ここでは、3 つのパラメータ初期化、つまり 0 への完全初期化、ランダム初期化、および異常勾配抑制初期化の比較を示します。
1 つ目は、順方向および逆方向の伝播、描画、およびデータのロードに必要な関数 init_utils.py です。
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sklearn
import sklearn.datasets
def sigmoid(x):
"""
Compute the sigmoid of x
Arguments:
x -- A scalar or numpy array of any size.
Return:
s -- sigmoid(x)
"""
s = 1/(1+np.exp(-x))
return s
def relu(x):
"""
Compute the relu of x
Arguments:
x -- A scalar or numpy array of any size.
Return:
s -- relu(x)
"""
s = np.maximum(0,x)
return s
def compute_loss(a3, Y):
"""
Implement the loss function
Arguments:
a3 -- post-activation, output of forward propagation
Y -- "true" labels vector, same shape as a3
Returns:
loss - value of the loss function
"""
m = Y.shape[1]
logprobs = np.multiply(-np.log(a3),Y) + np.multiply(-np.log(1 - a3), 1 - Y)
loss = 1./m * np.nansum(logprobs)
return loss
def forward_propagation(X, parameters):
"""
Implements the forward propagation (and computes the loss) presented in Figure 2.
Arguments:
X -- input dataset, of shape (input size, number of examples)
Y -- true "label" vector (containing 0 if cat, 1 if non-cat)
parameters -- python dictionary containing your parameters "W1", "b1", "W2", "b2", "W3", "b3":
W1 -- weight matrix of shape ()
b1 -- bias vector of shape ()
W2 -- weight matrix of shape ()
b2 -- bias vector of shape ()
W3 -- weight matrix of shape ()
b3 -- bias vector of shape ()
Returns:
loss -- the loss function (vanilla logistic loss)
"""
# retrieve parameters
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]
W3 = parameters["W3"]
b3 = parameters["b3"]
# LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
z1 = np.dot(W1, X) + b1
a1 = relu(z1)
z2 = np.dot(W2, a1) + b2
a2 = relu(z2)
z3 = np.dot(W3, a2) + b3
a3 = sigmoid(z3)
cache = (z1, a1, W1, b1, z2, a2, W2, b2, z3, a3, W3, b3)
return a3, cache
def backward_propagation(X, Y, cache):
"""
Implement the backward propagation presented in figure 2.
Arguments:
X -- input dataset, of shape (input size, number of examples)
Y -- true "label" vector (containing 0 if cat, 1 if non-cat)
cache -- cache output from forward_propagation()
Returns:
gradients -- A dictionary with the gradients with respect to each parameter, activation and pre-activation variables
"""
m = X.shape[1]
(z1, a1, W1, b1, z2, a2, W2, b2, z3, a3, W3, b3) = cache
dz3 = 1./m * (a3 - Y)
dW3 = np.dot(dz3, a2.T)
db3 = np.sum(dz3, axis=1, keepdims = True)
da2 = np.dot(W3.T, dz3)
dz2 = np.multiply(da2, np.int64(a2 > 0))
dW2 = np.dot(dz2, a1.T)
db2 = np.sum(dz2, axis=1, keepdims = True)
da1 = np.dot(W2.T, dz2)
dz1 = np.multiply(da1, np.int64(a1 > 0))
dW1 = np.dot(dz1, X.T)
db1 = np.sum(dz1, axis=1, keepdims = True)
gradients = {
"dz3": dz3, "dW3": dW3, "db3": db3,
"da2": da2, "dz2": dz2, "dW2": dW2, "db2": db2,
"da1": da1, "dz1": dz1, "dW1": dW1, "db1": db1}
return gradients
def update_parameters(parameters, grads, learning_rate):
"""
Update parameters using gradient descent
Arguments:
parameters -- python dictionary containing your parameters
grads -- python dictionary containing your gradients, output of n_model_backward
Returns:
parameters -- python dictionary containing your updated parameters
parameters['W' + str(i)] = ...
parameters['b' + str(i)] = ...
