別名: 「3D コンタリング」、「マーチング キューブ」、「サーフェス リコンストラクション」
ポール・バーク著
1994年5月
Cory Gene Bloyd による表と追加のサンプル ソース コードに基づくmarchingsource.cpp Geoffrey Heller による
代替表。
rchandra.zip : Raghavendra Chandrashekara によって提供された C++ クラス。
OpenGL ソース コード、サンプル ボリューム: cell.gz (旧)
volexample.zip : サンプル MRI データセットを含む polygonise の呼び出し方法を示す例。
改善された (2018) Qt/OpenGL の例は、 Klaus Miltenberger 博士の厚意によるものです。
このドキュメントでは、3D スカラー フィールドの等値面のポリゴン サーフェス表現を作成するためのアルゴリズムについて説明します。このタイプの問題の一般的な名前は、いわゆる「マーチング キューブ」アルゴリズムです。ルックアップ テーブル上でほぼ完全に機能するため、シンプルさと高速性を兼ね備えています。
このタイプの手法には多くの用途がありますが、非常に一般的な 2 つの用途は次のとおりです。
-
医療ボリューム データセットからのサーフェスの再構成。たとえば、MRI スキャンでは、通常の 3D メッシュの頂点で 3D ボリュームのサンプルが得られます。
-
数学的スカラー フィールドの 3D 輪郭を作成します。この場合、関数はどこでも知られていますが、通常の 3D グリッドの頂点でサンプリングされます。
解決
基本的な問題は、長方形の 3D グリッドでサンプリングされたスカラー フィールドを介して等値面へのファセット近似を形成することです。頂点と各頂点のスカラー値によって定義された 1 つのグリッド セルが与えられた場合、そのグリッド セルを介して等値面を最もよく表す平面ファセットを作成する必要があります。等値面は、グリッド セルを通過しない場合や、頂点のいずれか 1 つを切り取る場合、または多くのより複雑な方法のいずれかで通過する場合があります。それぞれの可能性は、等値面の上または下の値を持つ頂点の数によって特徴付けられます。たとえば、1 つの頂点が等値面の上にあり、隣接する頂点が等値面の下にある場合、等値面がこれら 2 つの頂点の間のエッジをカットすることがわかります。エッジをカットする位置は直線的に補間され、
アルゴリズムで使用される頂点とエッジのインデックス付け規則を以下に示します。
たとえば、頂点 3 の値が等値面の値を下回り、他のすべての頂点のすべての値が等値面の値を上回っている場合、エッジ 2、3、および 11 を通る三角形のファセットを作成します。三角形ファセットの頂点は、それぞれ頂点 3-2、3-0、3-7 の値に対する等値面値の関係に依存します。
このアルゴリズムを「困難」にしているのは、考えられる組み合わせが多数 (256) あることと、隣接するグリッド セルのファセットが正しく接続されるように、ソリューションごとに一貫したファセットの組み合わせを導き出す必要があることです。
アルゴリズムの最初の部分では、等値面の下の頂点を交差するエッジにマップするテーブル (edgeTable) を使用します。各ビットが頂点に対応する 8 ビットのインデックスが形成されます。
cubeindex = 0;
if (grid.val[0] < isolevel) cubeindex |= 1;
if (grid.val[1] < isolevel) cubeindex |= 2;
if (grid.val[2] < isolevel) cubeindex |= 4;
if (grid.val[3] < isolevel) cubeindex |= 8;
if (grid.val[4] < isolevel) cubeindex |= 16;
if (grid.val[5] < isolevel) cubeindex |= 32;
if (grid.val[6] < isolevel) cubeindex |= 64;
if (grid.val[7] < isolevel) cubeindex |= 128;エッジ テーブルを検索すると、各ビットがエッジに対応する 12 ビットの数値が返されます。エッジが等値面によって切断されていない場合は 0、等値面によってエッジが切断されている場合は 1 です。どのエッジもカットされていない場合、テーブルは 0 を返します。これは、cubeindex が 0 (等値面より下のすべての頂点) または 0xff (等値面より上のすべての頂点) の場合に発生します。
頂点 3 のみが等値面の下にある前の例を使用すると、cubeindex は 0000 1000 または 8 になります。
交点は、線形補間によって計算されるようになりました。P1 と P2 がカット エッジの頂点であり、V1 と V2 が各頂点のスカラー値である場合、交点 P は次の式で与えられます。
P = P1 + (等値 - V1) (P2 - P1) / (V2 - V1)
アルゴリズムの最後の部分では、等値面がグリッド セルのエッジと交差する位置から正しいファセットを形成します。再びテーブル (triTable) が使用され、今回は同じキューブ インデックスを使用しますが、グリッド セル内の等値面を表すには多くの三角形のファセットが必要なため、頂点シーケンスを検索できます。最大で 5 つの三角形のファセットが必要です。
例に戻ると、前のステップでエッジ 2、3、および 11 に沿って交点を計算します。triTable の 8 番目の要素は
{3, 11, 2, -1, -1, -1, -1, -1です。 , -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
これは特に単純な例です。テーブル。
もう一つの例
頂点 0 と 3 が等値面の下にあるとします。次に、cubeindex は 0000 1001 == 9 になります。egdeTable への 9 番目のエントリは 905hex == 1001 0000 0101 です。これは、エッジ 11、8、2、および 0 がカットされることを意味し、等値面との交点の頂点を計算します。それらのエッジ。
次に、triTable の 9 は 0、11、2、8、11、0 です。これは 2 つの三角形の面に対応し、1 つはエッジ 0 11 と 2 の交点の間にあります。もう 1 つはエッジ 8 11 と 0 に沿った交点の間にあります。
グリッド解像度
値が既知であるか、空間のどこにでも補間できるフィールドをポリゴン化する場合に非常に望ましい制御の 1 つは、サンプリング グリッドの解像度です。これにより、必要な滑らかさ、および/またはサーフェスを表示するために利用可能な処理能力に応じて、等値面への粗い近似または細かい近似を生成できます。次の例は、異なるグリッド サイズで生成された、Blinn によって指定された 2 つの「ボビー分子」です。
ソースコード
typedef struct {
XYZ p[3];
} TRIANGLE;
typedef struct {
XYZ p[8];
double val[8];
} GRIDCELL;
/*
Given a grid cell and an isolevel, calculate the triangular
facets required to represent the isosurface through the cell.
