプロパティ

この章も焦点であり、エピポーラ幾何学の基礎である点、線、円錐の関係を紹介します。

2.8.1 極と極の関係

ワンポイント$x$と円錐$C\; は$直線$私=Cx$、この$l$は極線と呼ばれます。この$x\; は$円錐$C$ではあるが$C$の外側。xxに合格しました$x\; は$CCに送信できます$C\; は$2 つの線を作成します (この線は極線ではない接線と呼びます)。以下の図に示すように、すべての接線は円錐に接しています。私たちは$x\; は$徐々に円錐に向かって移動するため、2 つの接線の間の角度は徐々に増加します$x$は円錐上にあり、2 つの接線は 1 つの接線になります。別の概念を以下に紹介します。定義 2.29

点と線の間の相関相関は、2 次元投影空間内の点から 2 次元投影空間内の線への可逆マッピングです。それは3 × 3 3 \times 3
$3\times 3$の非特異行列(非特異なので可逆)、これを$A$の場合、相関全体は$私=あ\times$。

この$Aは$点と線の関係を提供しますが、$Aは$対称ではありません。したがって、$A$が対称である場合、何が起こるでしょうか? これは共役点の概念につながります。

共役点点yyxxまでに$yを入力$$x$によって決定される極線上で$y$と$x$は共役点で、$y^{T}l=y^{TCx}\_\_=0$。

だから$C\; は$点と線の関係を説明します。

さらに、共役点にはxxというプロパティがあります。yyの場合は$x$$y$、$y$もxxに含まれます$x$の極端な線上。

2.8.2 円錐曲線の分類

円錐は、双曲線、放物線、楕円の 3 つのカテゴリを識別できます。それらはそれぞれ平面と円錐の交差によって形成されます。そこで射影幾何学の観点から考えて、無限遠の直線で楕円と交わると、実際に交点がなければ楕円となり、交点があれば放物線となります。以下の図に示すように、2 つの交点、つまり双曲線があります。

代数的な観点から考えると、CCSVD を使用して$C$$C=U^{T}DU$、ここで$D$は行列の固有値です$D$は SVD によって再度分解され、$D$の固有値はDD次の表に示すように、$D固有値が異なると、異なるタイプの錐体が生成されます。$

2.9 固定点と固定線

l ∞ l_{\infty}であることはわかっています。${私}_{}$そして、楕円点は射影変換の下では不変です。では、変換を行列、点や線をベクトルとすると、行列の作用下で変化しないベクトルはどのようなものでしょうか? 固有値に対応するベクトル。したがって、それらの変化しない点と線は射影行列の固有ベクトルです。

さまざまな変換における固定点を以下に紹介します。

ユークリッド変換（剛体変換）の固有値は { ei θ , e − i θ e^{i \theta}, e^{-i \theta} となります。 $e^{i\theta }、e^{-i\theta }$｝において、２つの不動点は上記の円点（楕円点）である。

相似变换 其特征值是{1, $eと一緒に{}^{i\theta }、eと一緒に{}^{-i\theta }$ }、2 つの不動点は前述の楕円点です。

アフィン変換の2 つの不動点は実数点でも複素数点でも構いませんが、これらの点を通る固定直線${私}_{}$いずれの場合もそうです。