"""
L = len(parameters) // 2 # number of layers in the neural networks
# Update rule for each parameter
for k in range(L):
parameters["W" + str(k+1)] = parameters["W" + str(k+1)] - learning_rate * grads["dW" + str(k+1)]
parameters["b" + str(k+1)] = parameters["b" + str(k+1)] - learning_rate * grads["db" + str(k+1)]
return parameters
def predict(X, y, parameters):
"""
This function is used to predict the results of a n-layer neural network.
Arguments:
X -- data set of examples you would like to label
parameters -- parameters of the trained model
Returns:
p -- predictions for the given dataset X
"""
m = X.shape[1]
p = np.zeros((1,m), dtype = np.int)
# Forward propagation
a3, caches = forward_propagation(X, parameters)
# convert probas to 0/1 predictions
for i in range(0, a3.shape[1]):
if a3[0,i] > 0.5:
p[0,i] = 1
else:
p[0,i] = 0
# print results
print("Accuracy: " + str(np.mean((p[0,:] == y[0,:]))))
return p
def load_dataset(is_plot=True):
np.random.seed(1)
train_X, train_Y = sklearn.datasets.make_circles(n_samples=300, noise=.05)
np.random.seed(2)
test_X, test_Y = sklearn.datasets.make_circles(n_samples=100, noise=.05)
# Visualize the data
if is_plot:
plt.scatter(train_X[:, 0], train_X[:, 1], c=train_Y, s=40, cmap=plt.cm.Spectral)
plt.show()
train_X = train_X.T
train_Y = train_Y.reshape((1, train_Y.shape[0]))
test_X = test_X.T
test_Y = test_Y.reshape((1, test_Y.shape[0]))
return train_X, train_Y, test_X, test_Y
def plot_decision_boundary(model, X, y):
# Set min and max values and give it some padding
x_min, x_max = X[0, :].min() - 1, X[0, :].max() + 1
y_min, y_max = X[1, :].min() - 1, X[1, :].max() + 1
h = 0.01
# Generate a grid of points with distance h between them
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))
# Predict the function value for the whole grid
Z = model(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
# Plot the contour and training examples
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Spectral)
plt.ylabel('x2')
plt.xlabel('x1')
plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=y, cmap=plt.cm.Spectral)
plt.show()
def predict_dec(parameters, X):
"""
Used for plotting decision boundary.
Arguments:
parameters -- python dictionary containing your parameters
X -- input data of size (m, K)
Returns
predictions -- vector of predictions of our model (red: 0 / blue: 1)
"""
# Predict using forward propagation and a classification threshold of 0.5
a3, cache = forward_propagation(X, parameters)
predictions = (a3>0.5)
return predictions
次に、コードのデバッグを開始します。
まず、データセットがどのようなものかを確認できます。
train_X, train_Y, test_X, test_Y = init_utils.load_dataset(is_plot=True)
すべて0に初期化されます
つまり、各層の w と b は両方とも 0 に初期化されます。
コードは以下のように表示されます。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sklearn
import sklearn.datasets
import init_utils
plt.rcParams['figure.figsize'] = (7.0, 4.0) # set default size of plots
plt.rcParams['image.interpolation'] = 'nearest'
plt.rcParams['image.cmap'] = 'gray'
# 加载数据集
train_X, train_Y, test_X, test_Y = init_utils.load_dataset(is_plot=False)
# 初始化为0
def initialize_parameters_zeros(layers_dims):
"""
将模型的参数全部设置为0
参数：
layers_dims - 列表，模型的层数和对应每一层的节点的数量
返回
parameters - 包含了所有W和b的字典
W1 - 权重矩阵，维度为（layers_dims[1], layers_dims[0]）
b1 - 偏置向量，维度为（layers_dims[1],1）
···