Return the number of triangular facets, the array "triangles"
will be loaded up with the vertices at most 5 triangular facets.
0 will be returned if the grid cell is either totally above
of totally below the isolevel.
*/
int Polygonise(GRIDCELL grid,double isolevel,TRIANGLE *triangles)
{
int i,ntriang;
int cubeindex;
XYZ vertlist[12];
int edgeTable[256]={
0x0 , 0x109, 0x203, 0x30a, 0x406, 0x50f, 0x605, 0x70c,
0x80c, 0x905, 0xa0f, 0xb06, 0xc0a, 0xd03, 0xe09, 0xf00,
0x190, 0x99 , 0x393, 0x29a, 0x596, 0x49f, 0x795, 0x69c,
0x99c, 0x895, 0xb9f, 0xa96, 0xd9a, 0xc93, 0xf99, 0xe90,
0x230, 0x339, 0x33 , 0x13a, 0x636, 0x73f, 0x435, 0x53c,
0xa3c, 0xb35, 0x83f, 0x936, 0xe3a, 0xf33, 0xc39, 0xd30,
0x3a0, 0x2a9, 0x1a3, 0xaa , 0x7a6, 0x6af, 0x5a5, 0x4ac,
0xbac, 0xaa5, 0x9af, 0x8a6, 0xfaa, 0xea3, 0xda9, 0xca0,
0x460, 0x569, 0x663, 0x76a, 0x66 , 0x16f, 0x265, 0x36c,
0xc6c, 0xd65, 0xe6f, 0xf66, 0x86a, 0x963, 0xa69, 0xb60,
0x5f0, 0x4f9, 0x7f3, 0x6fa, 0x1f6, 0xff , 0x3f5, 0x2fc,
0xdfc, 0xcf5, 0xfff, 0xef6, 0x9fa, 0x8f3, 0xbf9, 0xaf0,
0x650, 0x759, 0x453, 0x55a, 0x256, 0x35f, 0x55 , 0x15c,
0xe5c, 0xf55, 0xc5f, 0xd56, 0xa5a, 0xb53, 0x859, 0x950,
0x7c0, 0x6c9, 0x5c3, 0x4ca, 0x3c6, 0x2cf, 0x1c5, 0xcc ,
0xfcc, 0xec5, 0xdcf, 0xcc6, 0xbca, 0xac3, 0x9c9, 0x8c0,
0x8c0, 0x9c9, 0xac3, 0xbca, 0xcc6, 0xdcf, 0xec5, 0xfcc,
0xcc , 0x1c5, 0x2cf, 0x3c6, 0x4ca, 0x5c3, 0x6c9, 0x7c0,
0x950, 0x859, 0xb53, 0xa5a, 0xd56, 0xc5f, 0xf55, 0xe5c,
0x15c, 0x55 , 0x35f, 0x256, 0x55a, 0x453, 0x759, 0x650,
0xaf0, 0xbf9, 0x8f3, 0x9fa, 0xef6, 0xfff, 0xcf5, 0xdfc,
0x2fc, 0x3f5, 0xff , 0x1f6, 0x6fa, 0x7f3, 0x4f9, 0x5f0,
0xb60, 0xa69, 0x963, 0x86a, 0xf66, 0xe6f, 0xd65, 0xc6c,
0x36c, 0x265, 0x16f, 0x66 , 0x76a, 0x663, 0x569, 0x460,
0xca0, 0xda9, 0xea3, 0xfaa, 0x8a6, 0x9af, 0xaa5, 0xbac,
0x4ac, 0x5a5, 0x6af, 0x7a6, 0xaa , 0x1a3, 0x2a9, 0x3a0,
0xd30, 0xc39, 0xf33, 0xe3a, 0x936, 0x83f, 0xb35, 0xa3c,
0x53c, 0x435, 0x73f, 0x636, 0x13a, 0x33 , 0x339, 0x230,
0xe90, 0xf99, 0xc93, 0xd9a, 0xa96, 0xb9f, 0x895, 0x99c,
0x69c, 0x795, 0x49f, 0x596, 0x29a, 0x393, 0x99 , 0x190,
0xf00, 0xe09, 0xd03, 0xc0a, 0xb06, 0xa0f, 0x905, 0x80c,
0x70c, 0x605, 0x50f, 0x406, 0x30a, 0x203, 0x109, 0x0 };
int triTable[256][16] =
{
{-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 8, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 1, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 8, 3, 9, 8, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 2, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 8, 3, 1, 2, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 2, 10, 0, 2, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{2, 8, 3, 2, 10, 8, 10, 9, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{3, 11, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 11, 2, 8, 11, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 9, 0, 2, 3, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 11, 2, 1, 9, 11, 9, 8, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{3, 10, 1, 11, 10, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 10, 1, 0, 8, 10, 8, 11, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{3, 9, 0, 3, 11, 9, 11, 10, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 8, 10, 10, 8, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{4, 7, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{4, 3, 0, 7, 3, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 1, 9, 8, 4, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{4, 1, 9, 4, 7, 1, 7, 3, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 2, 10, 8, 4, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{3, 4, 7, 3, 0, 4, 1, 2, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 2, 10, 9, 0, 2, 8, 4, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{2, 10, 9, 2, 9, 7, 2, 7, 3, 7, 9, 4, -1, -1, -1, -1},
