概要

数学模型：沟通现实世界与数学世界的桥梁。
数学建模:：建立数学模型的全过程。
算法：解决问题的手段和策略。

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概要
序文
1. 初級モデル
要約する

序文

科学技術、教育、文化の継続的な発展により、私たちの生活水準は向上し続けており、私たちは質の高い生活にますます注目しています。このようにして、多くの質の高い問題に直面することになります。数学的モデリングの技術はますます重要になっています、彼は私たちを助けてくれます

実践的な問題の解決: 数学的モデリングは、数学的な手法やツールを使用して問題を解決および分析し、問題を解決するためのアイデアや手法を提供できるように、実践的な問題を数学的な問題に変換できます。

最適な設計: 数学的モデリングは、数学的モデル分析と設計パラメーターの最適化を通じて、製品、システム、プロセスの設計において役割を果たし、製品とシステムのパフォーマンスと効率を向上させることができます。

予測と予防: 数学的モデリングは、自然災害や伝染病などのいくつかの重大な出来事を予測して防止し、それらに対処するための効果的な措置を講じるのに役立ちます。

開発の促進: 数学的モデリングは、新しい分野の探索と新しい問題の解決に役立ち、科学技術の開発と革新を促進します。多くの人が数学的モデリングを学び始めていますが、

この記事では、数理モデリングの基本を紹介します。

1. 初級モデル

1.1 数学的モデリングの例

古代から現代まで。私たちは生活や学習の過程で数学的モデルに触れており、これらのモデルのいくつかは先人によって確立されています。
例えば：

ユークリッド幾何学は、現実世界の空間形態に対する最初の数学モデルを構築しました。
ニュートンは、微積分とケプラーの第 3 法則を使用して、シミュレートされた現実における重力の法則を確立しました。
19 世紀には、数学が電磁気学に応用され、マクスウェルによって確立された電子方程式 (4 つの微積分から構成される数学モデル) が確立されました。
Mark は数学的モデリングを使用して、CT スキャナーがどのように動作するかの数学的モデルを実装しました。
天気予報の予測では、天気を予測するための対応する数学的予測モデルを確立できます。
私たちの生活の質を向上させるために、航空宇宙、医療、経済、製造、農業などで数理モデリングの成功例が数多くあります。

1.2 数学的モデリングの方法と手順

1.モデル

模型これは、特定の目的のために原型情報の一部を削減および精製することによって形成されます原型替代物。

2. 画像モデル

形象模型物体の実際の大きさに基づいて一定の比率に従って作成されたモデルを画像モデルと呼び、画像モデルを画像モデルとも呼びます直观模型。比如:車、家など。
ここに画像の説明を挿入

3. 記号モデル

符号模型符号何かの特徴を鮮やかに描写することです。比如:航空写真、回路図、細胞分子図
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水槽の中のものも舰艇模型、飛んでいるものも、飞机模型すべて物理模型です。物理モデルは、主に科学研究者が特定の目的のために類似性の原理に従って構築したモデルです。プロトタイプの形状や類似の特徴を示すだけでなく、使用することもできます模拟实验，间接的研究模型的某些规律。たとえば水箱中的建筑模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能。飛行する飛行機のモデルは実験に使用されます飞机在气流中的空气动力学特性。
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後の章では、推論に量纲分析方法適した設計のいくつかを紹介します。物理模型原型物理指标

4. では、数学モデルはどのように定義すればよいのでしょうか?

数学モデルは、内部法則に従って現実世界を構築する特定目的ために必要なモデルの一種です简化假设。適切に数学工具入手したものを活用してください数学表示。

数学的モデルは、実際の主題の本質的な属性を抽象的かつ簡潔に記述したものであり、いくつかの客観的な現象を説明したり、将来の発展法則を予測したり、特定の線の発展を制御するための、ある意味での究極的な解決策を提供したりする場合があります。 .より良い戦略、より良い戦略を手に入れましょう。

5. 数学的モデリングプロセス:

数学的モデルを確立するプロセス全体は数学的モデリングと呼ばれます。数学的モデリングのプロセス全体には次のものが含まれます。

実践的な問題を数学的な問題に変換します。
数学的問題解決。
数学的な解決策のチェックと、それに続く実践的な質問への回答。

图示：
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上の図は、現実的な情報表現を数学的モデルに変換したものです。そして、数学の世界で数理モデルの解を求めます。次に、数学セクションを使用して実際の問題に答え、実際の問題を合理的に説明できるかどうかを検証します。左半分は新しい世界を表し、右半分は数学的な世界を表しており、数学的モデリングのプロセスは双方向の変換プロセスです。1 回目は実際的な問題を数学的な問題に変換し、2 回目は数学的な解決策を実際的な問題に変換します。数理モデリングのプロセスは、実践から理論、そして実践へのサイクルを実現します。

6.モデリング方法：

机理分析方法大きく分けて2種類あります测试分析方法。
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机理分析方法客観的な物事の特徴を理解し、その内部の仕組みを反映した成立法則を見出すことです。
测试分析方法物体をブラックボックスシステム、つまり内部の仕組みが不明なシステムとして捉えることです。
測定データから統計解析を行う必要があるため、多くの実際的な問題では、2つのモデリング手法を組み合わせてモデル構造を確立する、つまり機構解析を使用することがよくあります。モデルの構造が確立された後、各モデルの詳細かつ正確なパラメーターを決定するためのテスト分析が行われます。これにより、モデルの堅牢性が保証されます。