WL - 权重矩阵，维度为（layers_dims[L], layers_dims[L -1]）
bL - 偏置向量，维度为（layers_dims[L],1）
"""
parameters = {
}
L = len(layers_dims) # 网络层数
for l in range(1, L):
parameters["W" + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], layers_dims[l - 1]))
parameters["b" + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], 1))
# 使用断言确保我的数据格式是正确的
assert (parameters["W" + str(l)].shape == (layers_dims[l], layers_dims[l - 1]))
assert (parameters["b" + str(l)].shape == (layers_dims[l], 1))
return parameters
def model(X, Y, learning_rate=0.01, num_iterations=15000, print_cost=True, initialization="he", is_polt=True):
"""
实现一个三层的神经网络：LINEAR ->RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
参数：
X - 输入的数据，维度为(2, 要训练/测试的数量)
Y - 标签，【0 | 1】，维度为(1，对应的是输入的数据的标签)
learning_rate - 学习速率
num_iterations - 迭代的次数
print_cost - 是否打印成本值，每迭代1000次打印一次
initialization - 字符串类型，初始化的类型【"zeros" | "random" | "he"】
is_polt - 是否绘制梯度下降的曲线图
返回
parameters - 学习后的参数
"""
grads = {
}
costs = []
m = X.shape[1]
layers_dims = [X.shape[0], 10, 5, 1]
# 选择初始化参数的类型
if initialization == "zeros":
parameters = initialize_parameters_zeros(layers_dims)
elif initialization == "random":
parameters = initialize_parameters_random(layers_dims)
elif initialization == "he":
parameters = initialize_parameters_he(layers_dims)
else:
print("错误的初始化参数！程序退出")
exit
# 开始学习
for i in range(0, num_iterations):
# 前向传播
a3, cache = init_utils.forward_propagation(X, parameters)
# 计算成本
cost = init_utils.compute_loss(a3, Y)
# 反向传播
grads = init_utils.backward_propagation(X, Y, cache)
# 更新参数
parameters = init_utils.update_parameters(parameters, grads, learning_rate)
# 记录成本
if i % 1000 == 0:
costs.append(cost)
# 打印成本
if print_cost:
print("第" + str(i) + "次迭代，成本值为：" + str(cost))
# 学习完毕，绘制成本曲线
if is_polt:
plt.plot(costs)
plt.ylabel('cost')
plt.xlabel('iterations (per hundreds)')
plt.title("Learning rate =" + str(learning_rate))
plt.show()
# 返回学习完毕后的参数
return parameters
parameters = model(train_X, train_Y, initialization = "zeros",is_polt=True)
print ("训练集:")
predictions_train = init_utils.predict(train_X, train_Y, parameters)
print ("测试集:")
predictions_test = init_utils.predict(test_X, test_Y, parameters)
コードを実行すると、結果は次のようになります。
第0次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第1000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第2000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第3000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第4000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第5000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第6000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第7000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第8000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第9000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第10000次迭代，成本值为：0.6931471805599455
第11000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第12000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第13000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第14000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
训练集:
Accuracy: 0.5
测试集:
Accuracy: 0.5
損失はまったく変わっていないので、学習していないのと同じです。完全な初期化が 0 であるため、各ニューロンは同じ線形計算を行っており、勾配降下法が何回実行されても、まったく同じ関数を計算しているため、損失は減少せず、ネットワークの層が何層であっても損失は減少しません。またはニューロンの数 これは意味がなく、本質的にユニットのロジスティック回帰と何ら変わりません。
解決策はランダム初期化です。
ランダムな初期化
wはランダムに初期化され、bは後から追加される定数として無関係で0に初期化されます。