{8, 4, 7, 3, 11, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{11, 4, 7, 11, 2, 4, 2, 0, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 0, 1, 8, 4, 7, 2, 3, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{4, 7, 11, 9, 4, 11, 9, 11, 2, 9, 2, 1, -1, -1, -1, -1},
{3, 10, 1, 3, 11, 10, 7, 8, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 11, 10, 1, 4, 11, 1, 0, 4, 7, 11, 4, -1, -1, -1, -1},
{4, 7, 8, 9, 0, 11, 9, 11, 10, 11, 0, 3, -1, -1, -1, -1},
{4, 7, 11, 4, 11, 9, 9, 11, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 5, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 5, 4, 0, 8, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 5, 4, 1, 5, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{8, 5, 4, 8, 3, 5, 3, 1, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 2, 10, 9, 5, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{3, 0, 8, 1, 2, 10, 4, 9, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{5, 2, 10, 5, 4, 2, 4, 0, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{2, 10, 5, 3, 2, 5, 3, 5, 4, 3, 4, 8, -1, -1, -1, -1},
{9, 5, 4, 2, 3, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 11, 2, 0, 8, 11, 4, 9, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 5, 4, 0, 1, 5, 2, 3, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{2, 1, 5, 2, 5, 8, 2, 8, 11, 4, 8, 5, -1, -1, -1, -1},
{10, 3, 11, 10, 1, 3, 9, 5, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{4, 9, 5, 0, 8, 1, 8, 10, 1, 8, 11, 10, -1, -1, -1, -1},
{5, 4, 0, 5, 0, 11, 5, 11, 10, 11, 0, 3, -1, -1, -1, -1},
{5, 4, 8, 5, 8, 10, 10, 8, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 7, 8, 5, 7, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 3, 0, 9, 5, 3, 5, 7, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 7, 8, 0, 1, 7, 1, 5, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 5, 3, 3, 5, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 7, 8, 9, 5, 7, 10, 1, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{10, 1, 2, 9, 5, 0, 5, 3, 0, 5, 7, 3, -1, -1, -1, -1},
{8, 0, 2, 8, 2, 5, 8, 5, 7, 10, 5, 2, -1, -1, -1, -1},
{2, 10, 5, 2, 5, 3, 3, 5, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{7, 9, 5, 7, 8, 9, 3, 11, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 5, 7, 9, 7, 2, 9, 2, 0, 2, 7, 11, -1, -1, -1, -1},
{2, 3, 11, 0, 1, 8, 1, 7, 8, 1, 5, 7, -1, -1, -1, -1},
{11, 2, 1, 11, 1, 7, 7, 1, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 5, 8, 8, 5, 7, 10, 1, 3, 10, 3, 11, -1, -1, -1, -1},
{5, 7, 0, 5, 0, 9, 7, 11, 0, 1, 0, 10, 11, 10, 0, -1},
{11, 10, 0, 11, 0, 3, 10, 5, 0, 8, 0, 7, 5, 7, 0, -1},
{11, 10, 5, 7, 11, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{10, 6, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 8, 3, 5, 10, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 0, 1, 5, 10, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 8, 3, 1, 9, 8, 5, 10, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 6, 5, 2, 6, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 6, 5, 1, 2, 6, 3, 0, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 6, 5, 9, 0, 6, 0, 2, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{5, 9, 8, 5, 8, 2, 5, 2, 6, 3, 2, 8, -1, -1, -1, -1},
{2, 3, 11, 10, 6, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{11, 0, 8, 11, 2, 0, 10, 6, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 1, 9, 2, 3, 11, 5, 10, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{5, 10, 6, 1, 9, 2, 9, 11, 2, 9, 8, 11, -1, -1, -1, -1},
