Высшая математика: теорема Декарта (часть 1)

1. Предварительное исследование касания четырех окружностей.

«Четыре круга касаются друг друга», в частности, означает «четыре круга в плоскости касаются друг друга, а не касаются друг друга». Ее историю можно проследить до нашей эры. Начиная с древнегреческого периода, математики начали обращать внимание на эту уникальную фигуру не только из-за ее беспрецедентной геометрической красоты, но и из-за ее изысканной алгебраической связи.

Хотя это старый вопрос тысячелетней давности, поскольку мы исследуем его с самого начала, все же необходимо спросить: «Существует ли касание четырех окружностей?»

Когда сложные ситуации неясны, начните с простых. Существует множество примеров касания трех окружностей, которые можно свести к двум типам: (1) «Внешнее-Внешнее-Внешнее» - три окружности не содержат друг друга, а две описанные окружности; (2) «Внутренняя касательная -вписанное-внешнее» — большой круг вписан в два маленьких круга, а два маленьких круга описаны. Основываясь на касании трех окружностей, нам нужно составить только четвертый круг, чтобы он касался трех других кругов.

Итак, существует ли четвертый круг?

Она вроде бы существует, но в строгой формулировке все же есть некоторые сомнения, поэтому продолжим упрощать: есть окружность между двумя параллельными прямыми, существует ли четвертая окружность, касающаяся трех кривых?

Надо полагать, читатели смогут решить эту задачу за считанные секунды: такие круги не просто существуют, но их ровно два.

Вывод не кажется полезным, ведь он несколько упрощен. Но не забывайте, у нас есть мощный инструмент для «превращения кругов в линии» — инверсионное преобразование. Если любую фигуру с тремя касательными окружностями можно преобразовать в ситуацию «параллельных прямых, промежуточных между окружностью», проблема будет немедленно решена.

Следуя этому ходу мысли, нетрудно построить необходимое инверсионное преобразование: чтобы после инверсии получить две прямые, центр инверсии нужно поместить в точке касания двух окружностей. Таким образом, две окружности, проходящие через центр инверсии, становятся двумя параллельными прямыми; что более важно, из-за округлости и самоинверсии инверсионного преобразования инверсия третьей окружности представляет собой не только окружность, но и окружность. ...точно по касательной к двум прямым! Остальное просто: найдите инверсию четвертого круга и выполните инверсию.

Текстовое описание немного абстрактное, а анимация непосредственно демонстрирует процесс:

Как использовать обратное преобразование, чтобы найти четвертый круг
https://www.zhihu.com/video/1211009026919923712
Вернемся к исходному вопросу: «Могу ли я добавить четвертый круг так, чтобы он касался трех других кругов?» Ответ да, и не только это, но согласно только что проведенному анализу, есть ровно два круга, отвечающих требованиям. Объедините приведенные выше результаты в теорему:

Теорема Аполлония (Теорема Аполлония) Для данных трёх окружностей \color{grey}{C_1, C_2, C_3}, касающихся друг друга (но не в одной точке), существует ровно две окружности с \color{grey} {C_1, C_2, C_3} цвета {серый} {C_1, C_2, C_3} все касательные.
Следующие анимации показывают конкретное положение четвертого круга в двух случаях: «ex-ex-ex» и «in-in-ex».

Демонстрация положения четвертого круга
https://www.zhihu.com/video/1211012935990140928
Итак, касание четырех кругов существует.

А из-за требования касания четыре круга ограничивают друг друга, и между ними должна быть скрытая связь. В 1643 году французский математик Декарт указал на связь между радиусами четырёх окружностей в письме, что представляет собой знаменитую Теорему Декарта (Теорема Декарта). Чтобы доказать этот вывод, нам необходимо сделать некоторые дополнения к цикличности инверсионного преобразования, особенно к возникающей в нем количественной зависимости.

Во-вторых, обратите внимание на цикличность инверсионного преобразования.

Обратное преобразование может гарантировать форму обобщенного круга, но каков размер обратной формы после преобразования? Где находится это место? Напомним несколько ситуаций, рассмотренных ранее:

1. Прямая, проходящая через центр инверсии \mapsto Линия, проходящая через центр инверсии

Легко, антиформа полностью совпадает с исходным изображением, тут нечего сказать.

