空間線から平面への交点の計算証明とソースコード

目的: 最近 C++ コードを作成し、いくつかの基本的なアルゴリズムに遭遇しました。空間内の線と平面の交差が必要です。

直線のベクトル表現: $L:\overrightarrow{r}=\overrightarrow{P_{}}+t\overrightarrow{N_{}}$；其中$\overrightarrow{P_{}}=⎝\begin{array}{c}{バツ}_{}\\ y_{}\\ z_{}\end{array}⎠$, $\overrightarrow{N_{}}=⎝\begin{array}{c}{n}_{バツ}^{}\\ n_y^{}\\ n_z^{}\end{array}⎠$
平面のベクトル表現: $円周率:{\overrightarrow{N_{}}}^T\cdot バツ+d_{}=0$；$\overrightarrow{N_{}}=⎝\begin{array}{c}{n}_{バツ}^{}\\ n_y^{}\\ n_z^{}\end{array}⎠$、$d$はスカラーです。

線と平面の交点には 3 つの状況があります:
1) 平面上
2) 平面に平行
3)平面と
交差

したがって、線が平面と交差するかどうかを判断する必要があります。従来の空間では、平面と直線が平面であれば、直線と平面のヘア ベクトルは垂直になります。したがって、$\overrightarrow{N_{}}$そして$\overrightarrow{N_{}}$間の角度。線が表面に対して垂直であれば、線は平面に対して平行になります。
$cos\left(\theta \right)->{\overrightarrow{N_{}}}^T\cdot \overrightarrow{N_{}}$
0 に近い場合は平行であることを意味します。

以下に交差の場合を紹介します
平面と直線が交差する場合、直線についてはttを計算するだけで済みますL : r → = P 0 → + t N 0 → L:\overrightarrow{r}=\overrightarrow{P_0}+t\overrightarrow{$N\_0$ }
$L:\overrightarrow{r}=\overrightarrow{P_{}}+t\overrightarrow{N_{}}$式$円周率:{\overrightarrow{N_{}}}^T\cdot バツ+d_{}=0$結果は以下の通り：
$$\begin{gathered} {\overrightarrow{N_{}}}^T\cdot (\overrightarrow{P_{}}+t\overrightarrow{N_{}})+d_{}=0 \\ =>{\overrightarrow{N_{}}}^T\cdot \overrightarrow{P_{}}+t{\overrightarrow{N_{}}}^T\cdot \overrightarrow{N_{}}+d_{}=0 \\ t=(-d_{}-{\overrightarrow{N_{}}}^T\cdot \overrightarrow{P_{}})/{\overrightarrow{N_{}}}^T\cdot \overrightarrow{N_{}} \end{gathered}$$
なぜなら、ベクトル$\overrightarrow{P_{}}$、$\overrightarrow{N_{}}$、$\overrightarrow{N_{}}$はすべて既知であるため、求められる$t=t_{}$。
を取り込んで
$$\overrightarrow{r_{}}=\overrightarrow{P_{}}+t_{}\overrightarrow{N_{}}$$

上記の式に基づくと、ソース コードは次のようになります。

bool LineRayToPlanePnt(Eigen::Vector3f& o_orign, Eigen::Vector3f& o_dir, Eigen::Vector4f& fn, Eigen::Vector3f& inter_pnt)
	{
    
    
		Eigen::Vector3f N = Eigen::Vector3f(fn[0], fn[1], fn[2]);
		float D = fn[3];
		if (std::abs(o_dir.dot(N)) < 1e-8)
		{
    
    
			return false;
		}
		float t = -(o_orign.dot(N) + D) / (o_dir.dot(N));
		inter_pnt = o_orign + t*o_dir;
	}