{6, 3, 11, 6, 5, 3, 5, 1, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 8, 11, 0, 11, 5, 0, 5, 1, 5, 11, 6, -1, -1, -1, -1},
{3, 11, 6, 0, 3, 6, 0, 6, 5, 0, 5, 9, -1, -1, -1, -1},
{6, 5, 9, 6, 9, 11, 11, 9, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{5, 10, 6, 4, 7, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{4, 3, 0, 4, 7, 3, 6, 5, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 9, 0, 5, 10, 6, 8, 4, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{10, 6, 5, 1, 9, 7, 1, 7, 3, 7, 9, 4, -1, -1, -1, -1},
{6, 1, 2, 6, 5, 1, 4, 7, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 2, 5, 5, 2, 6, 3, 0, 4, 3, 4, 7, -1, -1, -1, -1},
{8, 4, 7, 9, 0, 5, 0, 6, 5, 0, 2, 6, -1, -1, -1, -1},
{7, 3, 9, 7, 9, 4, 3, 2, 9, 5, 9, 6, 2, 6, 9, -1},
{3, 11, 2, 7, 8, 4, 10, 6, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{5, 10, 6, 4, 7, 2, 4, 2, 0, 2, 7, 11, -1, -1, -1, -1},
{0, 1, 9, 4, 7, 8, 2, 3, 11, 5, 10, 6, -1, -1, -1, -1},
{9, 2, 1, 9, 11, 2, 9, 4, 11, 7, 11, 4, 5, 10, 6, -1},
{8, 4, 7, 3, 11, 5, 3, 5, 1, 5, 11, 6, -1, -1, -1, -1},
{5, 1, 11, 5, 11, 6, 1, 0, 11, 7, 11, 4, 0, 4, 11, -1},
{0, 5, 9, 0, 6, 5, 0, 3, 6, 11, 6, 3, 8, 4, 7, -1},
{6, 5, 9, 6, 9, 11, 4, 7, 9, 7, 11, 9, -1, -1, -1, -1},
{10, 4, 9, 6, 4, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{4, 10, 6, 4, 9, 10, 0, 8, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{10, 0, 1, 10, 6, 0, 6, 4, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{8, 3, 1, 8, 1, 6, 8, 6, 4, 6, 1, 10, -1, -1, -1, -1},
{1, 4, 9, 1, 2, 4, 2, 6, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{3, 0, 8, 1, 2, 9, 2, 4, 9, 2, 6, 4, -1, -1, -1, -1},
{0, 2, 4, 4, 2, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{8, 3, 2, 8, 2, 4, 4, 2, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{10, 4, 9, 10, 6, 4, 11, 2, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 8, 2, 2, 8, 11, 4, 9, 10, 4, 10, 6, -1, -1, -1, -1},
{3, 11, 2, 0, 1, 6, 0, 6, 4, 6, 1, 10, -1, -1, -1, -1},
{6, 4, 1, 6, 1, 10, 4, 8, 1, 2, 1, 11, 8, 11, 1, -1},
{9, 6, 4, 9, 3, 6, 9, 1, 3, 11, 6, 3, -1, -1, -1, -1},
{8, 11, 1, 8, 1, 0, 11, 6, 1, 9, 1, 4, 6, 4, 1, -1},
{3, 11, 6, 3, 6, 0, 0, 6, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{6, 4, 8, 11, 6, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{7, 10, 6, 7, 8, 10, 8, 9, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 7, 3, 0, 10, 7, 0, 9, 10, 6, 7, 10, -1, -1, -1, -1},
{10, 6, 7, 1, 10, 7, 1, 7, 8, 1, 8, 0, -1, -1, -1, -1},
{10, 6, 7, 10, 7, 1, 1, 7, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 2, 6, 1, 6, 8, 1, 8, 9, 8, 6, 7, -1, -1, -1, -1},
{2, 6, 9, 2, 9, 1, 6, 7, 9, 0, 9, 3, 7, 3, 9, -1},
{7, 8, 0, 7, 0, 6, 6, 0, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{7, 3, 2, 6, 7, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{2, 3, 11, 10, 6, 8, 10, 8, 9, 8, 6, 7, -1, -1, -1, -1},
{2, 0, 7, 2, 7, 11, 0, 9, 7, 6, 7, 10, 9, 10, 7, -1},
{1, 8, 0, 1, 7, 8, 1, 10, 7, 6, 7, 10, 2, 3, 11, -1},
{11, 2, 1, 11, 1, 7, 10, 6, 1, 6, 7, 1, -1, -1, -1, -1},
{8, 9, 6, 8, 6, 7, 9, 1, 6, 11, 6, 3, 1, 3, 6, -1},
{0, 9, 1, 11, 6, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{7, 8, 0, 7, 0, 6, 3, 11, 0, 11, 6, 0, -1, -1, -1, -1},
{7, 11, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{7, 6, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{3, 0, 8, 11, 7, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 1, 9, 11, 7, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{8, 1, 9, 8, 3, 1, 11, 7, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{10, 1, 2, 6, 11, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 2, 10, 3, 0, 8, 6, 11, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{2, 9, 0, 2, 10, 9, 6, 11, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{6, 11, 7, 2, 10, 3, 10, 8, 3, 10, 9, 8, -1, -1, -1, -1},
