1. ポイント交換方法には、第1種交換ポイントと第2種交換ポイントがあります。
2. 積分代入法の導出と公式の適用の因果関係を深く理解する
前回の記事では、基本的な不定積分の公式を紹介し、不定積分の線形性を利用して少し複雑な公式を解きました。今日は引き続き別の方法、つまり要素を交換する方法を紹介します。
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第一種要素交換による積分法
置換積分法には 2 つのタイプがあります。まず、最初のタイプの置換積分法を紹介します。
ここでの証明は厳密ですが、別の種類の証明もあります。論理的には不合理ですが、応用すれば可能です。なぜそう言えるのでしょうか。最初に証明を見てみましょう:
この証明は一見「シームレス」で、赤い部分はg(x)の微分を使っていますが、ここでg(x)の微分と書けるのは、不定積分が微分として定義されているからです。 「dx」形式：
これは定義なので、微分形式を持たない定義など、別の定義はどうでしょうか。
そうなると、明らかに赤い部分は真実ではなくなります。
したがって、科学者が不定積分の形式を定義するとき、微分「dx」は、計算に便利な 2 番目の「原因と結果の逆転」証明方法使用できるように「意図的に」行われます。この点は非常に重要です。将来的には微分形式を直接計算に使用できますが、これは原因ではなく結果であり、本当の理由は最初の厳密な証明であることに注意してください。
形式的には微分部分が構成されているため、第一種の順列積分法は「複合微分法」とも呼ばれます。以下にいくつかの例を示します。
例1
例2
例3
例4
例5
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第 2 種要素の置換による積分法
次に、2 番目の種類の置換積分法を導入します。
同様に、次の方程式が成り立ちます。
これは、代入を伴う最初のタイプの積分に似ています。赤いボックス内の等号が真である理由は、方程式の終端の 2 つの辺が等しいためであり、科学者は「意図的に」不定積分の表記を採用しています。差動形式。この点は何度も強調されており、因果関係は明確でなければなりません。
以下に、2 番目のタイプの交換積分の理解を深めるために、いくつかの例を示します。
例6
例7
ここで注意すべき点は、x の値が a より大きいだけであるということです。明らかに、x が -a より小さい場合はあまり考慮されていません。
元の関数を導出するときに、x が a より大きいか -a より小さいかを考慮しないことがわかっているため、不定積分を求める別のケースでは、答えは同じでなければならないため、考慮できるケースは 1 つだけです。