ブルーブリッジカップ 22日目 (Python) (クレイジークエスチョン 5日目)

質問の種類：

1. 思考問題・雑問題：数式、問題の意味分析、パターン発見

2. BFS/DFS: ワイド検索 (再帰的実装)、ディープ検索 (deque 実装)

3. 簡単な整数論：法、素数（int(sqrt(n))+1まで判定するだけ）、gcd、lcm、高速べき乗（ビット演算シフト演算）、大数分解（素数の積への分解）数字)

4. 単純なグラフ理論: 最短パス (1 対多 (Dijstra、隣接テーブル、行列の実装)、多対多 (Floyd、行列の実装))、最小スパニング ツリー (および検索セットの実装)

5. 単純な文字列処理: リスト操作に切り替えるのが最善です

6. DP: 線形 DP、最長共通部分列、0/1 ナップザック問題、最長連続文字列、最大増加部分文字列

7. 基本アルゴリズム: バイナリ、グリーディ、組み合わせ、順列、プレフィックス合計、差分

8. 基本的なデータ構造: キュー、セット、辞書、文字列、リスト、スタック、ツリー

9. よく使用されるモジュール: math、datetime、sys での最大再帰深さの設定 (sys.setrecursionlimit(3000000))、collections.deque (キュー)、itertools.combinations (list, n) (組み合わせ)、itertools.permutations (list) 、n) (順列) heapq (スモールトップヒープ)

目次

1. ペーパーナイフ（思考）

2. 整数を求める

3.「素因数の数」実問題演習（大数の分解）

 4.「長方形モザイク」の実際の実践（列挙型走査）

5.「エリミネーションゲーム」（暴力サイクル）編集

6. 並べ替え (差分配列、貪欲)

7.「完全順列の価値」練習問題（数学の定理、考え方）

 8. 「最長の非減少部分列」の実際の実践 (DP)

 9.「最適クリアリングスキーム」実問演習（暴力、線分ツリー）

 10. 「数字の分割」の実際の練習

---

1. ペーパーナイフ（思考）

 カット数は確実！ルールを見つけて出力を印刷するだけです。

2. 整数を求める

import sys  #设置递归深度
import collections  #队列
import itertools  # 排列组合
import heapq  #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
import functools   # 自定义比较函数  -1不变，1交换


def lcm(x,y):
   return x//math.gcd(x,y)*y

x=3
step=1

b=[0,0,
   1,2,1,4,5,4,1,2,9,0,5,10,
   11,14,9,0,11,18,9,11,11,15,17,9,
   23,20,25,16,29,27,25,11,17,4,29,22,
   37,23,9,1,11,11,33,29,15,5,41,46
   ]

'''
3 5 7 8 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27      2递增
5 8 11 14 17 20 23 26 29 32     3递增筛选    5 11 17 23  
5 9 13 17 21 25 29 33     4递增    5 17 29

'''


for i in range(2,50):  # 类似埃式筛法
   while x %i !=b[i]:   
      x+=step
   step=lcm(step,i)  # 更新步长
print(x)

 法を見つけるための以前のいくつかによると、暴力的な移動または法を見つける

3.「素因数の数」実問題演習（大数の分解）

標準スケジュール:
 

n = int(input())
ans = 0
#从2开始进行质因子分解
i = 2
while i * i <= n:
    if n % i == 0:
        ans += 1
        while n % i == 0:
            n //= i
    i += 1
if n != 1:
    ans += 1
print(ans)

from random import randint
from math import gcd

def witness(a, n):
    u = n - 1
    t = 0
    while u % 2 == 0:
        u = u // 2
        t += 1
    x1 = pow(a, u, n)
    for i in range(1, t + 1):
        x2 = x1 * x1 % n
        if x2 == 1 and x1 != 1 and x1 != n - 1:
            return True
        x1 = x2
    if x1 != 1:
        return True
    return False

#miller_rabin素性测试 对数字n进行s次测试
def miller_rabin(n, s = 5):
    if n < 2:
        return False
    if n == 2:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False
    for i in range(s):
        a = randint(1, n - 1)
        if witness(a, n):
            return False
    return True