{7, 2, 3, 6, 2, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{7, 0, 8, 7, 6, 0, 6, 2, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{2, 7, 6, 2, 3, 7, 0, 1, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 6, 2, 1, 8, 6, 1, 9, 8, 8, 7, 6, -1, -1, -1, -1},
{10, 7, 6, 10, 1, 7, 1, 3, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{10, 7, 6, 1, 7, 10, 1, 8, 7, 1, 0, 8, -1, -1, -1, -1},
{0, 3, 7, 0, 7, 10, 0, 10, 9, 6, 10, 7, -1, -1, -1, -1},
{7, 6, 10, 7, 10, 8, 8, 10, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{6, 8, 4, 11, 8, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{3, 6, 11, 3, 0, 6, 0, 4, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{8, 6, 11, 8, 4, 6, 9, 0, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 4, 6, 9, 6, 3, 9, 3, 1, 11, 3, 6, -1, -1, -1, -1},
{6, 8, 4, 6, 11, 8, 2, 10, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 2, 10, 3, 0, 11, 0, 6, 11, 0, 4, 6, -1, -1, -1, -1},
{4, 11, 8, 4, 6, 11, 0, 2, 9, 2, 10, 9, -1, -1, -1, -1},
{10, 9, 3, 10, 3, 2, 9, 4, 3, 11, 3, 6, 4, 6, 3, -1},
{8, 2, 3, 8, 4, 2, 4, 6, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 4, 2, 4, 6, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 9, 0, 2, 3, 4, 2, 4, 6, 4, 3, 8, -1, -1, -1, -1},
{1, 9, 4, 1, 4, 2, 2, 4, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{8, 1, 3, 8, 6, 1, 8, 4, 6, 6, 10, 1, -1, -1, -1, -1},
{10, 1, 0, 10, 0, 6, 6, 0, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{4, 6, 3, 4, 3, 8, 6, 10, 3, 0, 3, 9, 10, 9, 3, -1},
{10, 9, 4, 6, 10, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{4, 9, 5, 7, 6, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 8, 3, 4, 9, 5, 11, 7, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{5, 0, 1, 5, 4, 0, 7, 6, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{11, 7, 6, 8, 3, 4, 3, 5, 4, 3, 1, 5, -1, -1, -1, -1},
{9, 5, 4, 10, 1, 2, 7, 6, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{6, 11, 7, 1, 2, 10, 0, 8, 3, 4, 9, 5, -1, -1, -1, -1},
{7, 6, 11, 5, 4, 10, 4, 2, 10, 4, 0, 2, -1, -1, -1, -1},
{3, 4, 8, 3, 5, 4, 3, 2, 5, 10, 5, 2, 11, 7, 6, -1},
{7, 2, 3, 7, 6, 2, 5, 4, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 5, 4, 0, 8, 6, 0, 6, 2, 6, 8, 7, -1, -1, -1, -1},
{3, 6, 2, 3, 7, 6, 1, 5, 0, 5, 4, 0, -1, -1, -1, -1},
{6, 2, 8, 6, 8, 7, 2, 1, 8, 4, 8, 5, 1, 5, 8, -1},
{9, 5, 4, 10, 1, 6, 1, 7, 6, 1, 3, 7, -1, -1, -1, -1},
{1, 6, 10, 1, 7, 6, 1, 0, 7, 8, 7, 0, 9, 5, 4, -1},
{4, 0, 10, 4, 10, 5, 0, 3, 10, 6, 10, 7, 3, 7, 10, -1},
{7, 6, 10, 7, 10, 8, 5, 4, 10, 4, 8, 10, -1, -1, -1, -1},
{6, 9, 5, 6, 11, 9, 11, 8, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{3, 6, 11, 0, 6, 3, 0, 5, 6, 0, 9, 5, -1, -1, -1, -1},
{0, 11, 8, 0, 5, 11, 0, 1, 5, 5, 6, 11, -1, -1, -1, -1},
{6, 11, 3, 6, 3, 5, 5, 3, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 2, 10, 9, 5, 11, 9, 11, 8, 11, 5, 6, -1, -1, -1, -1},
{0, 11, 3, 0, 6, 11, 0, 9, 6, 5, 6, 9, 1, 2, 10, -1},
{11, 8, 5, 11, 5, 6, 8, 0, 5, 10, 5, 2, 0, 2, 5, -1},
{6, 11, 3, 6, 3, 5, 2, 10, 3, 10, 5, 3, -1, -1, -1, -1},
{5, 8, 9, 5, 2, 8, 5, 6, 2, 3, 8, 2, -1, -1, -1, -1},
{9, 5, 6, 9, 6, 0, 0, 6, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 5, 8, 1, 8, 0, 5, 6, 8, 3, 8, 2, 6, 2, 8, -1},
{1, 5, 6, 2, 1, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 3, 6, 1, 6, 10, 3, 8, 6, 5, 6, 9, 8, 9, 6, -1},
{10, 1, 0, 10, 0, 6, 9, 5, 0, 5, 6, 0, -1, -1, -1, -1},
