この章では、クワッドローターの飛行方法について説明します。この章では、いくつかの基本的な仕組みとドローンの設計方法について説明します。

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Robotics: Aerial Robotics (エアロボット) ノート (1): はじめに

基本的な力学

クアッドローターには 4 つのモーターがあり、機体の重量を支えています $mg$ . 各モーターが回転し、上向きの推力を生成します. 同時に、モーターの回転は抵抗トルクに打ち勝つ必要があるため、2 つの量の推力を観測する必要があります.および抵抗トルクとモーター速度の関係。

ここでトルクの概念がわからない場合は、ここを参照してください。

著者: リード
リンク: https://www.zhihu.com/question/20260034/answer/287592720
出典: Zhihu
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物理現象を研究するときは、それに影響を与える要因を見つけ出し、それらの要因を定量化し、法則をまとめて、それらと現象との関係を描きたいと考えています。

たとえば、地面に物が入った箱を押すとき、どれくらいの力が必要ですか?

実験観察の結果、箱が重くなるほど押しにくくなることがわかりました。また、地面が粗いほど、押すのが難しくなります。つまり、倉庫番の場合、箱自体の重量 M と地面の粗さの 2 つの影響要因があります。ここで問題になるのは、粗さの度合いをどう表現するかということで、摩擦係数と呼ばれる係数kで数値化してみると、粗い地面ほどkが大きくなります。次に、ボックスを押すのに必要な力:

F=km

このようにして、箱を押すのに必要な力が見つかります。将来的には、摩擦係数 k が分かっている限り、どんな重量の箱でも、どんな地面でも、この式を使ってそれを押すのに必要な力を計算できます。

トルクは似ています。レンチでネジを回すなど、何かを回すとき。実験の結果、ネジを回すには、できるだけ力を入れて回すことと、レンチを長めに回すことの2つがあることがわかりました。つまり、ネジがねじれるかどうかに影響を与える要因は、トルク F と、レンチの長さである腕の長さ L の 2 つです。このねじれ効果をどう表現するか。つまり、この効果を定量化する方法は? 次に、次のように表されるトルクがあります。

M = FXL

ここでの 3 つの量はすべてベクトルであり、外積で表されているのは、外積の操作がこの物理現象と一致するためです。つまり、モーメントの大きさは、力 F とモーメントアーム L の大きさだけでなく、それらの間の角度にも関係しています。モーメントの方向は、力とモーメントアームの平面に対して垂直です。

推力とモーター速度をプロットすると、次のようになります。

$F=k_fw^2$ 推力、抵抗トルク、回転速度の関係は $M=k_Mw^2$ 、物体を水平方向に押すことで発生する摩擦力を計算すると、地面の摩擦係数に相当する係数を k とすると、2 次方程式と見なすことができます。 .

推力と回転速度の関係曲線を観察することにより、重量の 4 分の 1 に等しい推力を生成するために必要な回転速度を決定できます。同時に、 $w_0$ これは対応する抵抗トルクを克服する必要があります。それを克服しますか？モーターのサイズを調整することで、モーターは前述の抵抗トルクに打ち勝つトルクを発生させることができます。これが図のようなものです $\ できる$ (モーターのトルクと速度の関係を説明します)。

したがって、クアッドローター UAV をホバリングさせたい場合、生成される推力とトルクは次の式を満たす必要があります。

$k_f$ 対応する係数と $k_M$ UAV の重心の位置がわかれば、対応する合力とモーメントを計算できます。ここで、r は重心から各ローターまでの距離です。

平衡では、合力は明らかにゼロであり、合力モーメントもゼロです。

しかし、合力が瞬時に非ゼロになるとどうなるでしょうか? 加速していきます。簡単にするために, 最初に垂直方向の加速度について話しましょう. ローターの推力の合計 (主にローターの速度によって決まります) がクアッドローターの重量よりも大きい場合, 上向きの加速度は次のようになります.そうしないと、下向きの加速度が発生します。式は次のとおりです。