7.小Demo

数学的モデリングは人生の学習プロセスに遍在しているため、決して珍しいことではありません。例如：たとえば、中学校の応用問題航行问题。微积分中导数定积分概念的引入数学モデリングは大学に存在します。モデリングの小さなケースを見てみましょう。

最初は微積分の小さなケースです。
- 事例説明:
  香港・珠海・マカオ大橋は多くの利点があり、最も困難な建設と最高の技術内容を備えた世界最長の海を渡る橋です。技術者は橋脚を建設し、橋のセクションの排水を行う必要があります。水を汲み上げる方法は？水を汲み上げるのにどれくらいの費用がかかるかを見積もることは、エンジニアにとって考慮すべき現実的な問題です。では、この実際的な問題を説明するにはどのような量を使用すべきでしょうか?
- 問題の絞り込み:
  行われた仕事量によって定量化できます。つまり、きれいな水をゼロにするためにどれだけの仕事を行う必要があるか? どのように計算するのでしょうか?
- 熟考すべき質問:
  仕事は水の重さとプールの高さの積に等しいでしょうか? 採血の過程で、血液の水位は徐々に低下します。水が上から下に層になっている場合、各層の水カップが引き抜かれるときに移動する距離は異なるため、水の重力とプールの高さを掛けて計算することはできません。
  
  最终确定この問題を解決するには、機構解析手法を利用して積分過程でモデル化する、つまりそれを使用します微元分析方法。完了した作業を見積もることができます。
- モデリングの手順:
  
  上記の場合数学建模的步骤为
  1. 最初のステップは、生成する必要があるモデルを構築することです假设. 直径 10 m、水深 20 m の円柱であると仮定します。
  2. 2段目の直径は变量说明2r=10です。x 軸方向下向きの座標系を設定します。 x は積分変数で、その積分区間は 0 ～ 20 です。私たちは水を微量元素 x から x+dx の小さな乗算に分割します。
  3. パート 3建立模型
  4. 最後に、 4 番目の部分では数学求解結果を検証する必要があります。
人生の小さな事件。
- ケースの説明:
  平らでない地面でも椅子を安定させることができますか? この問題は、日常生活でよくある現実に起因しており、4 本脚の椅子を平らでない地面に置いた場合、通常は 3 本の脚しか地面にありません。数回動かすだけで、4 つの足すべてが同時に地面に着きます。次に、数学的言語を使用してこの実際の問題を説明し、数学的ツールを使用してそれを証明します。
- 問題の改善:
  4 つの足を同時に地面に落とすには、数回移動するだけで済みます。
- 考えるべき質問:
  数学建模步骤:
  1. まず、モデルについての仮説を立てます。
    仮定 1: 椅子の 4 本の脚は同じ長さであり、脚は地面と点接触しています。そして、四隅を結んだ線は正方形を形成します。
    仮定 2: 地面の高さは連続的に変化します。つまり、地面には段差がありません。
    仮定 3: 地面は比較的平坦である、つまり、地面に深い溝や突起はありません。椅子のどの位置でも、少なくとも 3 本の足が床を掃いていることを確認してください。
  2. 2 番目のステップは変数の指定です。
    椅子が動いた場合、变量それを説明する椅子を見つける必要があります椅子的位置。既知の角度を結ぶ線が正方形であると仮定しました。正方形の対称中心によれば、それが対称点です。正方形を中心に回転させると、位置が変更されることを意味します。したがって、描画に变量旋转角度θ使用してください椅子的位置。
    
    私たちが証明したい結論は、椅子の足が地面に触れるということですが、それを量でどのように説明すればよいでしょうか?
```
脚着地呢就表示脚和地面的距离为零，那θ发生改变后，距离也会发生改变，所以呢距离是它的函数。
已知呢有四个角，那有四个距离，由于正方形的对称性呢，我们只要设两个距离就可以了，可以减少变量。
对角线A，C两角的距离之和，我们把它记作==f(θ)。Bd两角的距离之和呢，我们把它记作记==g(θ)。
```
  3. 3 番目のステップはモデルを構築することです。
    
    地面は連続した表面であると仮定しました。
    数学的言語に翻訳すると、関数 f(θ) と g(θ) が連続関数であることを意味し、どの位置でも少なくとも 3 つの足が地面にあることが知られています。
    数学言語に翻訳すると、f(θ) に g(θ) を乗じた値は 0 に等しくなります。
    椅子は、正方形の対称線に基づいて 90 度回転し、どの対角線を交換する必要があります。
    初期位置、つまり θ が 0 のとき、2 つの点 b と d が地面上にあると仮定します。したがって、g(0)=0、f(0) は 0 より大きく、
    90 度回転すると BD は AC になります。f(π/2) は g(0)=0 に等しいこのようにして
    、実際の問題を数学の問題に変換します。
    上のボックス内に表示
  4. 4 番目のステップは数学的解決です。
    微積分ツールには、学習した微積分の借用定理を使用します。それを証明したいので、簡単な証明を行いますf(θ)×g(θ)=0。f(θ)-g(θ)にゼロ点があるのと等価です。関数を構築しましょうh(θ)=f(θ)-g(θ)。既知の条件によれば、h0>0 が得られます。H2 のスコアは 0 未満です。