数学の実際的な目的は測定することです。最も古い例の 1 つは三角測量であり、もう 1 つは微分方程式です。後者は何のためにあるのでしょうか？一連の三角形分割の合計を計算するだけです。したがって、三角測量を知れば微分方程式も知ることができる、いわゆる温故知新です。ただし、この 2 つの複雑さはわずかに異なります。前者は 1 回の測定のみですが、後者は一連の測定が必要です。
微分方程式はニュートンとライプニッツによって作成されて以来 (図 0.1)、多くの科学者によって継承され使用されており、あらゆる分野も微分方程式に対応しています。
図0.1
たとえば、電磁気学はマクスウェル方程式に対応し、量子力学はシュレディンガー方程式に対応し、さらには集団理論もマルサス方程式に対応します。
2002年の夏、西側から何人かの専門家が中国を訪れて講義をしたのですが、講義のテーマは電磁波の微分方程式か量子力学の微分方程式でした。何故ですか？彼らはこう答えました。携帯電話製造会社であろうと、ナノ研究会社であろうと、これらの微分方程式を解く必要があります。
微分方程式は、携帯電話やナノメートルなど、国民の生活に個人的な影響を与えるものでもあり、微分方程式は関連研究にも関わっています。
人口予測など、国家経済や国民生活に関わる一部の主要な問題は、微分方程式によって数分以内に解決できます。トルストイの小説『戦争と平和』などの人文科学においても、歴史概念の解釈には微積分の考え方が取り入れられています。自然科学、工学技術、社会科学、人文科学はすべて微積分または微分方程式を使用していると言えます。
中学校では代数方程式と三角関数しか話さないので、微分方程式とは何でしょうか？大学では教えているものの、一般の人は微分方程式の知識が中途半端で「底なし」と感じています。ある日、「木の高さの測り方」についての議論を聞いて、突然ひらめき、微分方程式についても新たな理解が生まれました。読者と私は、この理解のプロセスを一緒に体験することができます (図 0.2)。
図0.2
ニュートンやライプニッツ、バローの微積分は昔から教科書に載っていますが、彼らが書いていることと彼らが考えていることはイコールではなく、彼らが何を考えているかは彼らだけが知っており、後世は彼らの経験に基づいて語ることしかできません。
— ある日、私は古い木の下を歩いていて、以下の議論を聞きました。
ツアーガイド: この古木は年々背が高くなり、測量士や地図作成者が毎年木の高さを測りに来ます。
観光客: 木の高さはどうやって測るのですか? 木を切り倒したいですか、それとも木に登りたいですか？
私はこう思います。三角関数があれば、木を切ったり登ったりする必要がなく、仮想斜辺の傾きだけで木の高さを測定できることを中学生は知っています (図 0.3)。
図0.3
しかし同時に、これも微分方程式のやるべきことだというひらめきもありました。
実際、山に面した場合、それも「直角三角形」に対応しますが、湾曲した斜辺、つまり丘の斜面を持ちます (図 0.4)。
図0.4
私たちは丘の中腹にいますが、視界が限られているため遠くを見ることができません。
この時点で、その傾きは一定ではなくなります。各点の傾斜 (これには、この点の周囲の湾曲した丘の斜面の局所的な特性のみが関係します) が既知であると仮定すると、ここでも同じ測定の問題が発生します。山を通過せずに山の高さを測定できるかということです。 、でもこの坂道だけ？
これは斜辺三角法に属し (斜辺三角形に基づいているため)、実際には最も単純な微分方程式を解きます。丘の斜面の各点の傾き (または傾き曲線) は既知であり、山の高さ (または高さ曲線、図 0.5 )。
図0.5
傾き曲線と高さ曲線が 1 枚の画像に結合されます (三角測量では傾きが最も重要な量なので、それらを 1 つずつ記録して傾き曲線になります)。
図0.6
図 0.6 の左側のグラフをセクションに縮小すると、曲線のセクションではすべての点の傾きがほぼ同じになります。始点の傾きをこの区間の傾きとして計測すると、この区間の高さの増分 ≒ 始点の傾き × 底の長さ ≒ 傾き曲線で囲まれる面積 となります。短縮後。個々の測定値の合計は次のようになります。
山の高さの合計 = 傾斜曲線で囲まれた面積。
これがニュートン・ライプニッツの公式です。
したがって、微分方程式を斜辺三角形分割と比較すると、その複雑さは初等三角形分割と比較できます。これらはどちらも三角形分割ですが、測定の数が異なります。
この微分方程式は単純ですが (最も単純な微分方程式とも呼ばれます)、非常に便利です。たとえば、いくつかの曲面の面積を測定するには、微分方程式を解くのに数分しかかかりません。そうでない場合、微分方程式やニュートン・ライプニッツの公式があるのとないのでは、数え切れないほどの計算を行う必要があり、決して終わることはなく、効率が大きく異なります。これが微分方程式を発明する必要性です。
つまり、木の高さの測定は三角法につながり、山の高さの測定は微分方程式につながります。現実（計測）が数学の初級から上級への進化を促すことがわかります。
現実にも同様の例はたくさんあり、例えば2000年の国勢調査では、全人口を戸別訪問で直接数え、12億6,600万人を数えるのに1年かかりました。微分方程式を使用して予測値を計算すると、大学生がほぼ同じ 13 億 4,500 万を計算するのに数分しかかかりません。これは、微分方程式を考案する必要性を示す実際的な例です (図 0.7)。
図0.7
それが数学の本質であり、効率を得るために別の方法 (たとえば、傾きや成長率を使用) を見つけることです。
大学生は微分方程式 (
) を解き、国勢調査の予測値を計算します。
私たちは今、中学校の三角測量で開発された微分方程式が何をするのかを一般に説明できるようになりましたが、木の高さを測定するだけでなく、多くの曲面の面積を測定したり、人口予測を計算したりすることもできます。これらの問題に対処するには、無数の演算を直接行う必要はなく、微分方程式を使用することで数分で計算できます。したがって、効率的になりたい場合は、微積分または微分方程式を学ぶ必要があります。
推奨読書
「微分方程式と三角測量」
著者: 林群
中国科学院院士の林群氏は、例を挙げて微分方程式を徹底的に説明し、木や山の高さを測るという思考の転換における数学の自由さと魅力を理解した。
