3D 空間の点から線までの距離
3D空間の曲率
3 次元空間には、点、線、面という 3 つの基本要素があります。では、曲率はどのように定義されるのでしょうか?
ポイントの曲率は？
線の曲がり？
表面の曲率？
通常の曲率
ある点における曲面上の曲線の接ベクトルを df(X)、この点における曲面の法線ベクトルを N とします。この場合、曲線の法線曲率は、df(X) と N によって形成される平面上の曲線の投影曲線の曲率になります。
表面上の点 E を取得します。点 E における表面の法線は Z 軸です。Z 軸を通過する切断面は無数にあり得ます。各切断面は曲面と交差し、交線は平面曲線、各平面 曲線は点 E で曲率半径を持ちます。点 E における異なる切断面上の平面曲線の曲率半径は、一般に等しくありません。
主曲率
面の各方向には法線曲率があるため、法線曲率の最大値と最小値が存在し、その最大値と最小値が主曲率であり、この点における対応する曲線の接線方向が主曲率方向となります。これら 2 つの方向は直交します。
表面は主曲率に従って分類できます。
ガウス曲率
微分幾何学では、表面上の点におけるガウス曲率は、その点における主曲率 κ1 と κ2 の積です。
K = k 1 ∗ k 2 K = k_1*k_2K=k1∗k2
**これは曲率の固有の尺度であり、表面がどの程度本質的に湾曲しているかを測定します。** つまり、その値はサーフェス上での距離の測定方法のみに依存し、サーフェスが空間にどのように埋め込まれるかには依存しません。サーフェスの非ストレッチ変換では、ガウス曲率は変更されません。たとえば、平面のガウス曲率が 0 の場合、平面を円柱に曲げても、ガウス曲率は 0 のままです。
3D グリッドのガウス曲率計算式:
K ( v ) = 1 A ( v ) ( 2 π − ∑ vi ∈ N 1 ( v ) θ i ) K(v) = \frac{1}{A(v)}(2\pi - \sum_{v_i) \in{ N_1}(v)}\theta_i)K ( v )=A ( v )1( 2p _−v私は∈N _1( v )∑私私は）
この式の幾何学的意味は比較的直感的であり、2*Pi - 点の近傍にある三角形に対応する角度の合計を、対応する領域の面積で割ったもので、点の曲率の程度を表します。点の面。
平均曲率
微分幾何学では、表面上の点の平均曲率は、その点の主曲率 κ1 と κ2 の平均です。
K = k 1 + k 2 2 K=\frac{k_1 + k_2}{2}K=2k1+k2
空間内の表面がどの程度湾曲しているかを測定します。たとえば、平面を円柱に曲げると、その平均曲率はゼロではなくなります。
ガウス曲率
曲率を簡潔に説明するにはどうすればよいですか?
法線曲率、主曲率、ガウス曲率、平均曲率
の計算と視覚化三角形メッシュ表面のガウス曲率