{0, 3, 8, 5, 6, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{10, 5, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{11, 5, 10, 7, 5, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{11, 5, 10, 11, 7, 5, 8, 3, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{5, 11, 7, 5, 10, 11, 1, 9, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{10, 7, 5, 10, 11, 7, 9, 8, 1, 8, 3, 1, -1, -1, -1, -1},
{11, 1, 2, 11, 7, 1, 7, 5, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 8, 3, 1, 2, 7, 1, 7, 5, 7, 2, 11, -1, -1, -1, -1},
{9, 7, 5, 9, 2, 7, 9, 0, 2, 2, 11, 7, -1, -1, -1, -1},
{7, 5, 2, 7, 2, 11, 5, 9, 2, 3, 2, 8, 9, 8, 2, -1},
{2, 5, 10, 2, 3, 5, 3, 7, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{8, 2, 0, 8, 5, 2, 8, 7, 5, 10, 2, 5, -1, -1, -1, -1},
{9, 0, 1, 5, 10, 3, 5, 3, 7, 3, 10, 2, -1, -1, -1, -1},
{9, 8, 2, 9, 2, 1, 8, 7, 2, 10, 2, 5, 7, 5, 2, -1},
{1, 3, 5, 3, 7, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 8, 7, 0, 7, 1, 1, 7, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 0, 3, 9, 3, 5, 5, 3, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 8, 7, 5, 9, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{5, 8, 4, 5, 10, 8, 10, 11, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{5, 0, 4, 5, 11, 0, 5, 10, 11, 11, 3, 0, -1, -1, -1, -1},
{0, 1, 9, 8, 4, 10, 8, 10, 11, 10, 4, 5, -1, -1, -1, -1},
{10, 11, 4, 10, 4, 5, 11, 3, 4, 9, 4, 1, 3, 1, 4, -1},
{2, 5, 1, 2, 8, 5, 2, 11, 8, 4, 5, 8, -1, -1, -1, -1},
{0, 4, 11, 0, 11, 3, 4, 5, 11, 2, 11, 1, 5, 1, 11, -1},
{0, 2, 5, 0, 5, 9, 2, 11, 5, 4, 5, 8, 11, 8, 5, -1},
{9, 4, 5, 2, 11, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{2, 5, 10, 3, 5, 2, 3, 4, 5, 3, 8, 4, -1, -1, -1, -1},
{5, 10, 2, 5, 2, 4, 4, 2, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{3, 10, 2, 3, 5, 10, 3, 8, 5, 4, 5, 8, 0, 1, 9, -1},
{5, 10, 2, 5, 2, 4, 1, 9, 2, 9, 4, 2, -1, -1, -1, -1},
{8, 4, 5, 8, 5, 3, 3, 5, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 4, 5, 1, 0, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{8, 4, 5, 8, 5, 3, 9, 0, 5, 0, 3, 5, -1, -1, -1, -1},
{9, 4, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{4, 11, 7, 4, 9, 11, 9, 10, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 8, 3, 4, 9, 7, 9, 11, 7, 9, 10, 11, -1, -1, -1, -1},
{1, 10, 11, 1, 11, 4, 1, 4, 0, 7, 4, 11, -1, -1, -1, -1},
{3, 1, 4, 3, 4, 8, 1, 10, 4, 7, 4, 11, 10, 11, 4, -1},
{4, 11, 7, 9, 11, 4, 9, 2, 11, 9, 1, 2, -1, -1, -1, -1},
{9, 7, 4, 9, 11, 7, 9, 1, 11, 2, 11, 1, 0, 8, 3, -1},
{11, 7, 4, 11, 4, 2, 2, 4, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{11, 7, 4, 11, 4, 2, 8, 3, 4, 3, 2, 4, -1, -1, -1, -1},
{2, 9, 10, 2, 7, 9, 2, 3, 7, 7, 4, 9, -1, -1, -1, -1},
{9, 10, 7, 9, 7, 4, 10, 2, 7, 8, 7, 0, 2, 0, 7, -1},
{3, 7, 10, 3, 10, 2, 7, 4, 10, 1, 10, 0, 4, 0, 10, -1},
{1, 10, 2, 8, 7, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{4, 9, 1, 4, 1, 7, 7, 1, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{4, 9, 1, 4, 1, 7, 0, 8, 1, 8, 7, 1, -1, -1, -1, -1},
{4, 0, 3, 7, 4, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{4, 8, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 10, 8, 10, 11, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{3, 0, 9, 3, 9, 11, 11, 9, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 1, 10, 0, 10, 8, 8, 10, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{3, 1, 10, 11, 3, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 2, 11, 1, 11, 9, 9, 11, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{3, 0, 9, 3, 9, 11, 1, 2, 9, 2, 11, 9, -1, -1, -1, -1},
