アダマール積の導出例

1 つの質問

x ∈ R n × 1 \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n \times 1} が与えられるとします。$バツ\in R^{n\times 1}$，$あ\in R^{n\times n}$ ,$f\left(x\right)=\sqrt{\left(Ax\right)\_\odot \left(Ax\right)\_}$。ここで$\sqrt{(\cdot )}$アダマール ルート (要素ごとの平方根)、つまり行列要素の項目ごとの平方根を表します。∂ f ∂ x \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} を求めます$\frac{\partial f}{\partial \times }$。

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2 解決する

2.1 まずアダマール積を使用して平方根を解きます

例: $b=Ax$，有：$db\_=d\left(Ax\right)=アド\times \_$

2.2 行列から行列の導出 一般に、行列は最初にベクトル化されます。

$$\begin{array}{rl}f\odot f& =\left(Ax\right)\_\odot \left(Ax\right)\_\\ & =b\odot \end{array}$$

微分アダマール積の性質によると、$d(x\odot や）=バツ\odot dY+dx\_\odot Y$
有:
$$\begin{array}{rl}d(f\odot f)& =f\odot df+df\odot f\\ & =f\odot df+f\odot df\\ & =2f\_\odot df\\ ダイアグ\left(f\right)\_\_\_vec(df& =ディアグ\left(b\right)\_inec\left(db\right)(性質:inec(A\odot \times )=\mathrm{ダイアグ}(A)\_\_\_ec(X)\; )で\end{array}$$
ここで、$diag\left(f\right)$は$n\times n$の対角行列、対角要素は行列$f$は列ベクトル化によって配置されます;$diag\left(b\right)$も同じです。

$$vec\left(df\right)={ダイアグ\left(f\right)\_\_\_}^{-1}\mathrm{ディアグ}\left(b\right)\_inec\left(db\right)$$

$$b\in R^{n\times 1}⟹inec\left(db\right)=db\_$$

$$\therefore ダイアグ\left(f\right)\_\_\_df=ディアグ\left(b\right)\_アド\times \_$$

$$vec\left(df\right)={ダイアグ\left(f\right)\_\_\_}^{-1}ディアグ\left(b\right)\_アド\times \_$$

分母レイアウトが使用される場合の行列から行列への導出:
$$vec\left(df\right)={\left(\frac{\partial f}{\partial \times }\right)}^{T}vec\left(dx\right)$$
が分子配置を採用する場合、
$$vec\left(df\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial \times }\right)vec\left(dx\right)$$

したがって、この問題について、分母レイアウトを使用すると、次のようになります。
$$\frac{\partial f}{\partial \times }={({diag\left(f\right)}^{-1}ディアグ\left(b\right)\_あ）}^{T\; が}$$
分子レイアウトを採用する場合:
$$\frac{\partial f}{\partial \times }={ダイアグ\left(f\right)\_\_\_}^{-1}ディアグ\left(b\right)\_あ$$