#返回一个因子，不一定是素因子
def pollard_rho(n):
    i, k = 1, 2
    c = randint(1, n - 1)
    x = randint(0, n - 1)
    y = x
    while True:
        i += 1
        x = (x * x + c) % n
        d = gcd(abs(x - y), n)
        if d != 1 and d != n:
            return d
        if y == x:
            return n
        if i == k:
            y = x
            k = k * 2

factor = []
#找所有的素因子
def findfac(n):
    if miller_rabin(n):
        factor.append(n)
        return
    p = n
    while p >= n:
        p = pollard_rho(p)
    findfac(p)
    findfac(n // p)

n = int(input())
findfac(n)
print(len(set(factor)))

 4.「長方形モザイク」の実際の実践（列挙型走査）

 

 4面、6面、8面の場合を順番に考えて数え上げて横断する

標準スケジュール:

T = int(input())
while T != 0:
    T -= 1
    a = list(map(int, input().split()))
    a = [[a[0],a[1]], [a[2],a[3]], [a[4],a[5]]]

    ans = 8
    #枚举第一个矩形下标为i，第二个矩形下标为j，第三个矩形下标为k
    for i in range(3):
        for j in range(3):
            for k in range(3):
                if i == j or i == k or j == k:
                    continue
                #枚举三个矩形的两条边
                for ii in range(2):
                    for jj in range(2):
                        for kk in range(2):
                            if a[i][ii] == a[j][jj]:
                                ans = min(ans, 6)
                                if a[i][ii] == a[k][kk]:
                                    ans = min(ans, 4)
                            if a[i][ii] == a[j][jj] + a[k][kk]:
                                ans = min(ans, 6)
                                if a[j][1 - jj] == a[k][1 - kk]:
                                    ans = min(ans, 4)

    print(ans)

5.「エリミネーションゲーム」（暴力のサイクル）

暴力的なサイクル、1 ラウンドをスキャン、マージン文字を確認、添字を記録、スキャン後に削除、完了後にサイクルを継続、終了条件: 現在の文字が空であるか、1 サイクル後も長さが変化しません。

標準スケジュール:

s = list(input())
last_length = 0

while True:
    length = len(s)
    #如果长度等于0，终止
    if length == 0:
        print("EMPTY")
        break
    #如果长度未发生变化，终止
    if length == last_length:
        print("".join(s))
        break
    vis = [0] * length
    #根据题意找出边缘字符
    for i in range(length):
        if (i - 1) >= 0 and (i + 1) < length and s[i] == s[i - 1] and s[i] != s[i + 1]:
            vis[i] = vis[i + 1] = 1
        if (i - 1) >= 0 and (i + 1) < length and s[i] != s[i - 1] and s[i] == s[i + 1]:
            vis[i] = vis[i - 1] = 1
    #将边缘字符去除
    tmp_s = []
    for i in range(length):
        if vis[i] == 0:
            tmp_s.append(s[i])
    s = tmp_s
    last_length = length

6. 並べ替え (差分配列、貪欲)

 暫定的なアイデア: 再クエリされた間隔を記録して交差があるかどうかを確認し、交差間隔を最大値に置き換えます。

差分配列

 肯定的な解決策: 間隔を読み取り、間隔の訪問数 (差分配列によって実現) をマークし、貪欲なアイデアに従って、訪問数が最も多い位置に大きな値を置きます。

標準スケジュール:

import sys  #设置递归深度
import collections  #队列
import itertools  # 排列组合
import heapq  #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
import functools   # 自定义比较函数  -1不变，1交换


# 总体思路：查询最多的那一个放最大值，不需要序号，只需要记录最大次数
n = int(input())
a = list(map(int,input().split()))
a=[0]+a
b=[0]*(n+10)
s=[0]*(n+1)

m=int(input())
for i in range(m):
   # 差分数组实现区间加法更新
   l,r = map(int,input().split())
   b[l]+=1
   b[r+1]-=1

#对差分数组前缀和，得到每个数字的查询次数
for i in range(1,n+1):
   s[i]=s[i-1]+b[i]