ダイナミクスと 1 次元線形制御

このパートでは、主に垂直方向の動きについて説明します. 私たちの目的は、クアッドローターロボットを必要な垂直高さに制御することです $バツ$ 。

明らかに、変位の二次導関数を取得することで加速度を見つけることができます。

$a=\frac{\mathrm{d^2x} }{\mathrm{d} t^2}=\ddot{x}$

合力を質量で割った値を u で表します。

$u=\frac{1}{m}[\sum_{i=1}^{4}k_fw_{i}^2+m\textbf{g}]$

次の 2 階微分方程式を得ることができます。

$u=\ddot{x}$ な

$あなた$ このクワッドローターを制御する私たちの目標は、実際には、クワッドローターが目的の位置に到達するように機能を決定することです $バツ$ 。

$あなた$ 前述のように、これは非常に単純な 2 次線形システムであり、時間の関数としての入力 $t$ 関数が目的の位置まで $u(t)$ 駆動できることがわかります。 $バツ$ $x(t)\rightarrow x^{des}(t)$

この目的のために、誤差関数が定義されます $e(t) = x^{des}(t) - x(t)$ 。これは、目的の軌道と実際の軌道の間の誤差の量を表します。

誤差（システム）が大きいほど、実際の軌道からのずれが大きくなることは明らかで、その誤差をゼロにゼロに近づけ、指数関数的に（より速く、より安定に）ゼロに収束させる、つまり、の満足 $あなた$ :

最初の式は、誤差を指数関数的にゼロに収束させることです. 詳細については、以下のリンクを参照してください:

PDコントローラのもう1つの説明と応用

2 番目の式の導出:

$\ddot{e}(t) = \ddot{x}^{des}(t) - \ddot{x}(t) = \ddot{x}^{des}(t) - u(t)$

$\ddot{x}^{des}(t) - u(t) + K_v\dot{e}(t) + K_pe(t) =$

$u(t) = \ddot{x}^{des}(t) + K_v\dot{e}(t) + K_pe(t)$

そのうち、 $K_v$ 微分ゲイン（微分ゲイン）は $K_p$ 比例ゲイン（比例ゲイン）であり、フィード $\ddot{x}^{des}(t)$ フォワード項（フィードフォワード項）と呼ばれます。 $K_v$ との両方が正の場合 $K_p$ 、誤差項が指数関数的にゼロになる傾向があることが保証されます。

比例ゲインが高いほど、システムの回復力が高まり、オーバーシュートする可能性が高くなります。たとえば、現在の状態が 2 で、目的の状態が 4 で、エラーが 2 であるとします。現在の比例ゲインを +1 に調整できる場合、状態は 3 になり、エラーは 1 になります。比例ゲインが増加した場合比例ゲインを大きくすると、調整量が+3になり、誤差が-1、つまりオーバーシュートすることがあります。

微分ゲインが高いほど、システムは本質的により多くのバッファリングを行います。この項目はおおまかに言えばエネルギーの減衰率であり、 $K_v$ 0, $K_p$ > 0 であれば系は常に振動している状態です。微分ゲインを大きくすることで、システムをよりスムーズに収束させることができます。しかし、微分ゲインが大きすぎると、システムは減衰不足の状態になり、システムの収束は遅くなりますが、あまり振動しません。

特殊なケースでは、PID 制御とも呼ばれる PD 制御のより複雑なバージョンの使用を検討する場合があります。たとえば、システムの特定のモデルが不明であるか、未知の干渉要因がある場合、誤差積分に比例する追加の項を導入できます。

この項を導入すると微分方程式が 3 次になり、解くのが難しくなりますが、誤差項は最終的にゼロになります。

設計上の考慮事項

推力重量比

前の分析では、モーターはコントローラーが必要とする推力を生成できると常に想定していましたが、モーターの推力は制限されています。これは、モーターの速度がピーク値を持ち、クアッドローターが最大の推力を持ち、最大 $T_{最大}$ 加速 $a_{最大}$ 。

前の式から、制御入力が実際には $あなた$ クワッドローターの推力 T と重力によって $mg$ 決定されることがわかります。

を知っていると仮定すると $T_{最大}$ 、最大推力と重量を単純に合計すると、次のようになります $u_{最大}$ 。

したがって、PD 制御と PID 制御を行う場合も、 $u(t)$ 最大推力によって決定されます。

最大推力と重量の比を推力重量比といい、この推力重量比を調整することでクワッドローターの操縦性能を調整することができます。

エネルギー消費

クアッドローターを飛ばしたい場合は、推力が重力に抵抗するのに十分な推力を生み出すようにしなければなりません。これにより、基本的な消費電力が生成されます. クアッドローターの基本的な消費電力は: 200 W/kg. 幸いなことに、リチウム電池によって提供されるエネルギーは基本的に > 200 W/kg なので、実際には満足することができます.

