序文

この記事では主に、動的計画法における行列連鎖の乗算問題、つまり行列連鎖が与えられた場合、その最小コスト計算次数を求める問題について説明します。動的プログラミング方式の分析と C 言語の実装について説明します。

1. 行列連鎖乗算

1. 問題の説明

$<A_1,A_2,A_3,A_4,...,A_n> のシーケンス (行列のチェーン) があるとします$ 。 $< あ、あ、あ、あ、 ... 、あ >$ $A_1 A_2A_3A_4...A_n を$ 計算したいとします。
$ああああ ... A$
行列チェーン乗算の場合、括弧を追加することで、どの 2 つの行列を最初に乗算するかを決定できます。掛け算の順序に関係なく、最終的な結果には影響しません。
ただし、異なる次数間の行列乗算の場合、コンピューターはまったく異なる代償を支払わなければなりません。
たとえば $A_1,A_2,A_3> 、ここで A_1 は 2*3、A_2は 3*4; A_3 は 4*1$
2 つの異なる戦略の削減コストを計算できます。

$A_1A_2)A_3)=2*3*4+2*4*1=32$
$A_1(A_2A_3))=3*4*1+2*3*1=18$

明らかに、この 2 つのコストはまったく異なります。さて、私たちの問題は行列チェーンが与えられた場合、その最小コスト計算順序を取得します。。

2. 問題解決

1. 最適な副問題構造

まず、対応する再帰的解の公式を直接与えます。
$i,j]=\begin{cases} 0& \text{ if }i=j \\ min\{ w[i,k]+w[k+1,j]+p_{i-1}p_kp_j\} & \text{ if } i<j \\ \end{cases}$

w[i,j] は、i 番目の行列から j 番目の行列までのパス上の行列チェーンの最小コストを表します。
$p_{i-1}p_kp_j$ 最適なサブソリューションから最適な親ソリューションまでを構築するのに必要なコストを表します。

2. 動的プログラミング

2 次元配列を使用して部分問題に対する最適な解決策を記録します。たとえば、w[2,4]の最適解は配列w[1,3]に記録されます（配列は0から始まるため）。
同時に、長さ 2 の部分行列チェーンから最適解を見つけ始め、最終的に n 行列チェーンの最適解が得られるまで長さを 1 ずつ増やします。
このプロセスでは 3 層のサイクルが使用されます

ループの最初の層は、マトリックスチェーンの長さを小さいものから大きいものまで横断します。
2 番目の層は 1 番目の層のループをループして、長さの下の部分行列チェーン内の最初の行列の位置を決定します。
3 番目の層は、最初の 2 つのループによって決定されたマトリックスチェーンのすべての「切断」スキームをループします。

3. 最適ソリューションの構築

動的計画法の 3 層ループの後、最小コストの特定の値を取得できますが、行列の乗算の具体的な順序は何か、最適な解を構築する必要があります。
最適なソリューションの構築を支援するために、2 次元の数値グループを使用します。

s[0,6] を使用して、行列チェーン w[1,7] の最初の括弧で囲まれた位置、つまりその k 値を記録します。
すべての場合の行列のチェーンの k の最適値を記録します。
その後、アルゴリズムを再帰的に呼び出すことで、括弧内の出力結果を取得できます。詳細については、以下のコードを参照してください。読者は、再帰ツリーを描くことによって、解決策を迅速に決定することもできます。

3、Cコード

1. コード

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>



//由于有n个矩阵链乘
//需要n+1个存储单元来存储行列信息
//此处SIZE为存储单元的个数
//因此矩阵链乘的个数是SIZE-1 
#define SIZE 10
//此处可以规定矩阵的行列数为1~LIM的随机数 
#define LIM 100
//注意：
//由于计算机存储数大小的限制
//SIZE和LIM不宜过大
//过大肯定会使得程序崩溃 



int Matrix_chain_order(int *p,int s[][SIZE-1],int w[][SIZE-1],int size)
{
    
    
	int i=0;
	int j=0;
	int k=0;
	int q=0;
	int l=0;
	int r=0;
	for(i=0;i<size-1;i++)
	{
    
    
		w[i][i]=0;
		s[i][i]=0;
	}
	for(i=2;i<=(size-1);i++)
	{
    
    
		for(j=1;j<=(size-i);j++)
		{
    
    
			l=j;
			r=j+i-1;
			w[l-1][r-1]=10000000;
			for(k=l;k<r;k++)
			{
    
    
				q=w[l-1][k-1]+w[k][r-1]+p[l-1]*p[k]*p[r];
				if(q<w[l-1][r-1])
				{
    
    
					w[l-1][r-1]=q;
					s[l-1][r-1]=k;
				}
			}
		}
	}
	return w[0][size-2];
}



void print_priority(int s[][SIZE-1],int l,int r)
{
    
    
	if(l==r)
	{
    
    
		printf("A%d",l+1);
		return;
	}
	printf("(");
	print_priority(s,l,s[l][r]-1);
	print_priority(s,s[l][r],r);
	printf(")");		
}



int main()
{
    
    
	int p[SIZE];
	int s[SIZE-1][SIZE-1];
	int w[SIZE-1][SIZE-1];
	int min_pay;
	int i=0;
	int j=0;
	srand((unsigned)time(NULL));
	for(i=0;i<SIZE;i++)
	{
    
    
		p[i]=rand()%LIM+1;
	}
	for(i=0;i<SIZE;i++)
	{
    
    
		printf("%5d",p[i]);
	}
	printf("\n");
	min_pay=Matrix_chain_order(p,s,w,SIZE);
	printf("%5d\n",min_pay);
	print_priority(s,0,SIZE-2);
	return 0;
}

2. 結果

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要約する

読者は記事の不適切な部分を修正してください。動的プログラミングに関するその他の質問については、「アルゴリズム入門」学習 (17)----動的プログラミング鋼帯切断 (C 言語) も
参照してください。

「アルゴリズム入門」を学ぶ(18) ～動的計画法の行列連鎖乗算（C言語）～

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