# sum1为原始和，sum2为贪心后的最大值
sum1,sum2=0,0
for i in range(1,n+1):
   sum1+=a[i]*s[i]

# 贪心思想，大对大，小对小
a.sort()
s.sort()

# 计算重新排序后的
for i in range(1,n+1):
   sum2+=a[i]*s[i]
print(sum2-sum1)

7.「完全順列の価値」練習問題（数学の定理、考え方）

予備的な考え:パターンを探していますか? ルールがない場合は、すべての順列をリストし、暴力を繰り返し、できるだけ多くのポイントを獲得してください。

 法則を見つけてデータの 20% を正しく取得する

import sys  #设置递归深度
import collections  #队列
import itertools  # 排列组合
import heapq  #小顶堆
import math
sys.setrecursionlimit(300000)
import functools   # 自定义比较函数  -1不变，1交换


#4 0+1*3+2*3+3*3+4*3+5*3+6
#3 0+1+1+2+2+3
#2 0+1

ans=0
n = int(input())
for i in range(1,n*(n-1)//2):
   ans+=(n-1)*i%998244353
print((ans+n*(n-1)//2)%998244353)

 肯定的な解: 順序数と順序数を反転したものとの合計は n*(n-1)//2、順序数と順序数を反転したものは等しく、n 個の数値には n という共通点があります。フル配列、つまり順序​​と逆順の合計は n!*n*(n-1)//2 なので、値の合計は上記の式を 2 で割ったものになります。

標準スケジュール:

mod = 998244353
n = int(input())
ans = n * (n - 1) // 2 % mod
for i in range(3, n + 1):
    ans = ans * i % mod
print(ans)

 8. 「最長の非減少部分列」の実際の実践 (DP)

暫定的なアイデア: DP アルゴリズム、つまり最長の増分サブシーケンス テンプレートを使用してこれを実行し、最長のサブシーケンスの添え字を記録し、DP 配列を使用して後ろから前まで検索して走査し、存在するかどうかを確認します。要素が最長のサブシーケンスより小さく、間隔が K より大きい場合、直接 +k?

問題があるはず、この考え方には問題がある！！すべてのデータを渡すことは不可能であり、検討は不完全です。

肯定的な解決策: DP 最長増分テンプレートを使用するというアイデアは似ていますが、線分ツリー テンプレートを使用して維持する必要があるため、この質問には満点を付けずにスキップしてください。

 9.「最適クリアリングスキーム」実問演習（暴力、線分ツリー）

 暫定的なアイデア:最初に操作 2 を選択し、次に操作 1 では暴力的なサイクルで十分です

 肯定的な解決策:考え方は同じですが、私の考えではすべてのデータを通過することはできず、線分ツリーで処理する必要がありますが、線分ツリーを学習していません。

maxn = 1000000 + 10
tree_mi = [0] * (maxn * 4)
tree_add = [0] * (maxn * 4)

n, k = list(map(int, input().split()))
a = list(map(int, input().split()))
a = [0, *a]

#线段树模板
#利用左右儿子信息更新节点o
def push_up(o):
    tree_mi[o] = min(tree_mi[o << 1], tree_mi[o << 1 | 1])

#利用节点o的lazy标记add更新左右儿子
def push_down(o):
    if tree_add[o] != 0:
        tree_add[o << 1] += tree_add[o]
        tree_mi[o << 1] += tree_add[o]
        tree_add[o << 1 | 1] += tree_add[o]
        tree_mi[o << 1 | 1] += tree_add[o]
        tree_add[o] = 0

#建树
def build(o, l, r):
    tree_add[o] = 0
    if l == r:
        tree_mi[o] = a[l]
        return
    mid = (l + r) >> 1
    build(o << 1, l, mid)
    build(o << 1 | 1, mid + 1, r)
    push_up(o)

#查询区间[L,R]的最小值
def query(o, l, r, L, R):
    if L <= l and r <= R:
        return tree_mi[o]
    push_down(o);
    mid = (l + r) >> 1
    ans = 1000000000;
    if L <= mid:
        ans = min(ans, query(o << 1, l, mid, L, R))
    if R > mid:
        ans = min(ans, query(o << 1 | 1, mid + 1, r, L, R))
    return ans