2. Линия \mapsto, не проходящая через центр инверсии \mapsto окружность, проходящая через центр инверсии

Предположим, что радиус круга инверсии равен R, центр инверсии равен О, а расстояние от точки О до линии l равно d. Теперь проведем перпендикуляр ОА от О к l и найдем антиточку А' ножки А. По кругообразности инверсионного преобразования мы знаем, что обратная форма прямой l — это окружность, проходящая через О, а ОА' — диаметр этой окружности! Из определения видно, что |OA'| = R^2/d, поэтому радиус обратной формы равен R^2/(2d), а линия, соединяющая центр круга и O, перпендикулярна l. .

3. Окружность \mapsto, проходящая через центр инверсии \mapsto линия, не проходящая через центр инверсии

Он аналогичен предыдущему случаю, поэтому я не буду здесь вдаваться в подробности, а сразу дам вывод: Предположим, радиус инверсионного круга равен R, радиус исходного изображения равен r, центр круга равен C. , и проходит через точку О. Тогда обратная точка \odot C — это прямая, перпендикулярная OC, а расстояние от точки O до прямой равно R^2/(2r).

4. Окружность, не проходящая через центр инверсии \mapsto Окружность, не проходящая через центр инверсии

Предположим, что радиус инверсионного круга равен R, центр инверсии — O, радиус исходного изображения — r, центр круга — C, а межцентровое расстояние |OC| = d. Теперь соедините OC и удлините его, пересеките исходное изображение в двух точках A, B и найдите из них антиточку A', B'. Согласно округлости, обратным \odot C является круг, не проходящий через O, а A'B' - диаметр этого круга. Согласно определению инверсии, его можно быстро получить: |A'B'| = 2 R ^2r/|d 2-r^2|, абсолютное значение в знаменателе должно учитывать случай, когда исходное изображение содержит центр инверсии. Таким образом, обратная сторона \odot C — это круг радиуса R ^2r/|d 2-r^2|, центр которого I коллинеарен с O,C, и |OI| = R^2 d/|d 2- ^r 2 |.

В любом случае взаимосвязь размера и положения между обратной формой и исходным изображением уже ясна, и легко найти взаимосвязь между радиусом исходного изображения.

Ограничение размера между тремя и четырьмя кругами - Теорема Декарта (Теорема Декарта)

Заготовки готовы, теперь можно доказать соотношение размеров в касании четырех окружностей:

Теорема Декарта (Теорема Декарта) Предположим, что направленные кривизны четырех попарно касательных окружностей \color{grey}{C_1, C_2, C_3, C_4} равны \color{grey}{k_1, k_2, k_3, k_4 } , тогда они удовлетворяют соотношению: \color{grey}{(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2)} \направленная кривизна и ориентация окружности связаны,
но о стольких понятиях мы пока говорить не будем, нужно просто понять: (1) размер кривизны |k_i| = 1/r_i; (2) направленная кривизна имеет знак (положительный или отрицательный) , если Если описаны две окружности, то их знаки кривизны одинаковы; если две окружности вписаны, их знаки кривизны различны; (3) Для любого касательного шаблона из четырех окружностей, если указан знак кривизны определенной окружности , остальные Знак кривизны окружности можно полностью определить.

Ниже приведены два касательных шаблона из четырех кругов. Вы можете просто проверить расчет, чтобы найти чувство и испытать вышеуказанное понимание.

Идея обработки такая же, как и в теореме Аполлония, а процесс доказательства разделен на три этапа: (1) использование преобразования инверсии для преобразования «четырех касательных окружностей» в простой случай «двух прямых, соединяющих две окружности»; (2) найти радиус инверсии в простых случаях; (3) обратно вывести радиус исходного изображения по инверсии и инверсному кругу.

Далее, давайте возьмем шаблон в правой части рисунка выше в качестве примера, чтобы представить доказательство декартовой теоремы. Цвета четырех кругов C_1, C_2, C_3 и C_4 на рисунке — розовый, красный, зеленый и синий соответственно, а радиусы предполагаются равными r_1, r_2, r_3 и r_4 соответственно, а кривизны направления равны к_1, к_2, к_3 и к_4.