{0, 2, 11, 8, 0, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{3, 2, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{2, 3, 8, 2, 8, 10, 10, 8, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{9, 10, 2, 0, 9, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{2, 3, 8, 2, 8, 10, 0, 1, 8, 1, 10, 8, -1, -1, -1, -1},
{1, 10, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{1, 3, 8, 9, 1, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 9, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{0, 3, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1},
{-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1}};
/*
Determine the index into the edge table which
tells us which vertices are inside of the surface
*/
cubeindex = 0;
if (grid.val[0] < isolevel) cubeindex |= 1;
if (grid.val[1] < isolevel) cubeindex |= 2;
if (grid.val[2] < isolevel) cubeindex |= 4;
if (grid.val[3] < isolevel) cubeindex |= 8;
if (grid.val[4] < isolevel) cubeindex |= 16;
if (grid.val[5] < isolevel) cubeindex |= 32;
if (grid.val[6] < isolevel) cubeindex |= 64;
if (grid.val[7] < isolevel) cubeindex |= 128;
/* Cube is entirely in/out of the surface */
if (edgeTable[cubeindex] == 0)
return(0);
/* Find the vertices where the surface intersects the cube */
if (edgeTable[cubeindex] & 1)
vertlist[0] =
VertexInterp(isolevel,grid.p[0],grid.p[1],grid.val[0],grid.val[1]);
if (edgeTable[cubeindex] & 2)
vertlist[1] =
VertexInterp(isolevel,grid.p[1],grid.p[2],grid.val[1],grid.val[2]);
if (edgeTable[cubeindex] & 4)
vertlist[2] =
VertexInterp(isolevel,grid.p[2],grid.p[3],grid.val[2],grid.val[3]);
if (edgeTable[cubeindex] & 8)
vertlist[3] =
VertexInterp(isolevel,grid.p[3],grid.p[0],grid.val[3],grid.val[0]);
if (edgeTable[cubeindex] & 16)
vertlist[4] =
VertexInterp(isolevel,grid.p[4],grid.p[5],grid.val[4],grid.val[5]);
if (edgeTable[cubeindex] & 32)
vertlist[5] =
VertexInterp(isolevel,grid.p[5],grid.p[6],grid.val[5],grid.val[6]);
if (edgeTable[cubeindex] & 64)
vertlist[6] =
VertexInterp(isolevel,grid.p[6],grid.p[7],grid.val[6],grid.val[7]);
if (edgeTable[cubeindex] & 128)
vertlist[7] =
VertexInterp(isolevel,grid.p[7],grid.p[4],grid.val[7],grid.val[4]);
if (edgeTable[cubeindex] & 256)
vertlist[8] =
VertexInterp(isolevel,grid.p[0],grid.p[4],grid.val[0],grid.val[4]);
if (edgeTable[cubeindex] & 512)
vertlist[9] =
VertexInterp(isolevel,grid.p[1],grid.p[5],grid.val[1],grid.val[5]);
if (edgeTable[cubeindex] & 1024)
vertlist[10] =
VertexInterp(isolevel,grid.p[2],grid.p[6],grid.val[2],grid.val[6]);
if (edgeTable[cubeindex] & 2048)
vertlist[11] =
VertexInterp(isolevel,grid.p[3],grid.p[7],grid.val[3],grid.val[7]);
/* Create the triangle */
ntriang = 0;
for (i=0;triTable[cubeindex][i]!=-1;i+=3) {
triangles[ntriang].p[0] = vertlist[triTable[cubeindex][i ]];
triangles[ntriang].p[1] = vertlist[triTable[cubeindex][i+1]];
triangles[ntriang].p[2] = vertlist[triTable[cubeindex][i+2]];
ntriang++;
}
return(ntriang);
}
/*
Linearly interpolate the position where an isosurface cuts
an edge between two vertices, each with their own scalar value
*/
XYZ VertexInterp(isolevel,p1,p2,valp1,valp2)
double isolevel;
XYZ p1,p2;
double valp1,valp2;
{
double mu;
XYZ p;
if (ABS(isolevel-valp1) < 0.00001)
return(p1);
if (ABS(isolevel-valp2) < 0.00001)
return(p2);
if (ABS(valp1-valp2) < 0.00001)
return(p1);
mu = (isolevel - valp1) / (valp2 - valp1);
p.x = p1.x + mu * (p2.x - p1.x);
p.y = p1.y + mu * (p2.y - p1.y);
p.z = p1.z + mu * (p2.z - p1.z);
return(p);
}ここ に示すように補間を処理する必要があることが提案されています。これにより、等値面の小さな亀裂の問題が解決されます。
マシュー・ウォードによる概要
まとめ
マーチング キューブは、ボリューム データで等値面をレンダリングするためのアルゴリズムです。基本的な概念は、立方体の 8 つのコーナーのピクセル値によってボクセル (立方体) を定義できるということです。立方体の 1 つまたは複数のピクセルの値がユーザー指定の等値よりも小さく、1 つまたは複数の値がこの値よりも大きい場合、ボクセルが等値面の一部のコンポーネントに寄与する必要があることがわかります。立方体のどのエッジが等値面と交差しているかを判断することにより、立方体を等値面内の領域と外側の領域に分割する三角形のパッチを作成できます。等値面境界上のすべての立方体からのパッチを接続することにより、表面表現が得られます。