電力消費を考慮することに加えて、バッテリーが運ぶ総エネルギーも考慮する必要があります. ほとんどのリチウム電池は、約 200 Whr/kg の電力を生成します:

現在、リチウム電池が最も使用されていますが、現在リチウム電池は多くのエネルギーを運ぶことができないため、ドローンをより長く飛ばすには通常、軽量化が必要です。一般的に言えば、バッテリーは総重量の約 35% を占め、モーターとプロペラは総重量の約 25% を占めます。

クアッドローターに搭載されているセンサーもエネルギーを消費します。通常、重量が増えるため、動作に消費するよりも多くのエネルギーを消費します。

敏捷性と機動性

このパートでは、主にクワッドローターを柔軟に動かす方法について説明します。

最高速度で停止（停止までの最大速度）

クワッドローターが最大速度で前進しているときに、特定の位置で停止させることにした場合は、減速できるように後傾させてスラストの方向を逆にする必要があります。しかし、結果として、垂直方向の推力が現在の重量よりも小さいため、これによりクワッドローターの垂直方向の高さが減少します。

速度を落とさずに素早く曲がる

もう 1 つは、クアッドローターに素早く回転できるようにすることです. その目的は、クアッドローターを最大速度で前方に飛行させ、その後、主に回転半径を小さくすることによって、できるだけ速く回転させることです.

運動分析

まず、クワッドローターが最大速度で停止するときの動きを分析します. 次の図の例では、このときクワッドローターが傾いており、クワッドローターローターによって発生する推力はクワッドローターに対して垂直であるため、合力と合力モーメントは z 軸と y 軸の 2 方向に分けられます. クアッドローターと y 軸の間の角度が Yes $\ファイ$ で (方向が運動方向と逆なので、この時点で減速します）。 $u_1$ $u_1cos\phi$ $-u_1sin\phi$

次に、y 軸、z 軸上のクアッドローターの加速度と角加速度を見つけることができます。

$\ddot{y} = \frac{\vec{F}}{m}=-\frac{1}{m}u_1sin\phi$

同じやり方で $\ddot{z} = \frac{1}{m}u_1cos\phi - g$

$\ddot{\phi} = \frac{M}{I_{xx}} = \frac{u_2}{I_{xx}}$ (角加速度は、トルクを慣性モーメントで割った値に等しい)

線形代数で書くと次のようになります。

加速も減速も速く、スピンも速くしたい。をしたい：

直線加速度を最大化 $a$ : 最大化 $\frac{u_{1,max}}{m}$

角加速度最大化 $\アルファ$ : 最大化 $\frac{u_{2,max}}{I_{xx}}$

コンポーネントの選択

UAV を柔軟に飛行させ、同時にいくつかの機能 (自律飛行など) を実現したいので、これらの機能を完了するためにいくつかの機器を運ぶ必要があります。このため、これらのデバイスの重量 (上記の分析から、重量は飛行の柔軟性にも影響します) と消費電力 (消費電力が大きすぎる場合は、大きな負荷を考慮する必要があります) に細心の注意を払う必要があります。バッテリー、重量にも影響します)。

サイズの影響

クアッドローターのサイズもその柔軟性に影響します.クアッドローターの平面図を見てみましょう.クアッドローターの $l$ 代表的な長さです（代表的な長さは通常、抽象化されたオブジェクトの長さの代表的な長さを指します.ここでクアッドローターのサイズは大まかに考えることができます)、クアッドローターの質量は $メートル$ 、プロペラの半径はです $r$ 。