Первый шаг уже был сделан раньше: поместите центр инверсии в точку касания двух кругов, и инверсия естественным образом сформирует «две линии, соединяющие два круга». Предположим, мы выбрали точку касания зеленого круга C_3 и синего круга C_4 в качестве центра инверсии, тогда их обратные формы C_3' и C_4' представляют собой две параллельные прямые линии, а обратные формы C_1' и C_2' розового круга C_1 и красного круга C_2 окажется между ними.

Поскольку радиус инверсионного круга еще не определен, расстояние между двумя прямыми можно изменять по своему желанию. Для удобства расчета на втором шаге выберем радиус R инверсионной окружности так, чтобы расстояние между двумя прямыми было ровно 2. Таким образом, радиус круга, заключенного в прямую, равен 1. Согласно рассмотренному ранее количественному соотношению, такой R должен существовать, поскольку существует решение следующего уравнения: \left| \dfrac{R^2}{2r_3} - \dfrac{R^2}{2r_4} \right| = 2 \ Левая часть знака равенства — это расстояние между двумя прямыми. И нас не волнует, насколько велико R, нам просто нужно знать, что оно существует, нет необходимости решать уравнение.

При стандартной форме «две линии и два круга» может пригодиться мощный инструмент аналитической геометрии. Установите систему координат с точкой касания C_1' и C_2' в качестве начала координат, чтобы две прямые линии были y=\pm1. С помощью системы координат можно определить координаты центра инверсной формы и центра инверсии O. В выбранном нами примере O находится выше C_4', поэтому можно предположить, что координаты точки O равны (x_0,y_0) и y_0>1.

Теперь, когда известны обратное уравнение и координаты центра инверсии, радиус исходного изображения можно определить согласно количественному соотношению по окружности: r_1 = \dfrac{R 2} ^{x_0 2+2x_0+y_0^2}, \quad r_2 = \dfrac{R ^2}{x_0 2-2x_0+y_0^2}, \ r_3 = \dfrac{R^2}{2(y_0+1)}, \quad r_4 = \dfrac{R^2} { 2(y_0-1)} \ При вычислении направленной кривизны по радиусу единственное, на что следует обратить внимание, это знак. Остальные окружности на исходном изображении вписаны в C_4, поэтому знак кривизны C_4 отличается от этого из других кругов. Полагая, что знак его кривизны отрицательный, получаем: k_1 = \dfrac{x_0 ^2+2x_0+y_0 2}{R^2}, \quad k_2 = \dfrac{x_0 ^2-2x_0+y_0 2}{R^2} , \ k_3 = \dfrac{2(y_0+1)}{R^2}, \quad k_4 = \color{red}{-}\dfrac{2(y_0-1)}{R^2} \ Остальные Убедитесь, что обе стороны знака равенства равны:
$$({к}_{}+{к}_{}+{к}_{}+{к}_{}{)}^2"="\frac{}{{р}^4}\left({х}_0^{}+2x{\_}_0^{}{й}_0^{}+{й}_0^{}+4x{\_}_0^{}+4{года}_0^{}+4\right)"="2({к}_1^{}+{к}_2^{}+{к}_3^{}+{к}_4^{})$$
Сертификат выполнен.

Честно говоря, это доказательство не так интересно, как предполагалось.Не говоря уже об использовании аналитической геометрии, мы всегда должны уделять внимание обсуждению классификации и деталям вычислений. Однако содержащиеся в нем идеи решения проблем действительно заслуживают изучения: начните с простой ситуации, а затем постарайтесь максимально преобразовать сложную ситуацию в простую и в то же время прояснить отношения до и после трансформации. , и завершите остальное в соответствии с процессом.

Используя теорему Аполлония и теорему Декарта в качестве теоретической поддержки, мы можем делать более приятные вещи, такие как рисование фракталов с четырехокружными касательными узорами в качестве затравок. Эти фракталы состоят из бесконечного числа касательных кругов, каждый из которых имеет целую кривизну (числа в кругах)!

Если вы видите это, вам не терпится попробовать использовать компьютер для рисования фракталов, и вы обнаружите, что ключевая проблема не решена: где расположены эти круги? Я дам ответ в следующей статье, и мне предстоит обсудить замечательные закономерности и выводы, полученные из касания четырех кругов.