D. 無限集合
https://codeforces.com/contest/1635/problem/D
トピックの説明
さまざまな正の整数と無限のセット S で構成される配列があるので、セット S をすべてxxで埋める必要があります。x条件の数。
xxxの条件(いずれか 1 つを満たすことができます):
- x = ai ( 1 ≤ i ≤ n ) x = a_i(1\leq i\leq n)バツ=a私( 1≤私≤n )
- x = 2 y + 1 ( y ∈ S ) x = 2y + 1 (y \in S)バツ=2歳+1 ( yεS )(yyy はS セット内になければなりません)
- x = 4 y ( y ∈ S ) x = 4y (y \in S)バツ=4年(年εS ) ($y$ は S セットにある必要があります)
無限集合 S で2 p 2^p未満のものをすべて見つける2pの数。
説明を入力
最初の行には、2 つの整数 n と p (1≤n,p≤2⋅10 5 ) が含まれます。
第二行包含 n 个整数 a1,a2,…,an (1≤ai≤109)。
保证 a 中的所有数字都是不同的。
输出描述
打印一个整数,即 S 中严格小于 2p 的元素数。 请记住以 109+7 为模打印。
样例
#1
2 4
6 1
9
#2
4 7
20 39 5 200
14
#3
2 200000
48763 1000000000
448201910
提示
在第一个示例中,小于 24 的元素是 {1,3,4,6,7,9,12,13,15}。
在第二个例子中,小于 27 的元素是 {5,11,20,23,39,41,44,47,79,80,83,89,92,95}。
解析
有一说一,二进制的题目我确实没写过…,一时间也只能想到暴力,可这样不可能过,后面看大佬题解,发现要用二进制…
**Tips:**以后但凡看到这种 2 p 2^p 2p 次幂的形式,要往二进制想想。
根据二进制, x x x 的第二和第三条件可以转为:
- 第一条件其实就是 A 数组的所有元素均属于 S
- 2 x + 1 2x+1 2x+1 相当于 2 < < 1 2 << 1 2<<1 然后加 1 1 1 (向后添加一个 1)
- 4 x 4x 4x 相当于 4 < < 2 4 << 2 4<<2 (向后添加两个 0)
题目要我们求 S 中所有小于 2 p 2^p 2p 的数,其实就是求对应的二进制最高位 1 的后面 0 的变化,例如 p = 3 p=3 p=3 时,对应二进制为 1000 1000 1000 ,我们可以得到且不保证符合的有 0000 、 0100 、 0110 、 0111 、 0010 、 0011 、 0001 0000、0100、0110、0111、0010、0011、0001 0000、0100、0110、0111、0010、0011、0001 。
通过上面的例子,我们发现,只是 1 后面的 0 发生了变化,而我们的规则是要么增加一个 1,要么增加两个0(这0是一起添加的,不能分开)。
我们假设一个数为 x x x ,那么我们可以得到:
x x x 增加位数 | 得到的不同的数 | |
---|---|---|
0 | x x x | 1 |
1 | x 1 x1 x1 | 1 |
2 | x 00 、 x 11 x00、x11 x00、x11 | 2 |
3 | x001、x100、x111 x001、x100、x111× 001 、× 100 、× 111 | 3 |
4 | x 0000 、 x 1100 、 x 0011 、 x 1111 、 x 1001 x0000、x1100、x0011、x1111、x1001× 0000 、× 1100 、× 0011 、× 1111 、× 1001 | 5 |
上の表の意味: 数値の 2 進数の後に桁数が続き、毎回 1 か 2 つの 0 しか追加できないため、最終的にいくつの異なる数値が得られるかを示します。
そして、それらがどのように変化しても、一意であることが保証されていることがわかります。
これはフィボナッチ数列であることがわかりますF [ i ] = F [ i − 1 ] + F [ i − 2 ] F[i] = F[i-1] + F[i-2]F [ i ]=F [ i−1 ]+F [ i−2 ]、ここでは数値が増加することを意味しますiiiビットで取得できる異なる数の数はF [ i ] F[i]F [私]。
今は桁数を追加するための数値を求めているだけです.異なる数値を取得した場合は、前の数値をカウントしないため、接頭辞と接頭辞 [ i ] = 接頭辞 [ i − 1 ]を作成する必要があります。+ F [ i ] 接頭辞[i] = 接頭辞[i-1] + F[i]p re f i x [ i ]=p re f i x [ i−1 ]+F [ i ]の場合、定義はprefix [ i ] prefix[i]p re f i x [ i ]は増加を意味しますiii桁の後に得られるすべての異なる数字
最後に、数値ai a_iの場合、a私Aj a_j は別の数値から取得できますaじ、二重にカウントしないように、ai a_iのみを保持しますa私たとえば、A には 2 と 8 の 2 つの要素があり、8 は 2 を介して取得できるため、2 だけを保持する必要があります。
2:0010
8:1000
0010 は 1 回変更できます (つまり、最後に 2 つの 0 を追加します) ==> 0010 00 ==> 10 00
ACコード
public class Main {
static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
static StreamTokenizer st = new StreamTokenizer(br);
static PrintWriter out = new PrintWriter(new BufferedOutputStream(System.out));
public static void main(String[] args) throws Exception {
final int MOD = 1000000000 + 7;
final int MAX = 200005;
int n = nextInt(), p = nextInt(), ans = 0;
int[] A = new int[MAX];
int[] F = new int[MAX];
int[] prefix = new int[MAX];
F[0] = F[1] = 1;
prefix[0] = 1; prefix[1] = 2;
HashMap<Integer, Boolean> map = new HashMap<>();
for(int i = 2; i < MAX; i++) {
F[i] = (F[i-1] + F[i-2]) % MOD;
prefix[i] = (prefix[i-1] + F[i]) % MOD;
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
A[i] = nextInt();
map.put(A[i], true);
}
// 对数组元素进行去重
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int x = A[i];
while(x != 0) {
if(x % 2 == 1) x >>= 1; // 条件2,末尾加 1
else if(x % 4 == 0) x >>= 2; // 条件3,末尾加两个 0
else break;
if(map.containsKey(x)) {
// 判断 x 是否已经存在 S 中
map.remove(A[i]); // 若存在,则表示 A[i] 可以通过其它元素得到,估抛弃该元素
break;
}
}
}
Set<Integer> set = map.keySet();
for(Integer x : set) {
int bit = 32 - Integer.numberOfLeadingZeros(x); // 获取 x 二进制位数的前导零个数
if(bit > p) continue;
ans += prefix[p - bit];
ans %= MOD;
}
System.out.println(ans);
}
public static int nextInt() throws Exception {
st.nextToken();
return (int) st.nval;
}
}