結合機能:
def initialize_parameters_random(layers_dims):
"""
参数：
layers_dims - 列表，模型的层数和对应每一层的节点的数量
返回
parameters - 包含了所有W和b的字典
W1 - 权重矩阵，维度为（layers_dims[1], layers_dims[0]）
b1 - 偏置向量，维度为（layers_dims[1],1）
···
WL - 权重矩阵，维度为（layers_dims[L], layers_dims[L -1]）
b1 - 偏置向量，维度为（layers_dims[L],1）
"""
np.random.seed(3) # 指定随机种子
parameters = {
}
L = len(layers_dims) # 层数
for l in range(1, L):
parameters['W' + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l - 1]) * 10 # 使用10倍缩放
parameters['b' + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], 1))
# 使用断言确保我的数据格式是正确的
assert(parameters["W" + str(l)].shape == (layers_dims[l],layers_dims[l-1]))
assert(parameters["b" + str(l)].shape == (layers_dims[l],1))
return parameters
ランダム初期化を使用するには、初期化の値をランダムに変更します。
parameters = model(train_X, train_Y, initialization = "random",is_polt=True)
コードを実行すると、結果は次のようになります。
第0次迭代，成本值为：inf
第1000次迭代，成本值为：0.6242434241539614
第2000次迭代，成本值为：0.5978811277755388
第3000次迭代，成本值为：0.5636242569764779
第4000次迭代，成本值为：0.5500958254523324
第5000次迭代，成本值为：0.544339206192789
第6000次迭代，成本值为：0.5373584514307651
第7000次迭代，成本值为：0.469574666760224
第8000次迭代，成本值为：0.39766324943219844
第9000次迭代，成本值为：0.3934423376823982
第10000次迭代，成本值为：0.3920158992175907
第11000次迭代，成本值为：0.38913979237487845
第12000次迭代，成本值为：0.3861261344766218
第13000次迭代，成本值为：0.3849694511273874
第14000次迭代，成本值为：0.3827489017191917
训练集:
Accuracy: 0.83
测试集:
Accuracy: 0.86
損失が大幅に減少していることがわかり、学習があり、予測効果が向上していることがわかります。しかし、最終的には損失は非常に低いレベルにまでは下がらず、減少は緩やか、または停滞しており、依然として最適化する必要があります。
阻害勾配例外の初期化
w はランダムに初期化され、Var(2/n[l-1]) で乗算されます。Var は分散計算、n[l-1] は前の層のニューロンの数です。
Var(2/n[l-1]) は ReLU 活性化関数に最適なパラメータであり、効果も最も優れています。
結合機能:
def initialize_parameters_he(layers_dims):
"""
参数：
layers_dims - 列表，模型的层数和对应每一层的节点的数量
返回
parameters - 包含了所有W和b的字典
W1 - 权重矩阵，维度为（layers_dims[1], layers_dims[0]）
b1 - 偏置向量，维度为（layers_dims[1],1）
···
WL - 权重矩阵，维度为（layers_dims[L], layers_dims[L -1]）
b1 - 偏置向量，维度为（layers_dims[L],1）
"""
np.random.seed(3) # 指定随机种子
parameters = {
}
L = len(layers_dims) # 层数
for l in range(1, L):
parameters['W' + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l - 1]) * np.sqrt(2 / layers_dims[l - 1])
parameters['b' + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], 1))
#使用断言确保我的数据格式是正确的
assert(parameters["W" + str(l)].shape == (layers_dims[l],layers_dims[l-1]))
assert(parameters["b" + str(l)].shape == (layers_dims[l],1))
return parameters
初期化値を he に変更し、勾配例外初期化を使用します。
parameters = model(train_X, train_Y, initialization = "he",is_polt=True)
コードを実行すると、結果は次のようになります。
第0次迭代，成本值为：0.8830537463419761
第1000次迭代，成本值为：0.6879825919728063
第2000次迭代，成本值为：0.6751286264523371
第3000次迭代，成本值为：0.6526117768893807
第4000次迭代，成本值为：0.6082958970572938
第5000次迭代，成本值为：0.5304944491717495
第6000次迭代，成本值为：0.4138645817071794
第7000次迭代，成本值为：0.3117803464844441
第8000次迭代，成本值为：0.23696215330322562
第9000次迭代，成本值为：0.18597287209206834
第10000次迭代，成本值为：0.15015556280371806
第11000次迭代，成本值为：0.12325079292273546
第12000次迭代，成本值为：0.09917746546525934
第13000次迭代，成本值为：0.08457055954024278
第14000次迭代，成本值为：0.07357895962677369
训练集:
Accuracy: 0.9933333333333333
测试集:
Accuracy: 0.96
これは、滑らかに減少する通常の損失曲線であり、最終的な損失が十分に低いことがわかります。予測効果も優れています。
要約する
多層ニューラル ネットワークでは、パラメータの初期化はランダムに初期化する必要があります。そうしないと、パラメータがすべて 0 に初期化されてしまうと、ネットワークの意味がなくなってしまいます。
ただし、ネットワークのパフォーマンスの低下を防ぐために、ランダムな初期化も制御する必要があります。