アルゴリズムの詳細
このアルゴリズムには 2 つの主要なコンポーネントがあります。1 つ目は、個々の立方体を切り刻むサーフェスのセクションを定義する方法を決定することです。各コーナーを等値の下または上に分類すると、256 通りのコーナー分類の構成が可能になります。これらのうちの 2 つは些細なことです。すべての点が立方体の内側または外側にある場合、等値面には寄与しません。他のすべての構成では、各キューブ エッジに沿って等値面が交差する場所を決定し、これらのエッジ交点を使用して等値面の 1 つまたは複数の三角形パッチを作成する必要があります。
対称性を考慮すると、残りの 254 の可能性のうち、実際には 14 の一意の構成しかありません。等値より小さいコーナーが 1 つだけある場合、これは、このコーナーで接するエッジと交差する単一の三角形を形成し、パッチ法線はコーナーとは反対側を向きます。明らかに、この種の関連する構成が 8 つあります (たとえば、構成 2 の場合 - 球/ピクセル間の平面を表示するには、カラーマップを微調整する必要がある場合があります)。法線を逆にすることで、等値よりも 7 つのコーナーが少ない 8 つの構成が得られます。ただし、これらが本当にユニークであるとは考えていません。等値より小さい 2 つのコーナーを持つ構成の場合、コーナーが同じエッジに属しているかどうか、立方体の同じ面に属しているかどうかに応じて、3 つの固有の構成 (構成 12 など) があります。または互いに対して斜めに配置されています。等値よりも 3 つのコーナーが小さい構成の場合、共有エッジが 0、1、または 2 かどうかに応じて、3 つの一意の構成 (構成 14 など) があります (共有エッジが 2 つの場合は「L」形状になります)。等値よりも 4 つのコーナーが小さい場合、0、2、3 (この 1 つのバリアントが 3 つ)、または 4 つの共有エッジ (たとえば、構成 30 の場合) に応じて、7 つの固有の構成があります。色を使用して、孤立した (遠い) 内側の球/ピクセルの三角形を表示します)。
重要な構成のそれぞれにより、1 ～ 4 個の三角形が等値面に追加されます。実際の頂点自体は、エッジに沿った補間によって計算するか、デフォルトでその位置をエッジの中央に設定できます。補間された位置により、シェーディング計算が改善され、表面が滑らかになります。
単一ボクセルのサーフェス パッチを作成できるようになったので、このプロセスをボリューム全体に適用できます。ボリュームをスラブ単位で処理できます。各スラブは 2 つのピクセル スライスで構成されます。各キューブを個別に処理するか、エッジを共有するキューブ間でエッジ交差を伝播することができます。この共有は、隣接するスラブ間でも行うことができます。これにより、ストレージと複雑さが少し増加しますが、計算時間は節約されます。エッジ/頂点情報を共有すると、モデルがよりコンパクトになり、補間されたシェーディングにより適したモデルになります。
三角形の面の頂点での法線の決定
スムーズなレンダリングのために、三角形の面の頂点ごとに法線を作成する必要があることがよくあります。ファセットが作成された後にこれを行う 1 つの方法は、三角形の頂点を共有するすべての面の法線を平均化することです。以下は、右側のスムーズな結果を示しています。左側の画像には、各頂点に適用されたファセットの単一の法線があります。下のモデルは、共焦点顕微鏡からキャプチャされた特定のタイプのニューロンのものです。
| 頂点法線なし (OpenGL) |
頂点法線 (OpenGL)
|
一般的なアプローチは、各頂点で、頂点を共有するポリゴンの法線の加重平均を使用することです。ウェイトはポリゴンの面積の逆数であるため、小さいポリゴンほどウェイトが大きくなります。これは、サーフェスの曲率が高い領域で小さなポリゴンが発生する可能性があるという考え方です。
例 2
元の Siggraph ペーパーでは、立方体の頂点で法線を補間することにより、頂点での法線を計算します。これらの立方体頂点法線は、ボリューム データの中央差分を使用して計算されます。
| 頂点法線なし (PovRay) |
頂点法線 (PovRay) |
参考文献
Lorensen, WE and Cline, HE, Marching Cubes: 高解像度 3D サーフェス再構成アルゴリズム、Computer Graphics、Vol. 21, No. 4, pp 163-169 (Proc. of SIGGRAPH), 1987.
Watt, A. および Watt, M. 著、Advanced Animation and Rendering Techniques、Addison-Wesley、1992 年。
四面体を使用したスカラー フィールドの多角形化
ポール・バーク著
1997年6月
Dávid Tóth による寄稿: DavidToth.zip
序章
このドキュメントでは、3D スカラー フィールドを介して等値面のポリゴン サーフェス表現を作成するためのアルゴリズムについて説明します。基本的なサンプリング構造が立方体であるのに対し、ここでは四面体であることを除いて、いわゆる「マーチング キューブ」アルゴリズムと密接に関連しています。
方法
空間は、長方形の 3D メッシュの頂点でサンプリングされます。各メッシュ セルは 6 つの四面体に分割され、このドキュメントの下部に示されている四面体等値面ルーチンに渡されます。これがここで使用されるアプローチであることに注意してください。四面体メッシュに直接同様にサンプリングすることができます。
四面体のエッジは、隣接するボックス セルのエッジと一致することに注意してください。このプロパティを持たないボックスを 5 つの四面体に分割する方法があります。
等値面に対する平面ファセット近似は、四面体ごとに個別に計算されます。ファセットの頂点は、等値面が四面体のエッジをカットする場所を線形補間することによって決定されます。
8 つの異なるケースがあり、7 つを以下に示します。四面体の頂点にある中空の円と塗りつぶされた円は、頂点が等値面の異なる側にあることを示しています。図示されていないケースは、すべての頂点が等値面の上または下にある場合であり、この状況ではファセットは生成されません。
ノート
-
この手法は、従来のマーチング キューブ アルゴリズムのあいまいさの影響を受けません。
-
これは離散サンプリングであるため、等値面がボックス セル内で変化する場合、等値面の一部を見逃す可能性があります。これは、離散的にサンプリングされたデータセットの標準的な問題であり、ナイキスト基準を満たす必要があります。
-
ファセットの向きが重要な場合 (時計回りまたは反時計回り)、上記と同じように扱われるケースのペアを個別に扱う必要があります。各ペアのファセットは両方とも同じ頂点を持ちますが、ポリゴン化されるオブジェクトの「内側」の値が高いか低いかによって順序が異なります。
- ソースコードは標準 (単純) C で提供されます。
参考文献
W.ローレンセン、H.クライン。マーチング キューブ: 高解像度の 3D サーフェス構築アルゴリズム。コンピュータ グラフィックス、21 (4): 163-169、1987 年 7 月
BAPayne、AWトガ。3Dモデルの表面マッピング脳機能。IEEE コンピュータ グラフィックスとアプリケーション、10 (2) 41-53、1990 年 2 月
J. ブルーメンタール。暗黙的な表面の多角形化。Computer-Aided Geometry Design、5(4) 341-355、1988 年 11 月
土居 明、小出 明。四面体セルを使用して同等の表面を三角測量する効率的な方法。電子情報通信学会トランザクション通信，電子．情報。システム、E74(1) 214-224、1991 年 1 月
A.Gueziec、R.Hummel。四面体分解を使用した三角面抽出の活用。視覚化とコンピュータ グラフィックスに関する IEEE トランザクション、1 (4) 328-342、1995 年 12 月