目次
序文
データ フィッティングとは、有限数のデータ ポイントを知り、これらのデータ ポイント近似関数を近似しようとすることを指します。そのため、関数は既知のデータ ポイントを通過する必要はなく、これらのポイントでの関数の最小合計偏差のみが必要です。多項式曲線に基づく経路計画では、境界条件を構築し、多項式関数を使用して滑らかな経路を計画しますが、最初と最後の点を通過するため、補間とみなすことができます。しかし、多項式関数を補間に使用すると、多項式の次数が大きくなるにつれて補間結果が元の関数から乖離してしまうことをルンゲ現象と呼びます。
1. ルンジ現象
ルンゲ現象は、1901 年にドイツの数学者カール ルンゲによって発見されました。彼は、高度な多項式補間のリスクに関する研究結果の中で単純な関数を示しました。
上式はルンゲ関数と呼ばれるものですが、この関数は多項式関数の補間の次数が大きくなるにつれて補間誤差が大きくなるというちょっと異常な性質を持っています。
直感的な理解を容易にするために、0.1 の間隔に従って [-1, 1] 間隔にルンゲ関数の散布点を描画し、MATLAB の Polyfit 関数を使用して次数 5 の多項式、次数の多項式を使用します。 9、次数 14 の多項式と次数 16 の多項式。 次数多項式はフィッティングに使用されます (MATLAB の Polyfit 関数は、特に、限られた数の散乱点をフィッティングするために多項式曲線を使用することを指します。この論文では、内挿の代わりにフィッティングが使用されます)。結果は以下の図 1 に示されています。
図 1 から、多項式の次数が低い場合、散布点によるグローバル フィッティング効果は不十分であることがわかります。多項式の次数が増加すると、散布点のローカル フィッティング効果は非常に良好になりますが、多項式の次数が低い場合、散布点のローカル フィッティング効果は非常に優れています。 -1 と 1 終点で大きな振動がある 上記の現象は、高度な多項式フィッティングを使用しても必ずしも精度が向上するとは限らないことを示しています。この方法で生成された多項式は、多項式の次数が増加するにつれて、通常は補間点に近い端点で実際に発散する場合があります。
2. ルンゲ現象を回避するには?
高次多項式を当てはめるときに発生するルンゲ現象を回避するために、通常、散乱点はマルチセグメント スプラインを使用して補間されます。実際、前のセクションの B スプライン曲線では、マルチセグメント スプライン曲線補間のアイデアを説明しました。B スプライン曲線は、基底関数とノード ベクトルのメカニズムを使用します。スプライン曲線は、次数の低い複数のスプライン曲線を接続して形成されます。スプライン関数は区分的平滑補間に属します。その基本的な考え方は、低次の多項式を使用して、2 つの隣接する値点によって形成されるそれぞれの小さな間隔を近似し、各値点の接続が滑らかであることを保証することです (つまり、導関数)連続です）。