アッカーマンの公式
1. アッカーマンの公式
次の系で
{ x ˙ = A x + B uy = C x \begin{cases} \dot x = Ax + Bu \\ y = Cx \end{cases}{
バツ˙=あ×+ブゥ_y=Cx _明らかに、特性多項式
φ A ( λ ) = λ n + an − 1 λ n − 1 + ⋯ + a 1 λ + a 0 \varphi _A ( \lambda ) = \lambda ^n + a_{ n-1} \ラムダ^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0ファイあ( l )=私n+あるn − 1私n − 1+⋯+ある1私+ある0制御変数をモーダルフィードバック制御に設定することにより (詳細はモーダルフィードバック制御の記事を参照)
u = − K xu = - Kxあなた=− K x系は
x ˙ = ( A − BK ) x \dot x = \left( A - BK \right) xバツ˙=( A−BK ）_xは、期待されるシステムの望ましい特性です
。{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + \gamma_1 \lambda + \gamma_0ファイｗ( l )=私n+cn − 1私n − 1+⋯+c1私+c0不変連続体
K = [ 0 0 ⋯ 0 1 ] ⋅ [ BAB ⋯ A n − 1 B ] − 1 ⋅ φ w ( A ) (1) K = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 . \cdots&0&1 \end{行列}\right]\cdot\left[\begin{行列}B&AB&\cdots&A^{n-1}B\end{行列}\right]^{- 1} \cdot \varphi _w(A) \タグ{1}K=[00⋯01]⋅[BＡＢ _⋯あn − 1 B]− 1⋅ファイｗ( A )( 1 )増加
ϕ w ( A ) = A n + γ n − 1 A n − 1 + ⋯ + γ 1 A + γ 0 I (2) \varphi _w (A) = A ^n + \gamma_{n- . 1} A^{n-1} + \cdots + \gamma_1 A + \gamma_0 I \tag{2}ファイｗ( A )=あn+cn − 1あn − 1+⋯+c1あ+c0私( 2 )式 (1) と (2) を使用して、モーダル フィードバック制御に必要なゲイン行列KKを計算できます。K。 _
2. 例
例: システムのコーシー形式を
A = [ 0 1 − 2 − 3 ] 、 B = [ 0 1 ] A = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -2 &-3 \end{ とします。行列 } \right], \quad B = \left[ \begin{行列} 0 \\ 1 \end{行列} \right]あ=[0− 21− 3]、B=[01] K 1 、K 2 K_1、K_2を決定してみます。K1、K2したがって、システムの期待される特性多項式はφ w ( s ) = s 2 + 4 s + 3 \varphi _w (s) = s^2 + 4s + 3 となります。ファイｗ( s )=s2+4秒+3。
システムは次数 2、つまりn = 2 n=2です。n=2なので、まずAB ABを計算できます。AB与 A 2 A^2 あ2：
AB = [ 0 1 − 2 − 3 ] ⋅ [ 0 1 ] = [ 1 − 3 ] AB = \left[ \begin{行列} 0 & 1 \\ -2 &-3 \end{行列} \right ] \cdot \left[ \begin{行列} 0 \\ 1 \end{行列} \right] = \left[ \begin{行列} 1 \\ -3 \end{行列} \right]AB _=[0− 21− 3]⋅[01]=[1− 3] A 2 = [ 0 1 − 2 − 3 ] ⋅ [ 0 1 − 2 − 3 ] = [ − 2 − 3 6 7 ] A^2 = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{行列} \right] \cdot \left[ \begin{行列} 0 & 1 \\ -2 &-3 \end{行列} \right] = \left[ \begin{行列} -2 & -3 \\ 6 & 7 \end{行列} \right]あ2=[0− 21− 3]⋅[0− 21− 3]=[− 26− 37]必要な多項式はs 2 + 4 s + 3 s^2 + 4s + 3s2+4秒+3 の場合、 γ 0 = 3 、 γ 1 = 4 \gamma_0 = 3、 \gamma_1 = 4 が得られます。c0=3 、c1=4。φ
w ( A ) = A 2 + γ 1 A + γ 0 I = [ − 2 − 3 6 7 ] + 4 [ 0 1 − 2 − 3 ] + 3 [ 1 0 0 1 ] = [ 1 1 − 2 − 2 ] \begin{aligned} \varphi _w (A) &= A ^2 + \gamma_1 A + \gamma_0 I \\ &= \left[ \begin{matrix} -2 & -3 \\ 6 & 7 \end{行列} \right] + 4 \left[ \begin{行列} 0 & 1 \\ -2 &-3 \end{行列} \right] + 3 \left[ \begin{行列} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{行列} \right] \\ &= \left[ \begin{行列} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{行列} \right] \end{aligned}ファイｗ( A )=あ2+c1あ+c0私=[− 26− 37]+4[0− 21− 3]+3[1001]=[1− 21− 2]那么、式(1)によれば、
K = [ 0 1 ] ⋅ [ BAB ] − 1 ⋅ φ w ( A ) = [ 0 1 ] ⋅ [ 0 1 1 − 3 ] − 1 ⋅ [ 1 1 − 2 − 2 ] = [ 1 1 ] \begin{aligned} K &= \left[ \begin{行列} 0 & 1 \end{行列} \right] \cdot \left[ \begin{行列} B & AB \end{行列} \right]^{-1} \cdot \varphi _w (A) \\ &= \left[ \begin{行列} 0 & 1 \end{行列} \right] \cdot \left[ \begin{行列} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{行列} \right]^{-1} \cdot \left[ \begin{行列} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{行列} \right] \ \ &= \left[ \begin{行列} 1 & 1 \end{行列} \right] \end{aligned}K=[01]⋅[BＡＢ _]− 1⋅ファイｗ( A )=[01]⋅[011− 3]− 1⋅[1− 21− 2]=[11]つまり、負のフィードバック パスの行列KKK＝
K = [ 1 1 ] K = \left[ \begin{行列} 1 & 1 \end{行列} \right]K=[11]対応する制御量は
u = − K x = − x 1 − x 2 u = -K x = -x_1 - x_2あなた=− K ×=− ×1−バツ2