#区间更新[L,R]统一加上val
def update(o, l, r, L, R, val):
    if L <= l and r <= R:
        tree_mi[o] += val
        tree_add[o] += val
        return
    push_down(o);
    mid = (l + r) >> 1
    if L <= mid:
        update(o << 1, l, mid, L, R, val)
    if R > mid:
        update(o << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, val)
    push_up(o);


build(1, 1, n)
ans = 0
for i in range(1, n - k + 2):
    #查询区间[i, i+k-1]的最小值
    mi = query(1, 1, n, i, i + k - 1)
    if mi == 0:                     #无法进行区间消除
        #res表示当前的a[i]
        res = query(1, 1, n, i, i)
        #把当前的a[i]置为0
        update(1, 1, n, i, i, -res)
        ans += res
    else:
        ans += mi
        #区间消除
        update(1, 1, n, i, i + k - 1, -mi)
        #res表示当前的a[i]
        res = query(1, 1, n, i, i)
        #把当前的a[i]置为0
        update(1, 1, n, i, i, -res)
        ans += res
for i in range(n - k + 2, n + 1):
    ans += query(1, 1, n, i, i)
print(ans)

 10. 「数字の分割」の実際の練習

 

 暫定的なアイデア:大きな数の分解ができるはずです。2 つの素数または 1 つの素数に分解できるかどうかを確認します。分解できる場合は、yes を出力し、そうでない場合は、no を出力します。

import os
import sys
import math

# 请在此输入您的代码
t= int(input())
def check(n):
  count=[]  # 记录有多少个素数
  cur=0  # 指向列表，方便记录幂次
  for i in range(2,int(math.sqrt(n))+1):
    if n%i==0:
      count.append(0)
      if len(count)>2:
        print("no")
        return
      while n%i==0:
        n=n//i
        count[cur]+=1
      cur+=1  #记录下一个质数幂次
  if n>1:
    count.append(1)
    if len(count)>2:
      print("no")
      return
  #print(count)
  if len(count)==1 and count[0]>=2:
    print('yes')
    return
  if  len(count)==2 and count[0]>=2 and count[1]>=2:
    print('yes')
    return
  print('no')

for i in range(t):
  a=int(input())
  check(a)

肯定的な解決策:質問の意味が間違っているようですが、この質問が尋ねているのは、分解された素数の累乗が 2 より大きければそれでよいということです。(標準的な方法は、エスペラントふるいを使用して 4000 以内の素数をすべて取得することです。各数値を調べるには、最初に平方と立方体を判断し、次に 4000 以内の素数因数を列挙します。1 に等しい累乗がある場合、ループから直接ジャンプして no を出力します)

import os
import sys
import math

# 请在此输入您的代码
t= int(input())
def check(n):
  count=0  # 记录幂次
  for i in range(2,int(math.sqrt(n))+1):
    if n%i==0:
      while n%i==0:
        n=n//i
        count+=1
      if(count<2):
        print('no')
        return
      count=0   # 复位，记数下一个质数
  if n>1:  # 剩下一个质数，幂次肯定为1，不满足
      print("no")
      return
  print('yes')

for i in range(t):
  a=int(input())
  check(a)

標準スケジュール:

import os
import sys
import math

not_prime = [0]*4010
prime = []
# 预处理400以内的素数
for i in range(2,4001):
  if not_prime[i]==0:
    prime.append(i)
    for j in range(2*i,4001,i):  #埃式筛
        not_prime[j]=1

# 判断平方数
def square_number(x):
  y=int(x**0.5)
  return y*y==x or (y+1)*(y+1)==x   #防止精度出问题


# 判断立方数
def cubic_number(x):
  y=int(x**(1/3))
  return y**3==x or (y+1)**3 ==x
t = int(input())
for i in range(t):
  a=int(input())
  # 判断平方和立方
  if square_number(a) or cubic_number(a):
    print('yes')
    continue
  # 枚举4000以内因子
  falg=True
  for i in prime:
    if a%i==0:
      mi=0
      while a%i==0:
        a=a//i
        mi+=1
      if mi==1:
        falg=False
        break
  if falg:
    print('yes')
  else:
    print('no')