時系列分析自己回帰モデルAR

自己回帰モデル (略して AR モデル) は、時系列変数とその過去の値の間の関係を記述するために使用される時系列分析手法です。AR モデルは、現在の観測と過去の観測の間に線形関係があると仮定し、過去の観測を使用して将来の観測を予測します。

AR モデルの一般的な形式は次のように表現できます。

Y_t = c + Σ(φ_i * Y_(ti)) + ε_t

このうち、Y_tは現時点tの観測値、cは定数項目、φ_iは時点tiの重みを表す係数、ε_tは誤差項目またはランダム干渉項目である。

AR モデルの次数は、モデルに含まれる過去の観測の数を指します。たとえば、AR(1) モデルは 1 つの過去の観測を使用し、AR(2) モデルは 2 つの過去の観測を使用します。

ARモデルのパラメータ推定には、通常、最小二乗法や最尤推定法が用いられます。最小二乗法は、観測値と予測値の間の二乗差を最小化することによってモデルパラメーターを推定します。最尤推定法は、観測値の確率分布をモデル化し、観測値が発生する確率を最大化するパラメータ値を見つけることに基づいています。

AR モデルからの予測は、過去の観測をモデルに取り込むことで得られます。モデルのパラメーターが推定されると、既存の観測値を使用して将来の観測値を予測できます。通常、予測精度はモデルの次数に応じて向上しますが、より多くのノイズが発生する可能性もあります。

適切な AR モデル次数を選択するために、Akaike Information Criterion (AIC) や Bayesian Information Criterion (BIC) などのいくつかの一般的な統計指標を使用できます。これらのメトリクスは、モデルの適合度とパラメーターの数の間のバランスを考慮し、最適な順序を決定するのに役立ちます。

AR モデルは、時系列分析、特に経済学、金融、気象学などの分野で広く使用されています。これは、時系列データをモデル化および予測するためのシンプルかつ効果的な方法を提供します。時系列の動的な特性をより適切に捕捉するために、他のモデル (移動平均モデルなど) と組み合わせて、より複雑なモデルを形成することもできます。アルマ、アリマなど

AR モデル (自己回帰モデル、AR モデルと呼ばれる) には次のような利点と欠点があり、使用上のヒントがいくつかあります。

アドバンテージ：

シンプルさ: AR モデルは線形モデルであり、理解と実装が簡単です。過去の観測値のみを独立変数として使用し、考慮すべき他の複雑な要因はありません。
モデリング機能: AR モデルは、時系列データの自己相関構造、つまり現在の観測と過去の観測の関係をキャプチャできます。将来の観測結果を予測し、データの傾向とパターンを明らかにします。

欠点:

定常系列にのみ適用可能: AR モデルでは、時系列が定常であること、つまり、平均、分散、および自己相関が時間の経過とともに変化しないことが必要です。系列が非定常である場合、非定常性を考慮するために差分モデルまたは他のモデルが必要になる場合があります。
過去の観測に対する感度: AR モデルの予測結果は過去の観測の影響を受けるため、長期予測を扱う場合には誤差が蓄積する問題が発生する可能性があります。次数が大きいとモデルが過剰適合する可能性があり、次数が小さいと時系列の複雑なダイナミクスを捕捉できない可能性があります。
季節データを処理できない: AR モデルは、明らかな季節性のある時系列を直接処理できません。季節パターンのあるデータの場合、季節 AR モデル (SAR) または ARIMA モデルをモデリングに使用できます。

スキル:

次数の選択: 適切な AR モデルの次数を選択することが非常に重要です。AIC や BIC、モデル残差の自己相関プロット (ACF) や偏自己相関プロット (PACF) などの情報基準を使用して、最適な次数を決定できます。
モデル診断: AR モデルが確立された後、モデル診断を実行して、モデルの残差がモデルの仮定を満たしているかどうかを確認する必要があります。残差の自己相関プロットや正規性検定などの方法を使用して、モデルの適合度を評価できます。
データの前処理: AR モデルを適用する前に、通常、データの前処理が必要です。これには、欠損値の処理、定常性テスト、差分演算などが含まれます。データの安定性を確保することは、AR モデルを効果的に適用するための前提条件です。
モデルの改善: AR モデルが時系列データの特性をうまく捉えることができない場合は、ARMA、ARIMA などのより複雑なモデルを使用したり、他の要素や外部変数を組み合わせたりして、モデルの精度を向上させることができます。

要約すると、AR モデルはシンプルで効果的な時系列分析手法です。その制限にもかかわらず、適切な状況下では、順序を適切に選択し、必要なデータ処理とモデル診断を行うことで、AR モデルは有用な予測と洞察を提供できます。

以下は、Python と statsmodels ライブラリを使用して AR モデルを実装するためのサンプルコードです。

import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm

# 创建一个示例时间序列数据
data = pd.Series([2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20])

# 拟合AR模型
order = 1  # AR模型的阶数
model = sm.tsa.AR(data).fit(maxlag=order)

# 打印模型参数
print('模型参数：')
print('常数项:', model.params[0])
print('AR系数:', model.params[1])

# 进行未来值的预测
future_values = model.predict(start=len(data), end=len(data)+2)
print('未来值的预测：')
print(future_values)

この例では、最初に単純な時系列データを作成し、次にsm.tsa.AR関数を使用して AR モデルを適合させます。maxlagこのパラメーターは AR モデルの次数を指定します。ここでは 1 に設定されています。次に、fitメソッドを使用してモデルを適合させ、モデルのパラメーターを取得します。

次に、predictこの方法を使用して将来の観測を予測できます。この例では、将来の 3 つの観測値を予測します (最後の観測値から開始します)。予測結果はfuture_values変数に格納され、出力されます。

これは AR モデルの単純な例にすぎないことに注意してください。実際には、特定のデータとニーズに基づいて、より複雑なモデリングと分析を実行できます。

時系列分析自己回帰モデルAR

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